Кручу-верчу

[arseniiv]

Ещё одна задача. На этот раз она точно решаемая.

1. Пускай $f\colon\mathbb C\to\mathbb C$ — аналитическая где надо функция и $f(e^{2\pi i/n}z) = e^{-2\pi ik/n}f(z)$ для каких-то целых $n>0,k$. Найдите общий вид $f$.
2. А теперь надо представить аналитическую функцию $g$ в виде суммы решений таких уравнений с разными $k$, но фиксированным $n$. Т. е. выразите эти слагаемые через $g,k,n$).
3. …в вещественном случае! (Тут меня как на зло лень взяла, но какое-то из распространённых интегральных преобразований, вроде, ответ точно даст.)

Если задача скучная (этого я опасаюсь) — переместите в другой раздел (или закройте).

[arseniiv]

Сам себе отвечу, чтобы показать простоту.

(Решение.)

1. Назовём такую функцию $(n,k)$-й функцией. Дифференцируем по $z$ равенство и получаем

$$f^{(m)}(e^{2\pi i/n} z) = e^{-2\pi i(k+m)/n} f^{(m)}(z),$$

т. е. $f^{(m)}$ — это $(n,k+m)$-я функция.

Теперь посмотрим, какое значение $(n,k)$-я функция может иметь в нуле:

$$f(0) = e^{-2\pi ik/n}f(0),\quad\left( 1-e^{-2\pi ik/n} \right)f(0) = 0,$$

так что если $k\not\equiv0\pmod n$, обязательно $f(0) = 0$.

Комбинируя предыдущее, видим, что коэффициенты ряда Маклорена $f$ — это $(0_{((-k)\bmod n\text{ раз})},a_0,0_{(n-1\text{ раз})},a_1,0_{(n-1\text{ раз})},a_2,\ldots)$, так что $f(z) = z^{(-k)\bmod n}F(z^n)$, где $F$ — формальный степенной ряд, для которого предыдущее выражение даёт аналитическую функцию. [Насколько это условие нетривиальное, не знаю; если брать $F$ только аналитическими функциями, получим ли мы все аналитические $f$?]

2. Поступим по аналогии с выделением чётной/нечётной части (т. к. чётные и нечётные функции — это то же самое, что $(2,0)$-е и $(2,1)$-е) и положим $f_k(z) = \sum_{m=0}^{n-1} c_m g(e^{2\pi im/n} z)$, после этого потребовав от такой суммы $(n,k)$-ость. Получим $c_m = e^{-2\pi ikm/n}c_0$. Выберем $c_0 = 1$: тогда сумма $f_0 + \ldots + f_{n-1} = ng$. Перелёт, ну так и разделим каждую $f_k$ на $n$.

Это немного непрозрачно (предполагаем и предполагаем без видимых причин), но сейчас я забыл, как это получалось последовательно.

P. S. От экспонент рябит в глазах — надо было сразу обозначить $[k] := e^{2\pi ik/n}$…