Парадокс спящей красавицы 2.0.

[realeugene]

Doctor Boom в сообщении #1608316 писал(а):

одно вероятностное пространство

Какое? Счётное множество натуральных чисел с равновероятным распределением?

[Doctor Boom]

realeugene в сообщении #1608321 писал(а):

Счётное множество натуральных чисел с равновероятным распределением?

Нет, не счетное, а с очень большим $N$. Можно взять предел, если хотите

[realeugene]

Doctor Boom в сообщении #1608348 писал(а):

Можно взять предел, если хотите

Вы определяете вероятностное пространство - вам и рассказывать, где там какие берутся пределы и каким именно образом, чтобы получилось всё строго.

Но вообще-то это разные ситуации, когда красавица после выпадения орла все остальные дни эксперимента просыпается с памятью, что в первую ночь выпал орёл, и когда красавице всё равно стирают память и начинают проводить новый эксперимент. Во втором случае это эргодический процесс, в котором, действительно, доля пробуждений после решки будет в миллиард раз больше доли пробуждений после орла.

[Doctor Boom]

realeugene в сообщении #1608350 писал(а):

Вы определяете вероятностное пространство - вам и рассказывать, где там какие берутся пределы и каким именно образом, чтобы получилось всё строго.

Я действовал скорее как в физике, а там такая строгость не нужна. При желении можно через предел, но на самом деле можно сделать как в оригинальном парадоксе, просто мне так легче, а результат один и тот же. Позже так распишу

realeugene в сообщении #1608350 писал(а):

Во втором случае это эргодический процесс, в котором, действительно, доля пробуждений после решки будет в миллиард раз больше доли пробуждений после орла.

Кстати, в моем парадоксе все проводится один раз (чтобы решение 1 было очевидным). "Бесконечно" большое число дней $N$ скорее воображаемая конструкция для упрощения расчетов

[realeugene]

Doctor Boom в сообщении #1608392 писал(а):

Кстати, в моем парадоксе все проводится один раз (чтобы решение 1 было очевидным).

В таком случае, какое именно определение понятия "вероятность" вы используете? Классическое определение вероятности, основанное на подсчёте долей исходов, для однократно проводимого эксперимента неприменимо. А аксиоматическое определение требует задания вероятностного пространства. Как его зададите - то и получите в ответе.

Doctor Boom в сообщении #1608392 писал(а):

"Бесконечно" большое число дней $N$ скорее воображаемая конструкция для упрощения расчетов

Упрощая расчёты, вы подменяете исходную задачу другой, не эквивалентной ей, и, естественно, получаете совершенно другой результат.

[Doctor Boom]

realeugene в сообщении #1608397 писал(а):

А аксиоматическое определение требует задания вероятностного пространства. Как его зададите - то и получите в ответе.

Задаю стандартное, имеем ГСЧ и допущение о равновероятности проснуться в каждый из дней после бросания монетки.

realeugene в сообщении #1608397 писал(а):

Упрощая расчёты, вы подменяете исходную задачу другой, не эквивалентной ей, и, естественно, получаете совершенно другой результат.

Ошибаетесь. Как я обещал, приведу логику Элга без частотного обоснования (т.к. эксперимент проводится один раз)
В обоих случаях орла и решки вы проснетесь в понедельник, а значит вы не сможете обновить прошлые вероятности, т.е. отношение вероятностей того, что вы проснетесь в понедельник при орле (О1), к вероятности, что вы проснетесь в понедельник при решке (Р1), равно $\frac{1-10^{-9}}{10^{-9}}$, т.е. $O1=(1-10^{-9})X$, $P1=10^{-9}X$. Когда выпала решка, то мы не можем сказать, в какой конкретно из дней проснулись, т.е. все вероятности Pn (проснуться в n-ый день при решке) равны между собой $Pn=10^{-9}X$, а значит при пробуждении вероятность того, что выпала решка, равна $\frac{10^{18}10^{-9}X}{10^{18}10^{-9}X+(1-10^{-9})X}=\frac{10^{9}X}{10^{9}X+(1-10^{-9})X}\approx 1$
Парадокс

[sergey zhukov]

Doctor Boom
Почему правильный результат называется парадоксальным? Конечно, решка. Я полагаю, что тут все с этим согласны, кроме вас. Рассуждения Элга, конечно, правильные. Вы же в первом сообщении хотели нас убедить, что правильным должен быть орел?

[realeugene]

Doctor Boom в сообщении #1608508 писал(а):

Задаю стандартное, имеем ГСЧ и допущение о равновероятности проснуться в каждый из дней после бросания монетки.

Простите, но чтобы задать вероятностное пространство, вы должны определить сигма-алгебру и вероятностную меру на ней. В данном случае конечного множества элементарных событий вам достаточно строго расписать, что у вас есть элементарные события, и какая каждому элементарному событию присвоена вероятность? Не совсем понятно уже с вашим множеством элементарных событий: у вас и принцесса просыпается, и монетку кидают, и это всё как-то комбинируется, так, что в какие-то дни орёл недопустим.

Doctor Boom в сообщении #1608508 писал(а):

приведу логику Элга

А кто такой Элг? Простите, я не очень знаком с философией. Что такое "обновить прошлые вероятности" мне тоже не совсем понятно. Кажется, тут в базовый теорвер уже подмешана теория информации, но без строгого определения понятия сигнала.

[Doctor Boom]

sergey zhukov в сообщении #1608513 писал(а):

Почему правильный результат называется парадоксальным? Конечно, решка.

Даже свою голову поставите?

sergey zhukov в сообщении #1608513 писал(а):

. Я полагаю, что тут все с этим согласны, кроме вас.

Нет, тут все согласны, что ответ зависит от выбора вероятностной модели, только вы настаиваете на однозначной решке)

realeugene в сообщении #1608515 писал(а):

Простите, но чтобы задать вероятностное пространство, вы должны определить сигма-алгебру и вероятностную меру на ней.

Я думаю, вы это легко сделаете для монетки и множества дней при конкретной реализации монетки

realeugene в сообщении #1608515 писал(а):

В данном случае конечного множества элементарных событий вам достаточно строго расписать, что у вас есть элементарные события, и какая каждому элементарному событию присвоена вероятность? Не совсем понятно уже с вашим множеством элементарных событий: у вас и принцесса просыпается, и монетку кидают, и это всё как-то комбинируется, так, что в какие-то дни орёл недопустим.

Да, вы правы, кажется что нельзя однозначно определить вероятностное пространство, но есть одно но. Все условия эксперимента полны, его можно провести в реале. И тогда вы либо увидите орла, тогда верно решение 1, либо решку, тогда верно решение 2, т.е. задача выбора вероятностного пространства объективно имеет решение, хотя нам кажется, что нет. Вот в чем парадокс

realeugene в сообщении #1608515 писал(а):

А кто такой Элг? Простите, я не очень знаком с философией.

Не Элг, а Элга. Адам Элга, философ такой

realeugene в сообщении #1608515 писал(а):

Что такое "обновить прошлые вероятности" мне тоже не совсем понятно. Кажется, тут в базовый теорвер уже подмешана теория информации, но без строгого определения понятия сигнала

Нет, тут обычный теорвер, Байес называется

[sergey zhukov]

Doctor Boom в сообщении #1608532 писал(а):

Все условия эксперимента полны, его можно провести в реале.

Так вы разве сомневаетесь, что мы получим в этом реальном эксперименте? Во первых ясно, что внешний наблюдатель получит, разумеется, ответ Элга. Есть сомнение? Нет. Теперь посмотрим, что получит внутренний наблюдатель. Если он ведет какие-то свои записи, то они, очевидно, совпадут с записями внешнего наблюдателя. Если не ведет - тогда о чем мы говорим? У него нет памяти, как он оценит вероятности? Он может самые дикие гипотезы придумывать, все равно проверить их не может. Вот он проснулся и увидел либо орла, либо решку. И что это доказывает или опровергает из его рассуждений? Вообще ничего. Если он каждый раз просыпается как впервые, то о чем он может судить? Это все равно, что оценивать вероятность выпадения орла на нечестной монете по одному броску. Как тут уже говорили - ответ блондинки вопрос о вероятности встретить динозавра - 50/50.

Если же красавица не желает, чтобы ей отрубили голову, она должна рассуждать так же, как Элга. Голову-то рубят внешние наблюдатели, которые пользуются логикой Элга.

[realeugene]

Doctor Boom в сообщении #1608532 писал(а):

Я думаю, вы это легко сделаете для монетки и множества дней при конкретной реализации монетки

Я-то легко сделаю, а вы? Это же ваша задачка в ПРР - вам и определять ;) Мне очень интересно посмотреть, какая у вас получится маргинальная вероятность события "принцесса проснулась"?

Doctor Boom в сообщении #1608532 писал(а):

Не Элг, а Элга. Адам Элга, философ такой

А, ну да, конечно. Вот только теорвер - это математика, а не философия.

Doctor Boom в сообщении #1608532 писал(а):

Нет, тут обычный теорвер, Байес называется

Не, в голом Байесе есть только условные вероятности, которые никуда не обновляются. Теория информации основана на том же Байесе, но в ней уже начинаются рассуждения про обновления вероятностей после получения сигнала.

-- 09.09.2023, 14:09 --

Doctor Boom в сообщении #1608532 писал(а):

Все условия эксперимента полны, его можно провести в реале.

Где вы раздобудете статистический ансамбль из красавиц?

[realeugene]

О вероятностном пространстве одиночного эксперимента. Пусть монетка честная, но дней в случае выпадения решки $N$.

Сначала кидается монетка, и выпадает орёл (heads, $h$) или решка (tail, $t$). Должно быть $P(h) = P(t) = 1/2$. После этого, в зависимости от исхода бросания монетки, начинается эксперимент с пробуждением принцессы. Который в случае орла длится один день, а в случае решки - $N$ дней, пронумерованных от 1 до $N$. В качестве множества элементарных событий выберем $[1..N] \times \left\{ h, t\right\}$, задав $P(k, h) = 0 | k > 1$.

Далее, из условия $P(h) = 1/2$ следует $P(1,h) = 1/2$. А из равновероятности дней пробуждения принцессы при условии выпадения решки следует $P(k, t) = \frac 1 {2 N}$

Таким образом, вероятностное пространство для одиночного эксперимента задаётся однозначно. Из него следует, что $P(1) = \frac 1 2 \left( 1 + \frac 1 N \right)$, то есть, если принцессу разбудили и спросили, какой сегодня день, она должна ответить, что первый, но что выпал орёл $50/50$. А вот если эксперимент начинают повторять друг за другом, как во втором примере, то вероятностное пространство будет совершенно иное, и вероятности будут другие.

[sergey zhukov]

realeugene в сообщении #1608554 писал(а):

если принцессу разбудили и спросили, какой сегодня день, она должна ответить, что первый, но что выпал орёл $50/50$

Я бы сказал, что она должна ответить, что вероятнее всего, сегодня первый день (в смысле, что его вероятность выше вероятности любого другого дня, а не их суммы в целом), но так же вероятнее всего, что увидит она решку. Одно другому не противоречит.

Если ее спросить: что вероятнее - сегодня первый день или какой-то из остальных? Она должна сказать, что какой-то из остальных (т.е. не первый) вероятнее. Однако понедельник - самый вероятный день среди всех. Это для случая $N>3$.

[realeugene]

sergey zhukov в сообщении #1608556 писал(а):

но так же вероятнее всего, что увидит она решку.

А вот и нет. Либо увидит, либо нет.
Вероятность 50% - тут правильный ответ

[Doctor Boom]

sergey zhukov в сообщении #1608534 писал(а):

Так вы разве сомневаетесь, что мы получим в этом реальном эксперименте? Во первых ясно, что внешний наблюдатель получит, разумеется, ответ Элга. Есть сомнение? Нет.

В моем эксперименте мы его не получим, это очевидно (а realeugene настаивает, что мы его не получим и в оригинальном эксперименте)

sergey zhukov в сообщении #1608534 писал(а):

Теперь посмотрим, что получит внутренний наблюдатель. Если он ведет какие-то свои записи, то они, очевидно, совпадут с записями внешнего наблюдателя. Если не ведет - тогда о чем мы говорим? У него нет памяти, как он оценит вероятности? Он может самые дикие гипотезы придумывать, все равно проверить их не может. Вот он проснулся и увидел либо орла, либо решку. И что это доказывает или опровергает из его рассуждений? Вообще ничего. Если он каждый раз просыпается как впервые, то о чем он может судить?

Так в моем экспенименте это устраняется. У нас орел или решка выпадают с почти единичной вероятностью в зависимости от решения, т.е. если мы увидели орла, то верно решение 1, если решку, то логика решения 2

sergey zhukov в сообщении #1608534 писал(а):

Если же красавица не желает, чтобы ей отрубили голову, она должна рассуждать так же, как Элга. Голову-то рубят внешние наблюдатели, которые пользуются логикой Элга

Что увидят внешние наблюдатели? Что монетка выпадет орлом почти наверное, и будет лишь один понедельник

realeugene в сообщении #1608540 писал(а):

Я-то легко сделаю, а вы?

Если для каждой из стратегий, то легко, но не нужно, там вероятностное пространство и так определено достаточно. Если для всего эксперимента, то не сможете однозначно, а условия эксперимента полны

realeugene в сообщении #1608540 писал(а):

Это же ваша задачка в ПРР - вам и определять ;)

Ее надо было в дискуссионных темах

realeugene в сообщении #1608540 писал(а):

Не, в голом Байесе есть только условные вероятности, которые никуда не обновляются.

А кому он нужен такой, голый? Его практическое применение именно в обновлении вероятностей, и не только в теории информации

realeugene в сообщении #1608540 писал(а):

Где вы раздобудете статистический ансамбль из красавиц?

А нам он не нужен. Есть одна красавица, т.е. мы, один эксперимент и одно наблюдение (которое в данный момент перед глазами)

realeugene в сообщении #1608554 писал(а):

А вот если эксперимент начинают повторять друг за другом, как во втором примере, то вероятностное пространство будет совершенно иное, и вероятности будут другие.

С чего бы ему быть иным? Вы проделываете то же самое и для последующих экспериментов. Мы можем рассуждать так - раз все эксперименты одинаковы, то будем считать, что мы в серии из одного эксперимента.

-- 11.09.2023, 10:21 --

realeugene в сообщении #1608554 писал(а):

Таким образом, вероятностное пространство для одиночного эксперимента задаётся однозначно.

А вот теперь немного изменим условия. Пусть монетка бросается не в воскресенье, а в понедельник после усыпления красавицы, и если выпадет орел, то эксперимент заканчивается, а если решка, то ее будят во вторник. Очевидно, что это ничего не меняет. Но если она проснулась в понедельник (и ей сказали об этом), то она очевидно не может знать, как выпадет монета в будущем, поэтому для нее вероятности событий "понедельник и орел" и "понедельник и решка" должны быть одинаковы, а у вас не так