Самовыдуманные задачи на доказательство

[ewert]

Anton_Peplov в сообщении #1122254 писал(а):

(если считать, что ewert тоже предложил задачу)

Я пока что ничего не предлагал, но зато снимаю своё возражение по Вашему поводу. Ваша формулировка не менее (и не более) полезна, чем моя. Собственно, это две примерно равнозначные половины простейшей теоремы об обратной функции.

(я последний раз давал эту теорему на лекциях более полугода назад, поэтому и забыл детали)

[Anton_Peplov]

ewert в сообщении #1122265 писал(а):

Я пока что ничего не предлагал

Ладно, я уже занумеровал задачу номером 6 и перенумеровывать не буду:)

[arseniiv]

(Мета)

LionKing
Всегда лучше цитировать условие комментируемой задачи или давать ссылку на пост с ней, чем указывать один лишь номер и надеяться, что читатели темы помнят или будут её перелистывать/искать по ней этот номер.

[Anton_Peplov]

(Мета)

Тем не менее, идея нумерации хорошая. Хотя бы потому, что позволяет, не вчитываясь в текст, отличать предложение новых задач от обсуждения старых.

[arseniiv]

Кстати, могу дать здесь ссылки на свои ламерские** задачи.

«Равномерные распределения с помощью монеты разными способами»
«Два функциональных уравнения f(x + y) f(x − y) + f(0)^2 = …»
«Машина, деревья и наблюдатели»
«Кручу-верчу»
«Задача про последовательности»
«Описанные октаэдры»°
«С-кривая»°
«Занятая доска»°
«Целочисленные последовательности»

* Spoiler alert! Для тем, где не ноль ответов.
** Или простые, или почему-то безответные.
° А это просто знак градуса. Ни одного ответа. Видать, скучное.

-- Пн май 09, 2016 19:48:20 --

(Мета)

Идея нумерации-то хорошая, да, как и вообще, идея названия потенциально независимых кусков текста отдельными именами.

[g______d]

Anton_Peplov в сообщении #1121740 писал(а):

(Задача призвана показать, сколь далека теорема о промежуточном значении от того, чтобы иметь обратную).

Насчет "сколь далека" мне еще нравится тот факт, что существует дифференцируемая функция, производная которой всюду разрывна; и учесть, что есть теорема о промежуточном значении для производных.

LionKing в сообщении #1121946 писал(а):

Пусть имеется некая функция $f$, действующая из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$. Про эту функцию известно, что:
1) она непрерывна на всей области определения;
2) она инъективна.
Доказать, что функция $f$ строго монотонна.

Эту задачу я видел в учебнике Ross, "Elementary Analysis" в виде теоремы.

Еще можно сформулировать так: есть три утверждения:

$A_0$: Она непрерывна.
$A_1$: Она инъективно отображает интервал на интервал.
$A_2$: Она монотонна.

В условиях $A_k$, утверждения $A_{k+1}$ и $A_{k+2}$ равносильны (по модулю 3).

-- Пн, 09 май 2016 09:20:49 --

Или из любых двух пунктов следует третий :)

[Anton_Peplov]

g______d в сообщении #1122298 писал(а):

Насчет "сколь далека" мне еще нравится тот факт, что существует дифференцируемая функция, производная которой всюду разрывна; и учесть, что есть теорема о промежуточном значении для производных.

Кажется, видел у Гелбаума эту жесть. Ужас. Мозг плавится.

(Оффтоп)

Вот говорят, что общая топология - вынос мозга, потому что там бывает всякая экзотика: то сходятся только стационарные последовательности, то, наоборот, у последовательности пределов как блох, то еще что-нибудь. А по мне, матан - куда больший вынос мозга. В общей топологии заранее знаешь, что "возможно фсё", и ничему не удивляешься. А тут родное каноническое $\mathbb{R}$, непрерывность, даже дифференцируемость; ты думаешь - с детства приучен! - что там сплошь гладенькие параболы да гиперболы, и вдруг под дых - нна! И ходишь такой согнутый, утратив всякое доверие к миру.

[g______d]

Anton_Peplov в сообщении #1122310 писал(а):

Кажется, видел у Гелбаума эту жесть. Ужас. Мозг плавится.

Я перепутал, такой функции не существует. Сорри. Можно построить пример разрывной производной на множестве положительной меры (несложно) и разрывной производной на любом отрезке (сложнее).

[ewert]

А давайте я предложу одну деццкую задачку.

Доказать, что выпуклость функции равносильна монотонности конечной разности $\delta_{x_0}f(x)\equiv\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

Дишовка, скажете?... -- да, безусловно. Но она на удивление полезна для перевода одних языков на других.

[Anton_Peplov]

Это была задача № 7.

[grizzly]

Задача 8 (о перестановке элементов условно сходящихся рядов).
а) О "конечных перестановках". Доказать, что если перестановка членов ряда перемещает любой элемент не более чем на $N$ номеров от начальной позиции, то полученный ряд будет условно сходится к той же сумме.
б) Доказать, что существует "бесконечная перестановка", подействовав которой на любой условно сходящийся ряд, получим ряд, условно сходящийся к той же сумме.

Это простые задачки по рядам, которые позволяют их лучше понять и пробудить интерес к более сложным задачам. Мне в своё время было интересно, насколько "плохой" может быть перестановка из пункта б). Недавно попался в сети ответ на этот вопрос.

[ivvan]

g______d в сообщении #1122334 писал(а):

Я перепутал, такой функции не существует.

А почему не существует?

[Anton_Peplov]

Задача № 9 (общая топология)
Построить:
а) фильтр, пересечение всех элементов которого пусто;
б) фильтр, пересечение всех элементов которого непусто, но не является элементом фильтра.
Доказать, что ни а), ни б) невозможно для фильтров с конечными базами.

[g______d]

ivvan в сообщении #1122490 писал(а):

А почему не существует?

http://math.stackexchange.com/questions ... ivative-be

[Anton_Peplov]

Задача № 10 (абелевы группы)

Пусть $(G, +)$ - абелева группа. Будем называть множество $P \subset G$ полугруппой, если оно замкнуто по бинарной операции $+$ (наличия в полугруппе нуля не требуем, а ассоциативность наследуется из $G$). Пусть $T \subset G$. Обозначим $P(T)$ минимальную полугруппу над $T$, $-T$ - множество элементов, противоположных элементам $T$, $T' = T \cup \{0\}$ и $T_1 + T_2$ - множество всевозможных сумм $t_1 + t_2, \ t_1 \in T_1, t_2 \in T_2$. Доказать, что минимальная подгруппа над $T$ есть $G_{\min}(T) = P(T \cup -T) = P(T' + (-T')) = (P(T) + P(-T)) \cup P(T) \cup P(-T)$