Можно ли умножать комплексное число на действительное?

[EminentVictorians]

Кстати, совсем забыл про момент с дробями.

epros в сообщении #1605615 писал(а):

А можно каждый раз переопределять ранее построенные множества. Тогда при определении $\mathbb{Z}$ объект $1$ переопределится в $+1$, при определении $\mathbb{Q}$ - в $\frac{+1}{1}$

Целые числа я определяю в духе группы Гротендика (т.е. тоже через конструкцию). А вот насчет рациональных - может быть менее очевидно. Для меня, например, $\frac{2}{3}$ - это не рациональное число. И даже не дробь. Это ее представление. Само рациональное число (которое суть дробь) является бесконечным множеством, состоящим из кучи упорядоченных пар, удовлетворяющих определенным условиям.

Поэтому мне так не нравится Ваш подход - отождествлять комплексные числа с конструкциями вида $a + ib$.

Как и с дробями, я считаю, что $2 + 3i$ - это не комплексное число, а его представление. И тут кстати тоже целая история.

Фиксируем стандартную модель $\mathbb C$ с носителем $\mathbb R \times \mathbb R$.

Сначала доказываем, что $\mathbb C$ является двумерным векторным пространством над $\mathbb R$ (любое поле является векторным пространством над своим подполем). Далее доказываем, что множество $\{(1,0), (0,1)\}$ является базисом этого ВП. Вводим обозначение $1$ для $(1, 0)$ и $i$ для $(0, 1)$. Учитывая, что операции в $\mathbb R$ являются сужением (понятно в каком смысле) операций на $\mathbb C$, и единица поля наследуется подполем, делаем заключение о взаимозаменяемости вещественного умножения на вещественную единицу и комплексного умножения на комплексную единицу. ("Взаимозаменяемость" - это синоним "неразличения на письме")

Далее говорим, что любое комплексное число единственным образом выражается через этот базис (это стандартная теорема из линейной алгебры). Соответственно, $z = a \cdot 1 + bi = a + bi$. Что здесь обозначает $+$? Операцию над комплексными числами? Неа. Это операция не поля, а векторного пространства. Где-то здесь же проговаривается про взаимозаменяемость на письме операций из $\mathbb C$ как векторного пространства и как поля. (С умножением аналогично)

Любая взаимозаменяемость, если что, доказыватется через вот эти все инъективные гомоморфизмы (вложения). Ну и через определения операций, когда у нас есть структуры, подструктуры и т.п.

Таким образом, если взять какую-нибудь строчку из преобразований с комплексными числами из учебника ТФКП, то по моему подходу там будет 3-4 разных операции $+$ и еще примерно столько же разных умножений.

И лично для меня это не усложнение, а наоборот упрощение. Потому что возникает очень большая прозрачность. Я в любой точке могу сказать, что происходит.

[Doctor Boom]

Leeb в сообщении #1605664 писал(а):

Таких очень много, насколько я понимаю.

Оно одно, $R$ в $C$

[Leeb]

Doctor Boom в сообщении #1605678 писал(а):

Leeb в сообщении #1605664 писал(а):

Таких очень много, насколько я понимаю.

Оно одно, $R$ в $C$

Может быть, я вас не так понял, но если вы имеете в виду, что подполей в C, изоморфных R, одно, то это неверно.

[Doctor Boom]

Leeb в сообщении #1605679 писал(а):

Может быть, я вас не так понял, но если вы имеете в виду, что подполей в C, изоморфных R, одно, то это неверно.

Да-е мое. Берете все комплексные числа с нулевой мнимой частью. Что непонятного-то?

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1605676 писал(а):

Для меня, например, $\frac{2}{3}$ - это не рациональное число. И даже не дробь. Это ее представление. Само рациональное число (которое суть дробь) является бесконечным множеством, состоящим из кучи упорядоченных пар, удовлетворяющих определенным условиям.

Правильно ли я понял, что таким витиеватым образом Вы пытаетесь намекнуть, что для Вас рациональное число - это класс эквивалентности пар из целого и положительного целого числа? Т.е. записи вида $\frac{2}{3}$, $\frac{4}{6}$, $\frac{6}{9}$ и.т.д. с Вашей точки зрения - это всё "представления" одного и того же рационального числа.?

Так тоже можно, но зачем, если сформулировать условие "не имеют общих делителей" проще? Тогда $\frac{4}{6}$ будет не "рациональным числом", а просто "дробью".

EminentVictorians в сообщении #1605676 писал(а):

я считаю, что $2 + 3i$ - это не комплексное число, а его представление

Ну да, мы ни в каком языке не можем употреблять "сами объекты", а просто называем их по "именам". Вот это и есть "имя" комплексного числа. В формальной грамматике это называется "терм".

Кстати, а вот эта Ваша запись про $\mathbb R$, это тоже "представление"?

EminentVictorians в сообщении #1605645 писал(а):

Пусть $\mathbb R = (R, +, \cdot, <)$

Это я к тому, что $\mathbb Q$ под эту запись тоже подходит. И даже если Вы попытаетесь уточнить, что носитель - континуальный, Вы всё ещё не дали полноценного определения $\mathbb R$ и можете попасть в ту же ловушку, когда оказалось, что возможно определение двух разных таких $\mathbb R$, отличающихся только порядком. Потому что на настоящем $\mathbb R$ должна выполняться аксиома непрерывности, согласованная с порядком, которая не позволит Вам изменить порядок.

EminentVictorians в сообщении #1605676 писал(а):

Вводим обозначение $1$ для $(1, 0)$ и $i$ для $(0, 1)$.

Нет, так не пойдёт. Обозначения $1$ и $0$ заняты обозначением элементов $\mathbb{N}$. Вы не можете в одном предложении использовать $1$ для обозначения элемента $\mathbb{N}$ и для обозначения пары $(1, 0)$. Так что будьте добры в арифметике комплексных чисел записывать единицу полностью, например, вот так:

epros в сообщении #1605615 писал(а):

при определении $\mathbb{C}$ - в $(((-\infty,\frac{+1}{1}],(\frac{+1}{1},+\infty)),((-\infty,\frac{0}{1}],(\frac{0}{1},+\infty)))$.

Хотя при Вашем подходе получится ещё посложнее.

EminentVictorians в сообщении #1605676 писал(а):

Это операция не поля, а векторного пространства.

Короче, заморочились по полной.

[vicvolf]

Doctor Boom в сообщении #1605659 писал(а):

Если на $Re^{i\varphi}$ есть естественное положительное направление, то оно есть и на $Re^{i(\varphi+\varepsilon)}$ (т.е. у близких лучей должны быть одинаковые положительные направления).

Луч — это часть прямой, ограниченная с одной стороны точкой. $Re^{i\varphi}$ - это не луч.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1605695 писал(а):

Правильно ли я понял, что таким витиеватым образом Вы пытаетесь намекнуть, что для Вас рациональное число - это класс эквивалентности пар из целого и положительного целого числа?

Пар из целого и целого - стандартная конструкция поля частных.

epros в сообщении #1605695 писал(а):

Т.е. записи вида $\frac{2}{3}$, $\frac{4}{6}$, $\frac{6}{9}$ и.т.д. с Вашей точки зрения - это всё "представления" одного и того же рационального числа.?

Да. Как и $\frac{-2}{-3}$, $\frac{-4}{-6}$ и тд.

epros в сообщении #1605695 писал(а):

Так тоже можно, но зачем, если сформулировать условие "не имеют общих делителей" проще?

Мне сложнее (причем, на самом полном серьезе сложнее - я это не ради полемики произношу). Плюс мне сама конструкция поля частных нравится - она универсальная. Давайте прикинем на уровне интуиции, что мы вообще хотим от поля частных? Довольно очевидно, что мы хотим в некотором смысле минимально расширить целостное кольцо до поля. Сделать что-то типа свободного поля. Но, во-первых, свободное поле было бы, если бы мы конструировали поле из голого множества. Во-вторых, свободных полей не бывает (здесь я кратко обрисовал почему). Короче говоря, нам нужно не максимально свободное поле, а как бы свободное "по модулю кольцевой структуры" (точно так же как от группы Гротендика мы хотим не максимально свободную группу, а как бы свободную по модулю структуры подлежащего моноида). Уже из этих интуитивных соображений все понятно: нам нужен левый сопряженный функтор к забывающему $U: \mathbf{Fld} \to \mathbf{Dom_m}$ (последняя - категория целостных колец с мономорфизмами в качестве стрелок). Почему $\mathbf{Dom_m}$, а не просто $\mathbf{Dom}$? Очевидно: нам же вложение нужно, а не просто какая-то функция, т.е. наша универсальная стрелка должна быть мономорфизмом. Ну и плюс тот факт, что в $\mathbf{Dom}$ тупо нету универсальной стрелки из каждого кольца в поле.

Короче говоря, тут выигрыш во всех смыслах: красота, общность, единообразность (у Вас объекты разных сортов, тут - одного) и интуитивная понятность.

epros в сообщении #1605695 писал(а):

Кстати, а вот эта Ваша запись про $\mathbb R$, это тоже "представление"?

EminentVictorians в сообщении #1605645 писал(а):

Пусть $\mathbb R = (R, +, \cdot, <)$

Нет, это определение. Не забывайте, что у меня $R$ (носитель) - конкретное множество. Оно уже построено, и про него уже доказано, что оно континуальное и непрерывное.

epros в сообщении #1605695 писал(а):

Это я к тому, что $\mathbb Q$ под эту запись тоже подходит.

Не подходит из элементарных теоретико-множественных соображений - носители разные (как множества).

epros в сообщении #1605695 писал(а):

Вы всё ещё не дали полноценного определения $\mathbb R$ и можете попасть в ту же ловушку, когда оказалось, что возможно определение двух разных таких $\mathbb R$, отличающихся только порядком. Потому что на настоящем $\mathbb R$ должна выполняться аксиома непрерывности, согласованная с порядком, которая не позволит Вам изменить порядок.

Давайте я догадаюсь. Вы берете $\mathbb R$ и $\mathbb Q$ и рассматриваете не их (как множества), а естественные интерпретации какой-нибудь сигнатуры типа $(=, <, +, 0, 1)$ на них. И потом говорите мне, что они (интерпретации) элементарно эквивалентны. А значит, я не могу отличить одну от другой и мое определение плохое. Угадал? По-моему, учитывая то, что я написал в этом сообщении выше, понятно, почему этот аргумент не проходит. Но на всякий случай разверну подробнее:

Не все в этом мире формалисты. Формалист - это не в смысле любитель строгости (я-то как раз строгость люблю). Формалист - это тот, кто на все смотрит как на формальные теории (вот Вы, например). Элементарная эквивалентность интерпретаций, о которых я написал Выше - это артефакт формализма. Мы намеренно взяли супер слабые средства (посмотрите на сигнатуру), и потом удивляемся: "Почему это $\mathbb R$ и $\mathbb Q$ перестали отличаться...". Так мы сами к этому пришли своими собственными усилиями, загнав себя в такие скованные рамки такой сигнатуры. Просто Вы который раз уже почему-то упускаете из виду, что на меня все эти формалистские заморочки не работают - у меня в кармане вся теория множеств.

epros в сообщении #1605695 писал(а):

Нет, так не пойдёт. Обозначения $1$ и $0$ заняты обозначением элементов $\mathbb{N}$

Вот, опять - формалистские заморочки. Это у Вас все теории формальные и любая запись - строчка, построенная по супер строгим правилам. У меня вообще полунаивная теория множеств. Я могу как угодно что угодно переобозначать (доказав перед этим "взаимозаменяемость на письме" нужных мне констант и операций) и все будет корректно. Просто оно не будет формально.

vicvolf в сообщении #1605700 писал(а):

Хотя при Вашем подходе получится ещё посложнее.

Разумеется. Но если мы доказали все нужные нам вложения, то можно спокойно "отождествить", например, ту же вещественную и комплексную единицу. Я еще раз скажу - я не против идеи отождествления. Просто я к ней более строго подхожу и явно проговариваю все вложения, все под/над структуры и явно доказываю теоремы, что и как можно переобозначать и заменять на письме.

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1605704 писал(а):

Давайте прикинем на уровне интуиции, что мы вообще хотим от поля частных?

Так это ж и школьнику очевидно: Если мы определим на целых числах деление, то некоторые частные оказываются несуществующими. А хотелось бы, чтобы существовали, так что доопределяем. И простите, но я не в состоянии постичь "простоты" того, что нам придётся складывать и перемножать какие-то "классы эквивалентности". По моим понятиям, есть простые (школьные) правила сложения и умножения дробей, в соответствии с которыми нормальный человек выполняет простые действия с натуральными числами, потом сокращает общие множители и получает рациональное число.

EminentVictorians в сообщении #1605704 писал(а):

Нет, это определение. Не забывайте, что у меня $R$ (носитель) - конкретное множество. Оно уже построено, и про него уже доказано, что оно континуальное и непрерывное.

Где это оно "уже построено"? У Вас в голове? Читатель видит только обозначение кортежа из четырёх элементов, а о том, что под всем этим подразумеваете Вы, он должен телепатить. И, кстати, о том, что $R$ непрерывное, Вы сами себя плохо протелепатили, ибо в противном случае не стали бы писать про два таких разных $\mathbb{R}$, отличающихся только порядком.

EminentVictorians в сообщении #1605704 писал(а):

epros в сообщении #1605695 писал(а):

Это я к тому, что $\mathbb Q$ под эту запись тоже подходит.

Не подходит из элементарных теоретико-множественных соображений - носители разные (как множества).

Не та буковка использована что-ли? Так это - условность. Скажем, что это минимальное упорядоченное поле, и получим $\mathbb Q$, несмотря на буковку $R$.

EminentVictorians в сообщении #1605704 писал(а):

Не все в этом мире формалисты. Формалист - это не в смысле любитель строгости (я-то как раз строгость люблю). Формалист - это тот, кто на все смотрит как на формальные теории (вот Вы, например).

Те, кто на всё смотрят как на "множества", тоже те ещё формалисты. В том же самом смысле: Они на всё вынуждены смотреть как на теории. Хотя Вы этот факт изо всей силы пытаетесь замаскировать, но это всё равно на поверку оказывается так. Просто мы все свои мысли вынуждены выражать на языке, а то множество предложений языка, которые в данном контексте полагаются утверждаемыми, это и есть "теория". Вот и вся философия. Когда же мы доходим до необходимости определить конкретную теорию (с помощью того же языка), то выясняется, что для этого она должна быть аксиоматической. Скажите, что из этого Вас не устраивает или хотя бы без чего из этого Вы в принципе можете обойтись?

Я вот без "множеств" могу спокойно обойтись, хотя не наставиваю на этом, потому что теоретико-множественная терминология позволяет опираться на богатую традицию.

EminentVictorians в сообщении #1605704 писал(а):

epros в сообщении #1605695 писал(а):

Нет, так не пойдёт. Обозначения $1$ и $0$ заняты обозначением элементов $\mathbb{N}$.

Вот, опять - формалистские заморочки... Я могу как угодно что угодно переобозначать

Это не формалистские заморочки! Это у Вас - грубая логическая некорректность. Ваше утверждение можно прочитать и без формализма, на человеческом языке: "Обозначим пару из единицы и нуля как единицу", - всё равно слышно, какой это бред. Про подобное Вам ещё античные философы могли бы совершенно правомерно сказать, что это - "круг в определениях".

[mihaild]

epros в сообщении #1605710 писал(а):

И простите, но я не в состоянии постичь "простоты" того, что нам придётся складывать и перемножать какие-то "классы эквивалентности".

А в том, чтобы работать с векторами вместо координат?

[epros]

mihaild в сообщении #1605712 писал(а):

А в том, чтобы работать с векторами вместо координат?

Если есть какой-то другой способ, то почему бы и нет? Но работа с координатами ведь не мешает понимать, что они - только "представление" вектора (причём не единственное), а не "сам вектор".

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1605710 писал(а):

По моим понятиям, есть простые (школьные) правила сложения и умножения дробей, в соответствии с которыми нормальный человек выполняет простые действия с натуральными числами, потом сокращает общие множители и получает рациональное число.

А по моим понятиям Вы ставите телегу впереди лошади. Сначала множества, а потом - "правила". "Правила" - это просто другое название теорем, а не аксиом, как Вы думаете. Давайте еще прямее скажу: то, что $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ - это теорема.

epros в сообщении #1605710 писал(а):

Читатель видит только обозначение кортежа из четырёх элементов, а о том, что под всем этим подразумеваете Вы, он должен телепатить.

Читатель к этому моменту уже два-три десятка страниц прочитал. Где и было написано, какое множество и как мы построили.

epros в сообщении #1605710 писал(а):

И, кстати, о том, что $R$ непрерывное, Вы сами себя плохо протелепатили, ибо в противном случае не стали бы писать про два таких разных $\mathbb{R}$, отличающихся только порядком.

Не бывает просто непрерывного множества. Непрерывным может быть только линейно упорядоченное множество относительно данного линейного порядка.
$\mathbb R = (R, +, \cdot, <)$ является непрерывным линейно упорядоченным множеством относительно порядка $<$.
$\mathbb R' = (R, +, \cdot, <')$ - не является (относительно порядка $<'$)

epros в сообщении #1605710 писал(а):

Не та буковка использована что-ли?

Множество не то, а не просто буква.

epros в сообщении #1605710 писал(а):

Просто мы все свои мысли вынуждены выражать на языке, а то множество предложений языка, которые в данном контексте полагаются утверждаемыми, это и есть "теория". Вот и вся философия.

У формалистов язык - формальный. Я же спокойно пользуюсь естественным языком и не считаю, что от этого уменьшается строгость.

epros в сообщении #1605710 писал(а):

Скажите, что из этого Вас не устраивает или хотя бы без чего из этого Вы в принципе можете обойтись?

Без формального языка.

Кстати, что на Ваш взгляд обозначают "$+$" и "$0$" и "$=$" в записи $8 + 1 = 0 (\mod 3)$? Как Вы ее понимаете?

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1605715 писал(а):

Давайте еще прямее скажу: то, что $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ - это теорема.

Разве кто-то с этим спорит?

EminentVictorians в сообщении #1605715 писал(а):

$\mathbb R = (R, +, \cdot, <)$ является непрерывным линейно упорядоченным множеством относительно порядка $<$.
$\mathbb R' = (R, +, \cdot, <')$ - не является (относительно порядка $<'$)

Вот видите, вдруг выясняется, что $\mathbb R'$ - это не другое представление для поля действительных чисел, а нечто иное: упорядоченное поле, которое не является непрерывным. Надо было изо всех сил телепатить.

EminentVictorians в сообщении #1605715 писал(а):

У формалистов язык - формальный. Я же спокойно пользуюсь естественным языком и не считаю, что от этого уменьшается строгость.

Представляете, и я спокойно пользуюсь неформальным языком. И даже с большим удовольствием. В частности, слово "теория" в моём лексиконе вовсе не обязательно означает "формальная". Например, оно может означать какую-нибудь теорию биологической эволюции, которой до формализации как до Луны пешком. А когда я хочу сказать что-то о формальной теории, то тоже предпочитаю пользоваться словами естественного языка, например, "арифметика Пеано первого порядка", а не переписывать всю аксиоматику. Иногда я даже предпочитаю этот вариант краткому написанию: $\text{PA}$ (ибо читатели могут не знать этого обозначения). И я тоже не считаю, что от этого уменьшается строгость.

EminentVictorians в сообщении #1605715 писал(а):

Без формального языка.

Не обойдётесь Вы без формального языка, если от Вас потребуют именно формализации. Например, если от Вас потребуют определить, что такое "пустое множество", и не удовлетворятся словами про то, что это "множество, для которого не существует элементов, которые ему принадлежат", потому что им, видите ли, непонятно, что такое "множество", "элементы", "принадлежать" и "не существует", то Вам рано или поздно придётся прибегнуть к изложению аксиоматики на формальном языке.

EminentVictorians в сообщении #1605715 писал(а):

Кстати, что на Ваш взгляд обозначают "$+$" и "$0$" и "$=$" в записи $8 + 1 = 0 (\mod 3)$? Как Вы ее понимаете?

А в чём проблема с "моим взглядом"? Вы хотели ещё раз услышать, что $0$, $1$ и $8$ - константы (читай: имена конкретных объектов), $+$ - бинарный функциональный символ (читай: обозначает операцию над парой объектов), $=$ - бинарный предикатный символ (читай: обозначает отношение между двумя объектами)? Единственное, я бы поставил $\mod 3$ в индекс к символу операции. И разумеется я в курсе, какая именно аксиоматика подразумевается под целочисленным сложением по модулю три.

И я уж точно не начну с построения модели, типа того, что $0$ - это $\varnothing$, $1$ - $\{\varnothing\}$ и т.д. Потому что это - просто присвоение упоминаемым объектам других имён, плюс навешивание на задачу дополнительной теоретико-множественной аксиоматики, которая к делу не относится. "Сами объекты" вместо их символических обозначений в Ваших текстах всё равно не появятся.

[EminentVictorians]

epros в сообщении #1605720 писал(а):

В частности, слово "теория" в моём лексиконе вовсе не обязательно означает "формальная".

Я думал, если теория математическая, то у Вас она обязательно формальная.

epros в сообщении #1605720 писал(а):

Вы хотели ещё раз услышать, что $0$, $1$ и $8$ - константы (читай: имена конкретных объектов)

Я о том, что это - не целые числа. Хотя выглядят так же.

epros в сообщении #1605720 писал(а):

Не обойдётесь Вы без формального языка, если от Вас потребуют именно формализации.

Ну это уже будет явный разговор, в духе: "давайте перейдем к максимальному уровню формализации". У Вас-то формализм по дефолту.

[Doctor Boom]

vicvolf в сообщении #1605700 писал(а):

Луч — это часть прямой, ограниченная с одной стороны точкой. $Re^{i\varphi}$ - это не луч.

Ой да, прямой, опечатка

[epros]

EminentVictorians в сообщении #1605726 писал(а):

Я думал, если теория математическая, то у Вас она обязательно формальная

Нет, конечно. Но в математике - большей частью формализуемые. Вопрос в том, до какой степени это нужно. Для определения действительных чисел, например, вряд ли кому-то потребуется объяснять синтаксис и аксиоматику исчисления предикатов. Разве что этот кто-то ничего не слышал про логику и ему отдельно придётся рассказывать, что это такое.

EminentVictorians в сообщении #1605726 писал(а):

Я о том, что это - не целые числа. Хотя выглядят так же.

Это-то как раз несущественная разница. У Вас, вон, даже восьмёрка появилась в записи, хотя в этой арифметике она не нужна. Но ничего, все всё поняли.

EminentVictorians в сообщении #1605726 писал(а):

У Вас-то формализм по дефолту.

Вовсе нет.