Можно ли умножать комплексное число на действительное?

[Alexey Rodionov]

Поле комплексных чисел C это 1) Поле, 2)Содержащее мнимую единицу, 3) Содержащее подполе изоморфное R. 4) Из всех полей обладающих такими свойствами поле С минимально.
То, что поле C существует, демонстрируется моделью. Множество упорядоченных пар действительных чисел с определенными операциями. Оно удовлетворяет всем аксиомам.
А еще появляются абсолютная величина (модуль) такой пары и сопряженная пара.
Наличие сопряженного числа и модуля это свойство C или свойство модели? Если верно первое, то возникает вопрос: модуль это действительное число или комплексное?
Дальше говорим о тригонометрической форме пары и ее (пару) приходиться умножать на действительное число (модуль). Хорошо ли это? Можно ли комплексное число умножать на действительное? (См. список аксиом.)
Выручает волшебное слово «отождествляем», но оно из обсценной лексики. Студентам такого не скажешь. Не спрашиваю, кто виноват, но что делать? Где про ЭТО почитать?

[ozheredov]

Alexey Rodionov в сообщении #1603929 писал(а):

Можно ли комплексное число умножать на действительное?

А действительное число уже не комплексное?

$$a+0j$$

?

[Утундрий]

Alexey Rodionov
Можно. Разрешаю.

[EminentVictorians]

ozheredov, на таком уровне рассмотрения - нет.

Сначала надо зафиксировать модели $\mathbb R$ и $\mathbb C$. При любом известном мне варианте, $\mathbb R \not\subset \mathbb C$. Разумеется, $\mathbb R$ изоморфно и изометрично вкладывается в $\mathbb C$ (при любом выборе моделей их обоих), но формально подмножеством не является.

[Утундрий]

EminentVictorians
Видимо, это тот самый случай, когда ум зашёл за разум. Что, $\mathbb C$ больше не является расширением $\mathbb R$?

[EminentVictorians]

Утундрий в сообщении #1603952 писал(а):

Что, $\mathbb C$ больше не является расширением $\mathbb R$?

Пока Вы не определите конкретные модели $\mathbb R$ и $\mathbb C$, вопрос не имеет смысла. При любом известном мне выборе моделей, формально - нет, не является. При выбранных моделях (мне известных) $\mathbb C$ расширяет не $\mathbb R$, а образ $\mathbb R$ при вложении в $\mathbb C$. Учитывая, что все модели $\mathbb R$ (как и $\mathbb C$) изоморфны между собой соответственно, неформально можно говорить, что $\mathbb C$ расширяет $\mathbb R$. Но здесь сама тема именно о таких формальных заморочках. Постом выше я написал все довольно аккуратно.

[Утундрий]

EminentVictorians
Понятно. Вы считаете, что есть некоторое реальное $\mathbb R$ и его модель, не совпадающие настолько, что это отличие уместно отмечать в рассуждениях.

[EminentVictorians]

Утундрий в сообщении #1603955 писал(а):

Вы считаете, что есть некоторое реальное $\mathbb R$ и его модель, не совпадающие настолько, что это отличие уместно отмечать в рассуждениях.

Не совсем. Я считаю, что прежде всего необходимо четко определиться с тем, какое определение $\mathbb R$ мы используем. В любом случае (даже если мы используем "аксиоматическое" определение), придется выбрать модель. Далее мы эту модель (которую мы только что выбрали) обозначим буквой $\mathbb R$ и станем называть множеством действительных чисел.

Потом мы точно так же фиксируем модель $\mathbb C$. Далее окажется, что $\mathbb R \not\subset \mathbb C$, но существует вложение $i: \mathbb R \to \mathbb C$. Само $\mathbb R$ оказывается изоморфно с $i(\mathbb R)$, и после этого можно перестать различать $\mathbb R$ и $i(\mathbb R)$ в контексте разговора о комплексных числах.

[Alexey Rodionov]

ozheredov в сообщении #1603947 писал(а):

Alexey Rodionov в сообщении #1603929 писал(а):

Можно ли комплексное число умножать на действительное?

А действительное число уже не комплексное?

$$a+0j$$

?

Поле комплексных чисел C это 1) Поле, 2)Содержащее мнимую единицу, 3) Содержащее подполе изоморфное R. 4) Из всех полей обладающих такими свойствами поле С минимально.
Действительное число не комплексное.

[Red_Herring]

EminentVictorians в сообщении #1603956 писал(а):

перестать различать $\mathbb R$ и $i(\mathbb R)$ в контексте разговора о комплексных числах.

А можно ли умножать действительное число на целое или предварительно надо установить соответствие между $\mathbb Z$ и $\iota(\mathbb Z)$, где $\iota$ соответствующее вложение? Вот уж действительно--всё предварительно!

-- 04.08.2023, 14:11 --

Alexey Rodionov в сообщении #1603959 писал(а):

Действительное число не комплексное.

И курица--не птица, и алгебраист--не математик.

[пианист]

EminentVictorians в сообщении #1603956 писал(а):

необходимо четко определиться с тем, какое определение $\mathbb R$ мы используем

С какой целью?

[EminentVictorians]

Red_Herring в сообщении #1603960 писал(а):

А можно ли умножать действительное число на целое или предварительно надо установить соответствие между $\mathbb Z$ и $\iota(\mathbb Z)$, где $\iota$ соответствующее вложение?

Да, здесь тот же принцип.
$\mathbb Z \not\subset \mathbb R$, но существует вложение $\mathbb Z \to \mathbb R$. (обычно перед этим рассматривают вложение еще и в $\mathbb Q$)

пианист в сообщении #1603961 писал(а):

С какой целью?

Как всегда, надо давать определения объектам и обозначениям, которые мы используем. Это же общее правило.

-- 04.08.2023, 22:28 --

Alexey Rodionov в сообщении #1603959 писал(а):

Поле комплексных чисел C это 1) Поле, 2)Содержащее мнимую единицу, 3) Содержащее подполе изоморфное R. 4) Из всех полей обладающих такими свойствами поле С минимально.
Действительное число не комплексное.

Alexey Rodionov, Вы привели характеризацию поля комплексных чисел, а это еще не все. Здесь еще надо как минимум доказать, что характеризация корректна (определяет нужный вам объект с точностью до изоморфизма) и непротиворечива (т.е. что существует модель). Далее Вы будете обозначать буквой $\mathbb C$ именно эту модель, и действительные числа не будут являться комплексными именно из-за соображений с моделями (а не из-за условий, Вами перечисленных).

[пианист]

- Надо определиться.
- Зачем?
- Потому что надо определиться.

Маркшейдер Кунст писал(а):

У меня нет денег.
Потому что нет денег.

[tolstopuz]

А как точно определяется "содержащее мнимую единицу"?

[EminentVictorians]

tolstopuz в сообщении #1603965 писал(а):

А как точно определяется "содержащее мнимую единицу"?

Имеет объект, квадрат которого равен $(-1)$.