Самовыдуманные задачи на доказательство

[Anton_Peplov]

В процессе изучения математики случается мне во имя освоения материала вертеть его туда-сюда и доказывать или опровергать много пришедших в голову утверждений, которых нет в учебнике. Раз уж я сумел их доказать или опровергнуть, то они тривиальные, студенческие. И вот мне взбрело в ум, что это готовые задачи на доказательство. А значит, от них может быть польза.
1. Кто-то из преподавателей может решить, что задача годная, и дать ее своим студентам (это я размечтался).
2. Кто-то из студентов может решить, что задача полезная для его образования, и решить ее.
3. Кто-то может заметить, что в задаче ошибка и, то, что предлагается доказать/опровергнуть, на самом деле недоказуемо/неопровержимо. В этом случае он скажет мне, и я не буду таким лопухом.

Призываю всех, кто тоже придумывает задачи - для собственного ли обучения или для обучения своих студентов - скидывать их сюда. Потому что поделиться тродами своих плудов всегда приятно, несмотря на то, что мы люди здравомыслящие и отдаем себе отчет, что за задачами человек пойдет скорее всего в задачник.

Да, обращаю внимание - тут предполагаются задачи именно на доказательство. Для задач вида "решить уравнение / взять интеграл / etc." можно создать отдельную тему.

-- 06.05.2016, 16:32 --

Задача. Доказать, что для конечной топологии любые две ее базы пересекаются. Построить две непересекающиеся базы для канонического $\mathbb{R}$.

[Anton_Peplov]

Рассмотрим $\mathbb{R}$ с канонической топологией. Задача: построить сюръекцию $[0, 1] \to [0, 1]$, разрывную в каждой точке.
(Задача призвана показать, сколь далека теорема о промежуточном значении от того, чтобы иметь обратную).

[LionKing]

Ну раз пошла такая пьянка, добавлю свое.)

-- 08.05.2016, 01:26 --

Пусть имеется некая функция $f$, действующая из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$. Про эту функцию известно, что:
1) она непрерывна на всей области определения;
2) она инъективна.
Доказать, что функция $f$ строго монотонна.

-- 08.05.2016, 01:28 --

Пы. Сы. Я не уверен, что задача хоть сколь нибудь сложна, но выкладываю ее в надежде, что хоть кто-то оценит.)))

-- 08.05.2016, 01:31 --

... И еще момент. Ближайшее время я скорее всего не смогу отвечать на сообщения\комментарии ввиду отсутствия времени. Поэтому если я кого-то обделю вниманием, прошу прощения.)))

[ewert]

LionKing в сообщении #1121946 писал(а):

Доказать, что функция $f$ строго монотонна.

Тупо по теореме Больцано-Коши. Хотя три случая перебрать всё-таки придётся, в этом смысле задачка более-менее содержательна.

[Anton_Peplov]

Вдогонку. Доказать, что строго монотонная сюръекция $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ непрерывна. Построить строго монотонную функцию, определенную на всем $\mathbb{R}$, с бесконечным числом разрывов.

[ewert]

Anton_Peplov в сообщении #1122052 писал(а):

Доказать, что строго монотонная сюръекция $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ непрерывна.

Я бы сформулировал иначе (формально говоря, общЕе): что интервала на интервал.

А зачем, кстати? Ценность ведь представляет наоборот: что непрерывная строго монотонная функция сюръбиективна.

[Anton_Peplov]

ewert в сообщении #1122059 писал(а):

А зачем, кстати?

Во славу Сатаны математической истины. Чтобы лучше понять взаимосвязь этих понятий. Гелбаумовский пример функции, не монотонной ни на одном промежутке, тоже не имеет "практической ценности" (в приложениях с такими уродскими функциями никто никогда не работает), однако избавляет от иллюзий.

[ewert]

Anton_Peplov в сообщении #1122063 писал(а):

Во славу Сатаны

Ну с этим спорить не приходится. Как учебная задачка -- да, вполне сойдёт. Просто я всегда про себя прикидываю, а для чего это могло бы пригодиться.

[LionKing]

ewert в сообщении #1122059 писал(а):

непрерывная строго монотонная функция сюръбиективна.

Увы, это не так. Рассмотрим функцию $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ такую, что:
$f(x)=e^x \quad \forall x \in \mathbb{R}$
Эта функция непрерывна на $\mathbb{R}$, строго монотонна, но не биективна. Она инъективна, но не сюръективна.

[Anton_Peplov]

LionKing в сообщении #1122209 писал(а):

Увы, это не так.

В. П. Катаев хотел сказать Я полагаю, ewert хотел сказать примерно следующее: "строго монотонная непрерывная функция, определенная на промежутке $X$, является биекцией между $X$ и некоторым промежутком". Подробнее - из строгой монотонности следует инъективность, а всякую инъекцию можно рассматривать как биекцию $X \to f(X)$; из непрерывности же вытекает, что образом промежутка является промежуток (топология учит нас, что непрерывный образ связного множества связен, а только промежутки и связны в каноническом $\mathbb{R}$).

[LionKing]

Anton_Peplov в сообщении #1122225 писал(а):

В. П. Катаев хотел сказать

К сожалению я никого не знаю на этом форуме.

-- 09.05.2016, 15:40 --

Anton_Peplov в сообщении #1122225 писал(а):

LionKing в сообщении #1122209 писал(а):

Увы, это не так.

В. П. Катаев хотел сказать Я полагаю, ewert хотел сказать примерно следующее: "строго монотонная непрерывная функция, определенная на промежутке $X$, является биекцией между $X$ и некоторым промежутком". Подробнее - из строгой монотонности следует инъективность, а всякую инъекцию можно рассматривать как биекцию $X \to f(X)$; из непрерывности же вытекает, что образом промежутка является промежуток (топология учит нас, что непрерывный образ связного множества связен, а только промежутки и связны в каноническом $\mathbb{R}$).

С этим трудно не согласится. Однако его высказывание я воспринял буквально. Но если он имел ввиду то, что вы написали, то все замечательно.)))

-- 09.05.2016, 15:46 --

Кстати, с Днем Победы!

[Anton_Peplov]

(Оффтоп)

LionKing в сообщении #1122243 писал(а):

К сожалению я никого не знаю на этом форуме.

В. П. Катаев - это писатель. Про него ходит байка, что однажды он писал за школьника сочинение по собственному произведению. Сочинение вернулось исчерканным красной ручкой с многочисленными исправлениями "В. П. Катаев хотел сказать..." Говорят, В. П. Катаев изволил долго смеяться.

LionKing в сообщении #1122243 писал(а):

Кстати, с Днем Победы!

И Вас.

[LionKing]

Кстати, пока у меня есть время, хочу внести предложение по текущей теме, если никто не против. Дык вот... К сожалению, часто случается так, что интересная тема "скатывается во флуд". Дабы предотвратить это, я предлагаю внести следующие правила касательно данной темы:
1) Каждый участник форума может предложить свою задачу. Для этого он должен в начале сообщения написать: "Предлагаю к рассмотрению задачу под номером $n$". Здесь $n$ - порядковый номер задачи в текущей теме. Условие задачи не должно дублировать условия предыдущих задач.
2) Каждый участник форума может предложить свое решение одной из предложенных задач или оставить по ней свой комментарий. Для этого он должен в начале сообщения написать: "К рассмотрению задачи под номером $n$". Здесь $n$ - порядковый номер задачи в текущей теме.
Данные предложения я вношу, дабы избежать флуда и путаницы. Ну как?

-- 09.05.2016, 16:16 --

Если что, то я не настаиваю на своем предложении.)

[Anton_Peplov]

LionKing в сообщении #1122249 писал(а):

Ну как?

Да запросто. У нас пока было предложено пять задач (если считать, что ewert тоже предложил задачу). Следующая задача будет № 6.

-- 09.05.2016, 16:56 --

Задача № 6.
Пусть $T_1, T_2, T_3$ - первая, вторая и третья аксиомы отделимости. Как известно, существуют пространства, в которых выполняются:
а) ни одна из этих аксиом
б) только $T_1$
в)$T_1$ и $T_2$
г) все эти аксиомы.
Напомним, что пространством наименьших окрестностей называется такая топология, что любое (а не только конечное) пересечение открытых множеств открыто. Какие из вариантов а-г) могут встречаться среди пространств наименьших окрестностей?

P.S. Задача очень легкая, но мне она импонирует тем, что проясняет устройство ПНО в части аксиом отделимости. А ПНО - интересный объект, не даром же получило собственное название.

[LionKing]

Вам нравится эта идея?