Обобщение возведения в степень как бинарной операции

[isomorphfl]

Здравствуйте.

В полях определены две бинарные операции, первая из них, назовём её сложение, образует с носителем поля абелеву группу, а вторая операция (умножение) образует абелеву группу с носителем этого поля, но без нейтрального элемента по сложению. Они между собой связаны дистрибутивностью:

$a \ast (b + c) = a \ast b + a \ast c$

Во всех лекциях и статьях, я вижу как в основном рассматривают алгебры лишь с двумя операциями, будь то кольца, поля или тело. Но мне всегда было интересно, как можно обобщить подобным образом не только сложение и умножение, но и возведение в степень. Хоть возведение в степень не является даже ассоциативным, всё же оно так же, как и умножение с сложение, связано с умножением дистрибутивностью (справа):

$(a \ast b) ^ c = a ^ c \ast b ^ c$

Ещё интересным мне показалось то, что нейтральный элемент справа по остепеннению равен нейтральному элементу по умножению:

$a ^ 1 = a$

что было бы невозможно между умножением и сложением, по крайней мере в ненулевом поле/кольце.

До каких аксиом можно свести операцию возведения в степень и как её можно обобщить на проивольные множества?
Можно ли создать третью операцию связанную со второй таким же дистрибутивным свойством, но которая при этом будет коммутативной или хотя бы ассоциативной?
Какие сильные свойства можно сохранять добавляя всё новые и новые операции связанные с предыдущей дистрибутивностью, а какие придётся утратить?
Можно ли связать как-то две операции не через дистрибутивность так, чтобы эта идея имела математический интерес?
Что насчёт гиперопераций, тетрации и др., как их можно изучать с точки зрения общей алгебры?

И самое главное, что читать и какие топики изучать, чтобы углубиться во всём этом?

[Утундрий]

isomorphfl в сообщении #1575001 писал(а):

что читать и какие топики изучать, чтобы углубиться во всём этом?

Теорию алгебраических систем и универсальных алгебр.

[EminentVictorians]

isomorphfl в сообщении #1575001 писал(а):

Ещё интересным мне показалось то, что нейтральный элемент справа по остепеннению равен нейтральному элементу по умножению:

$a ^ 1 = a$

Это соглашение выходит из циклических групп. Если мы хотим, чтобы выполнялись привычные свойства степеней с целыми показателями для элементов циклической группы, мы с необходимостью придем к этому соглашению.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: по назначению.

[EminentVictorians]

isomorphfl в сообщении #1575001 писал(а):

Во всех лекциях и статьях, я вижу как в основном рассматривают алгебры лишь с двумя операциями, будь то кольца, поля или тело.

Вообще, операцией арности $n$ в учебниках алгебры обычно называют функцию $M^n \to M$, где $M$ - носитель. И алгебра, мол, изучает операции на множествах. По мне это излишне узкая трактовка. В целом, ничего не мешает считать операцией, например, умножение вектора на скаляр (вид операции будет $K \times V \to V$). По-другому на эту историю можно смотреть как на множество операторов вида $V \to V$ (например, оператор $\lambda: V \to V$ - это оператор умножения на скаляр $\lambda$). Т.е. каждый такой оператор представляет собой унарную операцию.

Точно так же почему бы не считать унарной (правда частичной) операцией взятие обратного элемента в поле. И в этом даже есть глубокая логика. Зафиксируем некоторый типа $\tau$ алгебраических систем. Это значит, выберем градуированное (арностями) множество операторов $\Omega$ и множество тождеств $E$. Алгебра $A$ типа $\tau$ (или $(\Sigma, E)$-алгебра $A$) - это множество $S$, на котором задано действие $A$ операторов из $\Omega$, удовлетворяющее всем тождествам из $E$. Рассмотрим категорию $\operatorname{(\Omega, E) - Alg}$ малых $(\Omega, E)$-алгебр. Для каждой такой категории существует левый сопряженный функтор к забывающему функтору $\operatorname{(\Omega, E) - Alg} \to Set$. Учитывая, что категории групп, колец, абелевых групп и т.д. - частные случаи многообразий алгебр (многообразие алгебр - это и есть категория $\operatorname{(\Omega, E) - Alg}$), получаем, что для каждого множества существует порожденное им свободное кольцо, свободная группа и т.д. И отсюда же видно, почему не бывает свободных полей (поля не собираются в многообразие - операция то частичная).

Так что, хоть операция взятия обратного в поле и не считается операцией в общепринятом смысле, алгебраичности в ней не меньше, чем в обычных операциях (так что дело не в ней, а в самом определении операции).