Можно ли умножать комплексное число на действительное?

[Doctor Boom]

vicvolf в сообщении #1606143 писал(а):

Вы то говорите о линейной упорядоченности, то о так называемой Вами "естественной", а теперь опять что-то новое

Нет, старое

vicvolf в сообщении #1606143 писал(а):

А что такое естественный линейный порядок. Я думал, что это линейная упорядоченность, а оказывается это естественная.

vicvolf в сообщении #1606143 писал(а):

Дайте, пожалуйста, четкие определения для так называемых Вами "естественной" упорядоченности и "естественного линейного порядка"?

Естественный линейный порядок это естественная упорядоченность и есть, я думал это очевидно) Побеждает же слово "естественная". По поводу определений можно два подхода.
1. На $Re^{i\varphi}$ (линейный) порядок (т.е. выбор одного из двух положительных направлений, любого) называется естественным, если его с необходимостью индуцировать на ближайшие прямые $Re^{i(\varphi+\varepsilon)}$, со всеми вытекающими.
2. На $Re^{i\varphi}$ существует естественный (линейный) порядок, если можно эвристическим путем выбрать одно из двух формальных положительных направлений как наиболее естественное. Из этого следует, что это можно сделать и для ближайших прямых, путем индуцирования естественного положения опорной прямой

vicvolf в сообщении #1606143 писал(а):

и приблизьте его к рассматриваемым в теме числовым полям.

Ок, из операций берем только сложение (без умножения)

[vicvolf]

Doctor Boom в сообщении #1606230 писал(а):

Естественный линейный порядок это естественная упорядоченность и есть, я думал это очевидно) Побеждает же слово "естественная". По поводу определений можно два подхода.
1. На $Re^{i\varphi}$ (линейный) порядок (т.е. выбор одного из двух положительных направлений, любого) называется естественным, если его с необходимостью индуцировать на ближайшие прямые $Re^{i(\varphi+\varepsilon)}$, со всеми вытекающими.
2. На $Re^{i\varphi}$ существует естественный (линейный) порядок, если можно эвристическим путем выбрать одно из двух формальных положительных направлений как наиболее естественное. Из этого следует, что это можно сделать и для ближайших прямых, путем индуцирования естественного положения опорной прямой

vicvolf в сообщении #1606143 писал(а):

и приблизьте его к рассматриваемым в теме числовым полям.

Ок, из операций берем только сложение (без умножения)

Я понял, что Вы не мастер определений) Теперь о том, что я понял, поправьте, если не так.
На каждой прямой $Re^{i\varphi}$, в общем случае, существуют два линейных порядка, но поля нет, так как имеется только одна операция - сложение комплексных чисел. Только при $\varphi=0$ выполняется также операция умножения, т.е. получаем числовое поле $R$, согласованное с линейным порядком.
В отношении, так называемого, "естественного" порядка. Вы выполняете ортогональное проектирование комплексных чисел на действительную ось и присваиваете комплексным числам порядок в соответствии с их проекцией на положительное или отрицательное направлением действительной оси. Конечно при проходе через угол $\varphi =\pi/2$ "естественный" порядок комплексных чисел меняется на противоположный. Операции в поле комплексных чисел не согласованы с таким порядком, так как не учитывается мнимая часть комплексного числа. Поэтому никакие выводы о неправильной линейной упорядоченности действительных чисел на основании "естественного" порядка делать нельзя.

[Doctor Boom]

vicvolf в сообщении #1606242 писал(а):

На каждой прямой $Re^{i\varphi}$, в общем случае, существуют два линейных порядка, но поля нет, так как имеется только одна операция - сложение комплексных чисел.

Верно

vicvolf в сообщении #1606242 писал(а):

Вы выполняете ортогональное проектирование комплексных чисел на действительную ось и присваиваете комплексным числам порядок в соответствии с их проекцией на положительное или отрицательное направлением действительной оси.

Вовсе нет. Причем тут все поле комплексных чисел? Я рассматриваю только прямые вида $Re^{i\varphi}$, и ортогональное проектирование совершаю только на близкую по углу прямую. У нас тогда получится, если у $R$ в $C$ положительное направление вправо, то оно должно быть влево, и наоборот, получаем противоречие. Значит в $C$ у $R$ нет естественного порядка (а вот в $R$ без $C$ он есть)

vicvolf в сообщении #1606242 писал(а):

Операции в поле комплексных чисел не согласованы с таким порядком, так как не учитывается мнимая часть комплексного числа.

Кстати если из операций брать только сложение, то согласуются

[vicvolf]

Doctor Boom в сообщении #1606309 писал(а):

Я рассматриваю только прямые вида $Re^{i\varphi}$, и ортогональное проектирование совершаю только на близкую по углу прямую. У нас тогда получится, если у $R$ в $C$ положительное направление вправо, то оно должно быть влево, и наоборот, получаем противоречие. Значит в $C$ у $R$ нет естественного порядка (а вот в $R$ без $C$ он есть)

Это противоречие Вашего "естественного" порядка.

[Doctor Boom]

vicvolf в сообщении #1606323 писал(а):

Это противоречие Вашего "естественного" порядка.

Это значит, что на данном множестве нельзя ввести естественный порядок (а на других может быть возможно)

[zroslav]

Есть разные по формальности уровни определения комплексных чисел:
1) самый неформальный - добавить корень из минус единицы и далее доопределить все операции.
2) чуть более формальный: определить i как поворот плоского вектора на 90 градусов против часовой стрелки.
3) определить операции на парах чисел (вещественная и мнимая части): так делает Савватеев в своих видео и потом мучается с проверкой всех свойств.
3*) определить операции на фактор-кольце многочленов по идеалу, порожденному $x^2+1$ (и снова нужно проверять все свойства).
4) определить вещественные числа как скалярные матрицы 2х2, а мнимую единицу - как матрицу:
0 -1
1 0
И тогда комплексные числа это просто подалгебра матриц 2х2. И на вещественные числа умножать становится можно (т.к. матрицы можно), и все свойства операций наследуются из матричных, кроме коммутативности умножения. Кватернионы, кстати, можно определить по аналогии, равно как и многие другие алгебры с ассоциативным умножением.

[Antoshka]

Здравствуйте. А не подскажете, чему равно $\sqrt{i^2}$, где $i$ это мнимая единица? Проблема в том, что в множестве комплексных чисел нет понятия положительное, отрицательное число, поэтому мне кажется должно быть $\sqrt{i^2}=\pm i$

[dgwuqtj]

А что вы называете квадратным корнем? Обычно это функция $[0, +\infty) \to [0, +\infty)$, число $-1$ в область определения не попадает.

[Dedekind]

А чем $\sqrt{i^2}$ отличается от $\sqrt{-1}$?

[drzewo]

Antoshka в сообщении #1669181 писал(а):

поэтому мне кажется должно быть $\sqrt{i^2}=\pm i$

так и есть

[Antoshka]

dgwuqtj в сообщении #1669182 писал(а):

А что вы называете квадратным корнем? Обычно это функция $[0, +\infty) \to [0, +\infty)$, число $-1$ в область определения не попадает.

Я рассуждал так. $\sqrt{i^2}$ это такое комплексное число, квадрат которого равен $i^2$. Этому условию удовлетворяют комплексные числа $\pm i$, поэтому $\sqrt{i^2}=\pm i$

[Dedekind]

Antoshka в сообщении #1669266 писал(а):

$\sqrt{i^2}$ это такое комплексное число, квадрат которого равен $i^2$. Этому условию удовлетворяют комплексные числа $\pm i$, поэтому $\sqrt{i^2}=\pm i$

Ну так все правильно. А в чем проблема-то?

[Antoshka]

Dedekind в сообщении #1669268 писал(а):

Antoshka в сообщении #1669266 писал(а):

$\sqrt{i^2}$ это такое комплексное число, квадрат которого равен $i^2$. Этому условию удовлетворяют комплексные числа $\pm i$, поэтому $\sqrt{i^2}=\pm i$

Ну так все правильно. А в чем проблема-то?

Вот теперь я не могу понять, какой знак выбирать, когда надо записать корни кубического уравнения по формуле Кардано. По формуле Кардано корни кубического уравнения состоят из слагаемых вида $\sqrt[3]{a+\sqrt{i^2\cdot b}}$
Так вот чему равно $\sqrt{i^2}$, когда $b>0$?

[dgwuqtj]

В формуле Кардано надо же ещё выбирать и «знаки» кубических корней... Всего 2 квадратных корня и 2 кубических, то есть 36 вариантов! На самом деле у квадратных корней знаки выбираются различными (не имеет значения, где какой, из-за симметрии), а у кубических — так, чтобы их произведение было каким-то рациональным выражением от коэффициентов. Тогда остаётся 3 варианта, как раз 3 корня многочлена.

[Rak so dna]

dgwuqtj в сообщении #1669182 писал(а):

А что вы называете квадратным корнем? Обычно это функция $[0, +\infty) \to [0, +\infty)$, число $-1$ в область определения не попадает.

Это арифметический квадратный корень.

Antoshka в сообщении #1669181 писал(а):

А не подскажете, чему равно $\sqrt{i^2}$, где $i$ это мнимая единица? Проблема в том, что в множестве комплексных чисел нет понятия положительное, отрицательное число, поэтому мне кажется должно быть $\sqrt{i^2}=\pm i$

Знаком радикала $\sqrt[q]{z^p}$, как правило, обозначается главная ветвь многозначной функции $z^{\frac{p}{q}}$
Т.о. будет верно равенство $\sqrt{-1}=i$, а равенства $\sqrt{-1}=\pm i$ или $\sqrt{-1}=-i$ — уже нет.