Парадокс спящей красавицы 2.0.

[sergey zhukov]

Doctor Boom в сообщении #1608764 писал(а):

Что увидят внешние наблюдатели? Что монетка выпадет орлом почти наверное, и будет лишь один понедельник

А... понятно. Задача, по сути, пережить понедельник. В оригинальной версии парадокса с честной монетой стратегий у тебя, по сути, всего две: всегда называть орла или всегда называть решку. Обе одинаково эффективны в задаче "пережить понедельник". Так что можно их, вроде бы, и смешивать. Но вот этого, как мне кажется, тут делать нельзя. Т.е. если ты выбрал стратегию "всегда называть орла", то нужно строго ее придерживаться. Если "всегда называть решку" - тоже. Если я буду при каждом пробуждении называть случайный результат с вероятностью $\frac{1}{2}$, то буду проигрывать чаще, чем когда буду называть всегда одно и то же.

Скажем, при угадывании результата выпадения честной монеты мы можем либо всегда называть орла, либо всегда - решку. Либо называть случайный результат. Разницы нет. В случае спящей красавицы между первыми вариантами разницы нет, а вот последний вариант отличается от двух первых.

[Doctor Boom]

sergey zhukov в сообщении #1608771 писал(а):

Задача, по сути, пережить понедельник.

На самом деле нет, неудачно выбрал кару Пусть вам не отрубают голову, а пытают шокером, или отрезают яйца, а потом пришивают. Т.е. что-то очень болезненное, которое вы хотите избежать при любом раскладе

-- 11.09.2023, 11:18 --

sergey zhukov в сообщении #1608771 писал(а):

Если я буду при каждом пробуждении называть случайный результат с вероятностью $\frac{1}{2}$, то буду проигрывать чаще, чем когда буду называть всегда одно и то же.

С чего бы?

[sergey zhukov]

Doctor Boom в сообщении #1608773 писал(а):

С чего бы?

Ну как же? Если мы назвали решку в понедельник и выиграли, то называть орла во вторник - это проигрыш. Нельзя смешивать стратегии. Нужно всегда придерживаться чего-то одного.

-- 11.09.2023, 12:39 --

Doctor Boom в сообщении #1608773 писал(а):

Т.е. что-то очень болезненное, которое вы хотите избежать при любом раскладе

Тогда правильный ответ у Элга. В вашем варианте, где орел почти неизбежен, а мы выбираем решку, нам, конечно, почти наверняка отрежут яйца в понедельник. Но если мы выбераем орла, то с еще с большей вероятностью нам отрежут яйца в какой-то из оставшихся дней.

Вообще, возвращаемся к:

worm2 в сообщении #1608010 писал(а):

Тут, как мне представляется, действительно проблема с математической интерпретацией. Конкретно, с интерпретацией "элементарного события".
1) Если "элементарное событие" — это "один эксперимент", то ответ будет один.
2) Если "элементарное событие" — это "одно пробуждение", то ответ будет другой

Чем, собственно, отличается отрубание головы от отрезания яиц? Только тем, что в первом случае нам важно знать лишь то, что мы называли в предыдущий раз (соответственно, это всегда должно быть одно и то же, это наша стратегия). А во втором случае нам важна лишь средняя частота событий.

[Doctor Boom]

sergey zhukov в сообщении #1608777 писал(а):

Ну как же? Если мы назвали решку в понедельник и выиграли, то называть орла во вторник - это проигрыш

А причем тут вторник? Мы же вроде в понедельник все решаем, или тогда причем тут

sergey zhukov в сообщении #1608771 писал(а):

Задача, по сути, пережить понедельник.

sergey zhukov в сообщении #1608777 писал(а):

Тогда правильный ответ у Элга. В вашем варианте, где орел почти неизбежен, а мы выбираем решку, нам, конечно, почти наверняка отрежут яйца в понедельник. Но если мы выбераем орла, то с еще с большей вероятностью нам отрежут яйца в какой-то из оставшихся дней.

Так эти оставшиеся дни почти никогда не настанут, т.к. орел почти неизбежен. Мы проводим эксперимент один раз, если что (пока)

[sergey zhukov]

Doctor Boom в сообщении #1608779 писал(а):

А причем тут вторник?

Это я к тому, что вероятность пережить понедельник во всех трех случаях (всегда называть орла, всегда решку или смешивать стратегии) - одна и та же. Но если нужно пережить и понедельник и вторник - последняя стратегия хуже.

-- 11.09.2023, 13:10 --

Doctor Boom в сообщении #1608779 писал(а):

Так эти оставшиеся дни почти никогда не настанут

Зато когда настанут, нам крышка. Мы же тут в среднем рассматриваем? Кара в среднем по орлам будет больше. Тут психология уже какая-то: что хуже - однократное наказание с высокой вероятностью или многократное наказание - с низкой? Если мы берем среднее, то имеет значение среднее число наказаний, оно больше для орла. А с психологической точки зрения вроде бы орел и предпочтительнее: хоть кара и ужасная, но она же "почти никогда не настает".

[realeugene]

Doctor Boom в сообщении #1608764 писал(а):

Ее надо было в дискуссионных темах

Попали так попали. Давайте, отдувайтесь теперь.

Doctor Boom в сообщении #1608764 писал(а):

А кому он нужен такой, голый? Его практическое применение именно в обновлении вероятностей, и не только в теории информации

Считать условные вероятности. А что там после чего происходит ему не интересно. Теории информации тоже не интересно, но там такая терминология сложилась. А с голым Байесом не сложилось.

Doctor Boom в сообщении #1608764 писал(а):

Есть одна красавица, т.е. мы, один эксперимент и одно наблюдение (которое в данный момент перед глазами)

Одна вечно живая спящая красавица с амнезией? Тоже сомнительное удовольствие.

Doctor Boom в сообщении #1608764 писал(а):

С чего бы ему быть иным? Вы проделываете то же самое и для последующих экспериментов. Мы можем рассуждать так - раз все эксперименты одинаковы, то будем считать, что мы в серии из одного эксперимента.

Считайте как хотите, но только не переиспользуйте остаточные дни от одного эксперимента для другого эксперимента. Особенно, когда считаете среднее по времени. У вас по условию равновероятны дни при условии выпадения одной решки, а вы начинаете смешивать разные бросания монеты и продолжать рассуждать про равновероятность этих дней.

Doctor Boom в сообщении #1608764 писал(а):

Очевидно, что это ничего не меняет.

Очевидно, но ошибочно. Вы не можете обеспечить равновероятность выбора дня пробуждения принцессы при условии выпадения решки, если бросаете монету только после первого пробуждения. Это другая задача, а какая именно - определять вам вместе с её вероятностным пространством.

[Doctor Boom]

sergey zhukov в сообщении #1608782 писал(а):

Мы же тут в среднем рассматриваем?

Неа, оно только может затуманить, как в петербургском парадоксе

sergey zhukov в сообщении #1608782 писал(а):

Если мы берем среднее, то имеет значение среднее число наказаний, оно больше для орла. А с психологической точки зрения вроде бы орел и предпочтительнее: хоть кара и ужасная, но она же "почти никогда не настает

Я думаю среднее здесь неадекватно, а пользуемся мы здесь принципом отбрасывания малых вероятностей (забыл название)

realeugene в сообщении #1608783 писал(а):

Одна вечно живая спящая красавица с амнезией? Тоже сомнительное удовольствие.

Ну да. Кстати, ваши эксперименты могут проводится с интервалом год, десять лет, сто лет, миллион лет, ответ будет тот же?)

realeugene в сообщении #1608783 писал(а):

У вас по условию равновероятны дни при условии выпадения одной решки, а вы начинаете смешивать разные бросания монеты и продолжать рассуждать про равновероятнось

Можно показать, что по понедельнику мы не можем уточнить вероятности

realeugene в сообщении #1608783 писал(а):

Вы не можете обеспечить равновероятность выбора дня пробуждения принцессы при условии выпадения решки, если бросаете монету только после первого пробуждения.

Почему не могу? Если в понедельник выпадет решка, то в этом эксперименте красавица обнаружит себя равновероятностно как в понедельнике, так и во вторнике

[sergey zhukov]

Doctor Boom в сообщении #1608805 писал(а):

Я думаю среднее здесь неадекватно

Ну, это вы тут ввели какие-то экстремально низкие вероятности и какие-то эоны дней в эксперименте. В исходной версии такой проблемы нет.

Вернемся к самому начальному вопросу о классической постановке парадокса:

Вопрос: Что должен отвечать проснувшийся, если за неправильный ответ - казнь?
Ответ: Он должен всегда называть одно и то же: либо всегда орел, либо всегда - решка.

Вопрос: Что должен отвечать проснувшийся, если за неправильный ответ - наказание?
Ответ: Он всегда должен называть решку.

Вывод: Называть случайный результат не выгодно в обоих случаях. Если мы не знаем, что нам светит за неправильный ответ(наказание или казнь), то можно всегда называть решку.

[realeugene]

Doctor Boom в сообщении #1608805 писал(а):

Ну да. Кстати, ваши эксперименты могут проводится с интервалом год, десять лет, сто лет, миллион лет, ответ будет тот же?)

Ваша красавица - вам и решать. Главное, чтобы при сведении ансамбля одиночных экспериментов к последовательности таких экспериментов во времени начало следующего одиночного эксперимента не зависело от результата предыдущего.

Doctor Boom в сообщении #1608805 писал(а):

Можно показать, что по понедельнику мы не можем уточнить вероятности

Не понял, что вы хотите показать, но раз можно - покажите.

Doctor Boom в сообщении #1608805 писал(а):

Почему не могу? Если в понедельник выпадет решка, то в этом эксперименте красавица обнаружит себя равновероятностно как в понедельнике, так и во вторнике

В случае решки два дня? Тогда три элементарных события: понедельник - орёл, понедельник-решка и вторник-решка. Доопределите, пожалуйста, вероятностное пространство, раз можете.

[waxtep]

sergey zhukov в сообщении #1608777 писал(а):

Чем, собственно, отличается отрубание головы от отрезания яиц?

Все же более подходящий раздел для данной темы - Биология и медицина

[Doctor Boom]

sergey zhukov в сообщении #1608809 писал(а):

Ну, это вы тут ввели какие-то экстремально низкие вероятности и какие-то эоны дней в эксперименте. В исходной версии такой проблемы нет.

А в моей есть, вам и выкручиваться Я специально сделал так, чтобы дисперсии были околонулевыми, чтобы избавиться от необходимости вести статистику (будучи красавицей), а все можно определить по одному наблюдению. По вашей логике, надо называть решку, хотя это почти гарантированно приведет к проигрышу. Ищите ошибку в ваших рассуждениях

realeugene в сообщении #1608811 писал(а):

Ваша красавица - вам и решать. Главное, чтобы при сведении ансамбля одиночных экспериментов к последовательности таких экспериментов во времени начало следующего одиночного эксперимента не зависело от результата предыдущего.

Оно всегда будет зависеть, т.к. при просыпании мы должны апостериорно обнулить вероятности просыпания не в дни эксперимента, что будет эквивалетно сериям экспериментов нонстоп

realeugene в сообщении #1608811 писал(а):

Не понял, что вы хотите показать, но раз можно - покажите.

Да очень просто, раз мы при любом раскладе проснемся в понедельник на след день, то ничего не сможем сказать о результате броска монетки

realeugene в сообщении #1608811 писал(а):

В случае решки два дня? Тогда три элементарных события: понедельник - орёл, понедельник-решка и вторник-решка. Доопределите, пожалуйста, вероятностное пространство, раз можете

Просто все вероятности по 1/3

[sergey zhukov]

Doctor Boom
Вы просто все время сворачиваете на принцип игнорирования малых вероятностей. Признаться, если бы мне предложили бросить 100-гранный кубик, одна грань которого означает 100-кратный проигрыш, а остальные - 1-кратный выигрыш, то я бы его кинул без особых раздумий. Хотя и ясно, что в среднем на таком кубике не заработаешь. Люди даже играют в заведомо проигрышные в среднем игры, и ничего. Это не математика уже.

Мне кажется, мало кто из игроков усредняет в истинном смысле, не учитывая время. Люди знают - один рубль сейчас может быть дороже, чем 10 рублей потом. Даже кредитуют по этому принципу. Потому, что сейчас важнее, чем потом. Матожидание эту разницу игнорирует.

Если я просыпаюсь и думаю "Вчера точно выпал орел, я же игнорирую малую вероятность решки", тогда, разумеется, я называю орла. Но если я подумаю о том, что если все же выпала решка, то не факт, что монету бросали вчера. Ее могли бросать и позавчера, и поза-позавчера и т.д. Я должен сложить все эти вероятности, прежде чем что-то игнорировать.

[realeugene]

Doctor Boom в сообщении #1608900 писал(а):

Оно всегда будет зависеть, т.к. при просыпании мы должны апостериорно обнулить вероятности просыпания не в дни эксперимента, что будет эквивалетно сериям экспериментов нонстоп

Ничего не понял. Кого вы собираетесь обнулять?

Начинайте новый эксперимент в один и тот же день вне зависимости от броска монетки. Если выпал орёл - ждите. Что вы будете при этом делать с принцессой всё равно.

Doctor Boom в сообщении #1608900 писал(а):

Просто все вероятности по 1/3

У вас монетка с вероятностью выпадения орла 1/3?

[Doctor Boom]

sergey zhukov в сообщении #1608905 писал(а):

Вы просто все время сворачиваете на принцип игнорирования малых вероятностей

А у вас там не малые вероятности, а наоборот почти единичные

sergey zhukov в сообщении #1608905 писал(а):

Признаться, если бы мне предложили бросить 100-гранный кубик, одна грань которого означает 100-кратный проигрыш, а остальные - 1-кратный выигрыш, то я бы его кинул без особых раздумий

А я бы немного задумался Все-таки игры показывают, что в проценты попадаешь гораздо чаще, чем хотелось бы

realeugene в сообщении #1608931 писал(а):

Ничего не понял. Кого вы собираетесь обнулять

Ну если вы проснулись во время эксперимента, то значит вы должны апостериорно обнулить вероятности просыпания не в дни эксперимента (когда надо ждать), а значит это эквивалетно задаче, где все нонстоп

realeugene в сообщении #1608931 писал(а):

Начинайте новый эксперимент в один и тот же день вне зависимости от броска монетки. Если выпал орёл - ждите. Что вы будете при этом делать с принцессой всё равно.

Я так и делал

realeugene в сообщении #1608931 писал(а):

У вас монетка с вероятностью выпадения орла 1/3?

Я понял, как это сделать. Монетка у нас честная, но в случае орла мы может проснуться во второй день, и обнаружить его буферным, т.е. нерабочим. У нас например и торжественное завершение эксперимента проводится в третий день, тогда вероятность исходов О-понедельник и Р-понедельник одинаковы. Боюсь это единственно правильное решение, т.к. в реале равновероятностные распределения надо вводить на одинаковых множествах, иначе это смешение разных распределений. Так что sergey zhukov прав
По поводу моей задачи с малыми вероятностями. Если у нас при выпадении решки есть одинаковая вероятность проснуться в каждый из дней, то и тут sergey zhukov прав, вероятность обнаружить решку почти единица. Но есть одно но) При очень большом числе дней пробуждения при решки мы в случае пробуждения себя скорее всего обнаружим не сильно далеко от начала, т.е. распределение там не равномерное, а допустим экспонентциальное (это то самое третие решение, про которое я тут говорил давно, но так и не расписал), тогда мы можем просто отбросить большой хвост дней решки, и тогда с почти единичной вероятностью мы увидим орла. Почему оно более согласовано с реальностью? Если вы например будете себя каждый день усыплять и стирать память, то примерно какой номер дня вы обнаружите при пробуждении? Вам тогда надо вводить равновероятностное распределение на натуральных числах, с получением противоречивого ответа, что увиденное вами число будет бесконечно большим. В реале вы скорее всего увидите какое-то конечное число, которое будет в начале относительно бесконечности натурального ряда

-- 13.09.2023, 09:16 --

realeugene в сообщении #1608783 писал(а):

Вы не можете обеспечить равновероятность выбора дня пробуждения принцессы при условии выпадения решки,

Это как раз вы не сможете обеспечить неравновероятностность пробуждения в понедельник в зависимости от выпавшей монеты, т.к. не имеете доступа как к внутреннему устройству красавицы, так и к ее интерпретации пробуждения - для нее будение в понедельник субъективно выглядит одинакого что при орле, что при решке.
Кстати, то что при решке есть равные вероятности проснуться в один из дней это тоже пресуппозиция, в реале может и нет. Например проснувшись после засыпания в воскресенье вы можете решить, что сегодня понедельник, потому что он идет сразу за воскресеньем. А также можете решить, что сегодня вторник, потому что у вас искажена память, но тогда для вас это выглядит как будто вы проскочили понедельник, уснув в воскресенье и пооснувшись во вторник. В этом и парадокс то. Он чисто философский, а не математический

[sergey zhukov]

Doctor Boom в сообщении #1608982 писал(а):

т.е. распределение там не равномерное, а допустим экспонентциальное

Почему не равномерное? Не нужно сюда бесконечности притягивать, тогда все тут равномерно: вероятность проснуться на любом расстоянии от дня бросания монеты одинакова. Откуда там убывающее распределение возьмется? У нас же не так эксперимент устроен, что нас будят в один из "решечных" дней по броску монеты и до свидания (тогда экспонента, конечно. Вероятность "доспать" до последних дней очень мала). Нас будят в каждый "решечный" день по одному разу не зависимо ни от чего.

Doctor Boom в сообщении #1608982 писал(а):

Например проснувшись после засыпания в воскресенье вы можете решить, что сегодня понедельник, потому что он идет сразу за воскресеньем. А также можете решить, что сегодня вторник, потому что у вас искажена память, но тогда для вас это выглядит как будто вы проскочили понедельник, уснув в воскресенье и пооснувшись во вторник. В этом и парадокс то. Он чисто философский, а не математический

Нет, разговоры о памяти только путают. Мы абсолютно ничего не помним о прошлом. Мы не можем решить, что у нас что-то не то с памятью, потому, что у нас вообще нет памяти. Зная устройство эксперимента можем лишь предполагать, что вчера было или воскресение, или понедельник, в который нас точно будили. Мы не можем предположить, что вчера был понедельник, в который нас не будили. Это невозможно по устройству эксперимента. А вот в вашем расчете вероятности этот вариант включается, как возможный. Поэтому такой расчет и неправильный.

-- 13.09.2023, 12:39 --

Я бы еще так сказал. В первом решении парадокса используется логика "Речь просто о том, с какой вероятностью падает честная монета. Больше ни о чем. Нет никакой разницы, бросали ее вчера или позавчера. Конечно, ответ $\frac{1}{2}$".

Во втором же решении замечается, что нельзя рассуждать "Все равно, когда бросали монету". Это не все равно потому, что если ее бросали вчера, то вероятность решки $\frac{1}{2}$, а если позавчера - то вероятность решки $1$. При этом вероятность того, что сегодня понедельник, равна $\frac{2}{3}$, а вторник - $\frac{1}{3}$. Поэтому вероятность решки есть: $\frac{2}{3}\frac{1}{2}+1\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$.