Парадокс спящей красавицы 2.0.

[Doctor Boom]

Решил рассмотреть модификацию известного парадокса. Пусть монетка выпадает орлом с вероятностью $1- 10^{-9}$, а решкой с $10^{-9}$. Если выпадает орел, то после усыпления красавицу будят на след. день и эксперимент заканчивается. Если решкой, то ее будят и усыпляют со стиранием памяти на протяжении $10^{18}$ дней. Красавица обнаружила, что проснулась. Какова вероятность для нее обнаружить монету орлом вверх? Собственно, есть два противоречащих друг другу решения
1) Вероятность орла вверх будет $1-10^{-9} \approx 1$, т.е. красавица почти наверняка обнаружит монету орлом вверх.
2) Допустим, эксперимент проводится очень большое $N$ раз, а все дни пробуждения равновероятны. Тогда число дней пробуждения, которое соответствуют орлу, равно $(1-10^{-9})N$, а число дней, которые соответствуют решке, равно $10^{18} 10^{-9} N= 10^{9} N$, тогда вероятность при пробуждении обнаружить орла равна $\frac{1-10^{-9}}{10^9+1-10^{-9}} \approx 0$, т.е. красавица почти наверняка обнаружит решку.
Получаем парадокс
Мои соображения - все таки в такой постановке мне кажется, что верно решение 1. Обычно для классического парадокса считается "верным" решение 2, хотя некоторые математики и философы с этим не согласны, т.к. есть проблема с априорным определением вероятностного пространства для субъективной точки зрения проснувшивося. А в этой модификации псевдо-верность решения 2 вроде как лучше всего ощущается.
А что думаете вы?

[Евгений Машеров]

Doctor Boom в сообщении #1608002 писал(а):

Допустим, эксперимент проводится очень большое $N$ раз, а все дни пробуждения равновероятны

Это не парадокс (выглядящее ложным верное утверждение), а софизм (выглядящее логичным ложное). Дни пробуждения не равновероятны.

[worm2]

Тут, как мне представляется, действительно проблема с математической интерпретацией. Конкретно, с интерпретацией "элементарного события".
1) Если "элементарное событие" — это "один эксперимент", то ответ будет один.
2) Если "элементарное событие" — это "одно пробуждение", то ответ будет другой.

Мне больше нравится вторая интерпретация. Потому что, например, если рассматривать происходящее как игру, в которой красавице платят за правильный ответ и не платят (или она платит) за неправильный, то логично будет вести расчёт после каждого пробуждения, а не после завершения всего эксперимента (ибо всё равно надо как-то интерпретировать ситуацию, когда красавице вздумается отвечать случайным образом, как это принято в теории игр, часть ответов — "орёл", а часть — "решка").

[Doctor Boom]

Евгений Машеров в сообщении #1608009 писал(а):

Это не парадокс (выглядящее ложным верное утверждение), а софизм (выглядящее логичным ложное).

Это какие-то гуманитарные определения Обычно парадоксом называют выглядящие логично ложные умозаключения (или одно из них ложно), которые друг другу противоречат. И считается, что истинных логических парадоксов не существует

Евгений Машеров в сообщении #1608009 писал(а):

Дни пробуждения не равновероятны

Их можно считать равновероятными. Смотрите, пусть эксперимент проводится очень большое количество раз (и допустим это классический парадокс с честной монеткой), и все дни пробуждения это просто ячейки на некой ленте времени. Когда красавица просыпается, она может априори считать все дни пробуждения равновероятностными. Если она будет делать ставки, то в совокупности по дням она будет в плюсе. Или вы не согласны со вторым решением и для клпссического парадокса? Консенсуса по нему нет, пишутся статьи, книги

-- 05.09.2023, 10:48 --

worm2
А что касается моего эксперимента, который проводится один раз? Допустим, за неправильный ответ нам отрубят голову

[Евгений Машеров]

А в классической постановке софистический момент в том, что спрашивают "в момент пробуждения", но не оговаривают, считается ли "двойное пробуждение" в случае решки за одно или за два. Если вопрос задаётся при каждом пробуждении, включая "промежуточное", то в случае решки пробуждений два, и вероятность 2/3. Если спрашивают после окончания испытания, то есть решка, разбудили, усыпили и вновь разбудили, тогда лишь спросив, то вероятности орла и решки равны.
Очень простой вопрос, софистически запутанный.

[sergey zhukov]

Doctor Boom
Какой-то странный, кстати, парадокс (исходный парадокс спящей красавицы). Очевидно, что верный ответ $\frac{1}{3}$. Может быть, красавица и не имеет информации о своих предыдущих пробуждениях, но она знает правила игры и знает, как ее пробуждение связано с результатом броска. Это знание должно учитываться при расчете вероятности, а в первом решении парадокса оно вообще не учитывается. Спрашивается ведь на самом деле "Какая вероятность того, что красавица при пробуждении увидит решку", а не "Какая вероятность выпадения решки". Вот ответ на второй вопрос всегда $\frac{1}{2}$.

Евгений Машеров
Я думаю, очевидно, что при каждом пробуждении красавица смотрит на монету.

[Doctor Boom]

Евгений Машеров в сообщении #1608013 писал(а):

А в классической постановке софистический момент в том, что спрашивают "в момент пробуждения", но не оговаривают, считается ли "двойное пробуждение" в случае решки за одно или за два.

Оговаривают, конечно не считается. В моем варианте кстати никаких отличий в этом нет

Евгений Машеров в сообщении #1608013 писал(а):

Если вопрос задаётся при каждом пробуждении, включая "промежуточное", то в случае решки пробуждений два, и вероятность 2/3.

Т.е. вы согласны, что все дни пробуждения равновероятны? Потому что из этого получается ваш ответ

sergey zhukov в сообщении #1608014 писал(а):

Очевидно, что верный ответ $\frac{1}{3}$.

Очевидно, что нет

sergey zhukov в сообщении #1608014 писал(а):

Это знание должно учитываться при расчете вероятности, а в первом решении парадокса оно вообще не учитывается.

Оно учитывается, просто вероятность не изменяется, т.к.

worm2 в сообщении #1608010 писал(а):

Если "элементарное событие" — это "один эксперимент"

т.е. выпадение монетки в воскресенье

-- 05.09.2023, 11:56 --

sergey zhukov в сообщении #1608014 писал(а):

Спрашивается ведь на самом деле "Какая вероятность того, что красавица при пробуждении увидит решку", а не "Какая вероятность выпадения решки".

Да, разумеется

[sergey zhukov]

Doctor Boom в сообщении #1608017 писал(а):

Оно учитывается

Да где же оно учитывается, если в первом решении парадокса при пробуждении красавица думает "Я не знаю ничего, кроме того, что монета честная". Она должна думать "Меня разбудили либо по орлу, либо по решке, либо на следующий день после решки (и я снова увижу решку). Все варианты равновероятны. Вероятность увидеть решку $\frac{2}{3}$".

Я что-то не могу понять логики альтернативного рассуждения. Рассуждение, приводящее к $\frac{1}{2}$ - это просто ошибка выжившего.

[Doctor Boom]

worm2 в сообщении #1608010 писал(а):

ибо всё равно надо как-то интерпретировать ситуацию, когда красавице вздумается отвечать случайным образом, как это принято в теории игр, часть ответов — "орёл", а часть — "решка"

Если ставить соображения максимального выигрыша за все время, то ей надо ставить на решку при любом решении

-- 05.09.2023, 12:12 --

sergey zhukov в сообщении #1608019 писал(а):

Все варианты равновероятны.

С чего бы? Она могла рассуждать так "если выпал орел, то вероятность того, что сейчас понедельник $1$, а если решка, то $\frac{1}{2}$, а значит вероятность того, что сейчас понедельник $0.5 \cdot 1+ 0.5 \cdot 0.5=0.75$, а вторника соответственно $0.25$", т.е. пересчет вероятностей ведется в другую сторону

-- 05.09.2023, 12:13 --

sergey zhukov в сообщении #1608019 писал(а):

Рассуждение, приводящее к $\frac{1}{2}$ - это просто ошибка выжившего.

Не-а, это только кажущаяся ошибка выжевшего. Хотите проверить, выживите ли вы в моем эксперименте?

[sergey zhukov]

Doctor Boom в сообщении #1608017 писал(а):

Т.е. вы согласны, что все дни пробуждения равновероятны?

Вот тут-то красавица как раз и должна рассуждать "Я ничего не знаю о том, в каком из трех случаев меня разбудили". Т.е. вот этим вариантам она и должна приписать равновероятность.

[Doctor Boom]

sergey zhukov в сообщении #1608021 писал(а):

Вот тут-то красавица как раз и должна рассуждать "Я ничего не знаю о том, в каком из трех случаев меня разбудили"

Дык это только один из вариантов

sergey zhukov в сообщении #1608021 писал(а):

Т.е. вот этим вариантам она и должна приписать равновероятность.

С какого? Она только знает, что два варианта вырадения монеты дают одинаковый наблюдаемый результат "я буду чувствовать себя пробужденной", поэтому пересчет вероятности для монеты не происходит

[sergey zhukov]

Doctor Boom в сообщении #1608020 писал(а):

С чего бы? Она могла рассуждать так

Из этого рассуждения следует только, что вероятность проснуться в день бросания монеты (понедельник) равна $\frac{2}{3}$, а вероятность проснуться на следующий день после этого равна $\frac{1}{3}$ (вторник). Причем вероятность увидеть решку в первый день равна $\frac{1}{2}$, а во втором - $1$. Сложив все это, получим вероятность решки $\frac{2}{3}$. В альтернативных рассуждениях что-то не так со сложением вероятностей событий, которые не независимы. Причем красавице это все известно.

Doctor Boom в сообщении #1608022 писал(а):

Она только знает, что два варианта вырадения монеты дают одинаковый наблюдаемый результат "я буду чувствовать себя пробужденной", поэтому пересчет вероятности для монеты не происходит

Так это и есть ошибка выжившего. Если учитывать только то, что видишь - результат получается неверным. Нужно еще учитывать и то, что ты не видишь. В данном случае это возможно, не нужно от этого отказываться.

В вики сказано:

Цитата:

При этом до начала испытания (до броска монеты) Спящая красавица оценивает эту вероятность как 1/2, но одновременно знает, что после пробуждения она будет оценивать вероятность как 1/3. В этом и состоит парадокс.

Т.е. решение $\frac{1}{3}$ считается правильным. Вопрос в том, почему оно меняется с $\frac{1}{2}$ до $\frac{1}{3}$. Разумеется, потому, что красавица узнает, как будет устроен эксперимент. Она узнает, какие события будут ей не доступны для наблюдения и знает, что их тоже нужно учитывать.

[worm2]

Doctor Boom в сообщении #1608011 писал(а):

А что касается моего эксперимента, который проводится один раз? Допустим, за неправильный ответ нам отрубят голову

Противоречие с условием: если выпала решка, я просыпаюсь и говорю что угодно, меня должны усыплять, а не рубить голову
Окей, пусть рубить будут после второго пробуждения, но что если я после первого ответил "орёл", а после второго "решка" (у меня нет информации о том, какое это пробуждение, но я могу каждый раз отвечать случайным образом)? Допустим, вы скажете, что даже за один неправильный ответ мне рубят голову. На самом деле это ключевой момент. Если так, тогда мне нет никакого резона случайным образом отвечать, подходящих на звание "оптимальных" стратегий только две: всегда отвечать "орёл" и всегда отвечать "решка". Какую бы из этих стратегий мы ни выбрали, нам отрубят голову с вероятностью 1/2 (извините, что я всё время про оригинальную формулировку, когда монетка честная, а не про вашу модификацию). И если проводить эксперимент с бесконечным числом красавиц, так и получается: примерно половине из них отрубят голову. Это именно интерпретация "элементарное событие = один эксперимент", и в этой интерпретации получается, что вы правы.

Но если за неправильный ответ (каждый! после каждого пробуждения) нас штрафуют, а за правильный — премируют (опять же каждый раз, причем премируют на ту же сумму!), то интерпретация меняется на "элементарное событие = одно пробуждение", и тут уже расклад очевиден, выгоднее всегда называть решку. Тут ещё можно варьировать соотношение штраф/премия и получать при этом разные оптимальные стратегии, но это, кажется, уже не так интересно.

[sergey zhukov]

Можно еще сказать, что если меня разбудить ночью и спросить "Что выпало на честной монете?", то я отвечу "$50/50$". Если же я знаю, что меня будят только тогда, когда на монете выпадает решка, то я отвечу "решка". При другой договоренности мой ответ будет другой, но в любом случае я должен учитывать эту договоренность при ответе.

В первом объяснении этого парадокса красавица намеренно не различает случаи "монета была брошена вчера" и "монета была брошена только-что", как будто это одно и то же и ответ должен быть $\frac{1}{2}$ в обоих вариантах. Хотя она знает, что это неправильно. Только во втором случае она должна отвечать $\frac{1}{2}$, а в первом случае она должна отвечать просто "решка".

Конечно, она и на самом деле не различает эти варианты. Но это и не нужно. Достаточно знать и учитывать их вероятности.

Например, парадокс Монти Холла мне кажется гораздо более интересным. И он имеет связь с парадоксом спящей красавицы, по моему. В обоих случаях мы не учитываем какую-то информацию и даем ответ "Все по прежнему равновероятно, ничего не изменится". Причем в парадоксе спящей красавицы эта информация, которую мы не учитываем, совершенно явная. А вот в парадоксе Монти Холла трудно уловить, что мы игнорируем.

[Doctor Boom]

sergey zhukov в сообщении #1608024 писал(а):

Из этого рассуждения следует только, что вероятность проснуться в день бросания монеты (понедельник) равна $\frac{2}{3}$, а вероятность проснуться на следующий день после этого равна $\frac{1}{3}$ (вторник).

Как следует? Следует совсем другое, что вероятность проснуться в понедельник (на след день после бросания монеты в воскресенье) равна $0.75$, а во вторник $0.25$, я же привел расчеты

sergey zhukov в сообщении #1608024 писал(а):

Так это и есть ошибка выжившего. Если учитывать только то, что видишь - результат получается неверным. Нужно еще учитывать и то, что ты не видишь. В данном случае это возможно, не нужно от этого отказываться.

Учитывать можно, результат не изменится. Я же учитывал это

sergey zhukov в сообщении #1608024 писал(а):

В вики сказано:

sergey zhukov в сообщении #1608024 писал(а):

Т.е. решение $\frac{1}{3}$ считается правильным.

Только в русской. В английской приводятся разные точки зрения и нет единой правильной

Цитата:

1.The thirder position argues that the probability of heads is 1/3. Adam Elga argued for this position originally[2] as follows
2.David Lewis responded to Elga's paper with the position that Sleeping Beauty's credence that the coin landed heads should be 1/2
3.The double halfer position[7] argues that both P(Heads) and P(Heads | Monday) equal 1/2. Mikaël Cozic,[8] in particular, argues that context-sensitive propositions like "it is Monday" are in general problematic for conditionalization and proposes the use of an imaging rule instead, which supports the double halfer position
4. Another approach to the Sleeping Beauty problem is to assert that the problem, as stated, is ambiguous. This view asserts that the thirder and halfer positions are both correct answers, but to different questions.

worm2 в сообщении #1608029 писал(а):

Противоречие с условием: если выпала решка, я просыпаюсь и говорю что угодно, меня должны усыплять, а не рубить голову

Ок, тогда вас пытают током, невыносимо. Каждый раз

worm2 в сообщении #1608029 писал(а):

извините, что я всё время про оригинальную формулировку, когда монетка честная, а не про вашу модификацию

А я все таки настаиваю на своей модификации

-- 05.09.2023, 20:24 --

Товарищи, я тут все-таки наверное решил парадокс спящей красавицы, оригинальный и мой модифицированный Заведу отдельную тему. Скажу что ответ зависит от некоего характеристического параметра $\varepsilon$, который при нуле дает вероятность $\frac{1}{2}$, а при бесконечности $\frac{1}{3}$ для классического эксперимента (т.е. по сути промежуточный вариант), а для модифицированного дает вероятность почти $1$ как в первом решении (которое я признал верным)

-- 05.09.2023, 20:27 --

Евгений Машеров
А вы чего тему-то покинули? На противоречие в ваших словах бы ответили

-- 05.09.2023, 20:31 --

sergey zhukov в сообщении #1608031 писал(а):

Например, парадокс Монти Холла мне кажется гораздо более интересным. И он имеет связь с парадоксом спящей красавицы, по моему. В обоих случаях мы не учитываем какую-то информацию и даем ответ "Все по прежнему равновероятно, ничего не изменится". Причем в парадоксе спящей красавицы эта информация, которую мы не учитываем, совершенно явная. А вот в парадоксе Монти Холла трудно уловить, что мы игнорируем.

Дык по парадоксу Монти-Холла есть консенсус, а тут нет, как бы вам не хотелось Все-таки не так прост он