(Задача призвана показать, сколь далека теорема о промежуточном значении от того, чтобы иметь обратную).
Насчет "сколь далека" мне еще нравится тот факт, что существует дифференцируемая функция, производная которой всюду разрывна; и учесть, что есть теорема о промежуточном значении для производных.
Пусть имеется некая функция
, действующая из
в
. Про эту функцию известно, что:
1) она непрерывна на всей области определения;
2) она инъективна.
Доказать, что функция
строго монотонна.
Эту задачу я видел в учебнике Ross, "Elementary Analysis" в виде теоремы.
Еще можно сформулировать так: есть три утверждения:
: Она непрерывна.
: Она инъективно отображает интервал на интервал.
: Она монотонна.
В условиях
, утверждения
и
равносильны (по модулю 3).
-- Пн, 09 май 2016 09:20:49 --Или из любых двух пунктов следует третий :)