Два функциональных уравнения f(x + y) f(x − y) + f(0)^2 = …

[arseniiv]

$$f(x+y) f(x-y) + f^2(0) = f^2(x) + af^2(y)$$

Для первого («чётного») уравнения $a = 1$, для второго («нечётного») уравнения $a = -1$. Можно искать дифференцируемые сколько хочется раз функции $f\colon A\to A$, где $A$ — что-то из $\mathbb R,\mathbb C$ по желанию.

(Некоторые из решений)

Если ничего не приходит в голову, вот несколько решений.

Чётного: константа, $\cos,\ch$.
Нечётного: тождественная функция, $\sin,\sh$.
Обоих: $x\mapsto c_1\varphi(c_2x)$ для любого решения $\varphi$.

(Если всё просто, переместите, пожалуйста, в ПРР.)

[Sender]

(Оффтоп)

$\sh x=-i\sin ix$, $\ch x=\cos ix$, так что это в сущности одно и то же решение.

[arseniiv]

Ой, точно. Проворонил, спасибо.

(Ответы для нечётного уравнения от venco и maxal, написанное в другой теме. Интересующиеся самостоятельным решением — не подглядывайте!)

venco в сообщении #1083355 писал(а):

Общий вид: $f(x) = c\sum{a^k x^{2k+1}\over{(2k+1)!}}$
При разных параметрах $a$ и $c$ получаются как раз $\mathrm{id},\sin,\sh$.

maxal в сообщении #1083359 писал(а):

Это сворачивается до $\frac{c}{\sqrt{a}} \sinh(\sqrt{a}\cdot x)$.

venco в сообщении #1083361 писал(а):

Не совсем. $\mathrm{id}$ должно получиться при $a=0$, а в вашей формуле с этим проблемы.

arseniiv в сообщении #1083362 писал(а):

Надо просто ввести shc по аналогии с sinc как доопределённый по непрерывности $\sh z/z$, получится и компактнее: $cx\operatorname{shc}(x\sqrt{a})$.

venco в сообщении #1083421 писал(а):

Таким образом синус мнимым получится. А если перейти к комплексным параметрам (а что нам мешает?) то и корень не нужен. И вместо shc можно использовать с тем же успехом стандартный sinc:

$$cx\operatorname{sinc}(ax)$$

Для чётного должен быть аналогичен.

Мда, задача оказалась простая всё-таки.