Попытка доказательства Теоремы Ферма 2

[natalya_1]

Прошу разрешения у администрации форума для удобства продублировать мое новое доказательство в новой теме, чтобы не пробирираться через многостраничный текст темы предыдущей.

Я до сих пор уверена, что Ферма шел именно таким путем.

Буду благодарна, если найдете время прочитать
и укажете на ошибку.
Предлагаю частный вариант доказательства для $n=3$ , как того требуют правила форума, но принцип моего доказательства распространяется на все степени n>2. ( при необходимости ( если вдруг окажется, что моё доказательство представляет интерес) я могу его выложить).

Итак, Ферма утверждал, что уравнение $x^3+x'^3=z^3$ не имеет рациональных решений . Попробуем доказать обратное.

1.1. $x+x'-z=d$, где $x$
, $x'$ , $z$
$d$ - положительные числа.***
$x^2+x'^2=z^2+p$, где $p$- положительное число.***

1.2. $x+x'-z=d$,
$x^2+x'^2-z^2=p$ Перемножаем левые и правые части, получаем: $px+px'-pz=x^2d+x'^2d-z^2d$, $x(xd-p)+x'(x'd-p)=z(zd-p)$, $xd-p>0$, $x'd-p>0$, $zd-p>0$.***

1.3. $x(xd-p)+x'(x'd-p)=z(zd-p)$, $x^3+x'^3=z^3$ (п.1.1). Перемножаем левые и правые части, получаем:$z^3x(xd-p)+z^3x'(x'd-p)=x^3z(zd-p)+x'^3z(zd-p)$ , следовательно, $(zd-p)x^3-z^{2}dx^2+z^{2}px=-((zd-p)x'^3-z^{2}dx'^2+z^{2}px')$ .

2.1 Равенство будет выполняться в двух случаях:


2.1.1. Функция $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px $ в точках $x$ и $x'$ принимает одинаковые значения разных знаков. Она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$,
следовательно , уравнение имеет бесчисленное множество решений.

2.1.2. если $x =x'$. Тогда
$x((zd-p)x^2-z^2dx+z^2p)=0$
$x=0$ ( но у нас $x>0$).
или $(zd-p)x^2-z^2dx+z^2p=0$
$D=z^4d^2-4z^2p(zd-p)$ $D=z^2(zd-2p)^2$
$x=\frac{z^2d+z(zd-2p)}{2(zd-p)}$ или $z=\frac{z^2d-z(zd-2p)}{2(zd-p)}$, отсюда $x=c$ ( но у нас $x<c$) или $x=\frac{zp}{zd-p}$.

3.1 Теперь предположим, что уравнение $x^3+x'^3=z^3$
имеет решение в рациональных числах при $x=a$, $x'=b$, $z=c$, где $a$, $b$, $c$ - рациональные положительные числа.

Тогда $a^3+b^3=c^3$.
$a+b=c+d$ ,$a^2+b^2=c^2+ p$ , и
$p$ ,$d$ -рациональные числа.
Поскольку функция $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$ в точках $a$ и $b$ принимает одинаковые значения разных знаков и она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$, между $a$ и $b$ существует точка ( назовем ее
$h$
значение функции в которой при этих значениях параметров $d$ и $p$ равно $0$, то есть существуют решение уравнения $x^3+x'^3=z^3$.
при 1. $x=a$ $x'=b$ и 2.$x=x'=h$.

где $h=\frac{cp}{cd-p}$ - рациональное число. Но это противоречит $2h^3=c^3$ ( $h$
должно быть иррациональным числом),
следовательно, $p$ и $d$ не могут быть рациональными, а значит, и все три числа
$а$, $b$ и $c$ не могут быть положительными рациональными.




***$xd-p=x(x+x'-z) -(x^2+x'^2-z^2)=xx'+x^2-zx-x^2-x'^2+z^2=(z-x)(z+x')-x'(z-x)=(z-x)(z+x-x')$
$z-x>0$, $z+x-x'>0$ , следовательно, $xd-p>0$.
,$z>x$, следовательно,$zd-p>0$

[Antoshka]

natalya_1 в сообщении #1595036 писал(а):

1.3. $x(xd-p)+x'(x'd-p)=z(zd-p)$, $x^3+x'^3=c^3$ (п.1.1)

Вот в этом месте опечатка. Должно быть $z$ вместо $c$ по идее

[natalya_1]

Antoshka в сообщении #1595041 писал(а):

natalya_1 в сообщении #1595036 писал(а):

1.3. $x(xd-p)+x'(x'd-p)=z(zd-p)$, $x^3+x'^3=c^3$ (п.1.1)

Вот в этом месте опечатка. Должно быть $z$ вместо $c$ по идее

Спасибо большое, вы правы. Но уже не могу исправить текст.

[Ende]

natalya_1 в сообщении #1595036 писал(а):

Прошу разрешения у администрации форума для удобства продублировать мое новое доказательство в новой теме, чтобы не пробираться через многостраничный текст темы предыдущей.

Модератор не возражает. Тогда предыдущую тему закрываю.

natalya_1 в сообщении #1595043 писал(а):

Но уже не могу исправить текст.

Исправил.

[Rak so dna]

natalya_1 т.е. все мои возражения вы жёстко проигнорировали?

[natalya_1]

Rak so dna в сообщении #1595047 писал(а):

natalya_1 т.е. все мои возражения вы жёстко проигнорировали?

Нет, что вы! Спасибо большое за замечания! Просто у меня нет компьютера под рукой, пишу с телефона, буду завтра разбраться. У меня час с лишним ночи сейчас. Я не умею так быстро.

[natalya_1]

Rak so dna еще раз спасибо за ваши замечания.
Да, вы правы, я запуталась в параметрах. В общем случае они привязаны к каждому решению ( и являются переменными), а в частном случае они уже не переменные и привязаны уже только к a, b и с.
Теперь буду разбираться со всем этим и исправлять ( если возможно).

[Antoshka]

natalya_1 в сообщении #1595036 писал(а):

2.1.1. Функция $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px $ в точках $x$ и $x'$ принимает одинаковые значения разных знаков.

Может я туплю, но тут тоже должно быть $z$ вместо $c$?

[natalya_1]

Antoshka в сообщении #1595247 писал(а):

natalya_1 в сообщении #1595036 писал(а):

2.1.1. Функция $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px $ в точках $x$ и $x'$ принимает одинаковые значения разных знаков.

Может я туплю, но тут тоже должно быть $z$ вместо $c$?

Спасибо большое, я пишу с телефона, поэтому много опечаток.

-- Чт май 25, 2023 19:19:03 --

Rak so dna
Кажется, разобралась с парамеирами.
Посмотрите, пожалуйста.

2.1.1. Функция $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px $ в точках $x$ и $x'$ принимает одинаковые значения разных знаков. Она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$,
следовательно , уравнение имеет бесчисленное множество решений.

3.1 Теперь предположим, что уравнение $x^3+x'^3=z^3$
имеет решение в рациональных числах при $x=a$, $x'=b$, $z=c$, где $a$, $b$, $c$ - рациональные положительные числа.

$a^3+b^3=c^3$.
$a+b=c+d$ ,$a^2+b^2=c^2+ p$ , и
$p$ ,$d$ -рациональные числа.

Но тогда
$a^3( cd-p)-c^2da^2+c^2pa=a'^3( cd-p)-c^2da'^2+c^2pa'=a, $b^3( cd-p)-c^2db^2+c^2pb=b'^3( cd-p)-c^2db'^2+c^2pb'=b, где $a^3+b^3=c^3$,
$a'^3+b'^3=c^3$, $a.

И $a'^3( cd'-p')-c^2d'a^2+c^2p'a=-(b'^3( cd'-p')-c^2d'b'^2+c^2p'b')=a,
$a^3( cd-p)-c^2da^2+c^2pa=a'^3( cd-p)-c^2da'^2+c^2pa'=a.
$(a'^3+b'^3)( cd-p)-c^2d(b'^2+a^2)+c^2p(b'+a')=0$, отсюда
$c(cd-p)-d(b'^2+a'^2)+p(b'+a')=0$,
$(a'+b'-c)d=(a'^2+b'^2-c^2)p$, $p'd=pd'$.
Аналогично получается $p.

Если это верно, то дальше должно получиться ( дальше легко доказывается рациональность a', a", b', b", на чем у меня были все проблемы 10 лет назад).

[Rak so dna]

natalya_1 у вас есть функция $y(x)=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$, а также три решения ВТФ: $(a,b,c)$, $(a',b',c)$, $(a'',b'',c)$. Почему вы считаете, что $y(a)=y(a')=y(a'')$ ?

[natalya_1]

Rak so dna в сообщении #1595323 писал(а):

natalya_1 у вас есть функция $y(x)=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$, а также три решения ВТФ: $(a,b,c)$, $(a',b',c)$, $(a'',b'',c)$. Почему вы считаете, что $y(a)=y(a')=y(a'')$ ?

Я не знаю, смогу ли я грамотно объяснить 0од моих рассуждений.
В общем виде, когда параметры- величины переменные, связанные каждый со своей парой решений уравнения Ферма, у нас другая функция
$y(x)=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$.
Значение этой функции в точке x' равно
$(cd'-p')x'^3-c^{2}d'x'^2+c^{2}p'x'$, а в точке a -
$(cd-p)a^3-c^{2}da^2+c^{2}pa$.
Функции $y(x)=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$ , $y''(x)=(cd''-p'')x''^3-c^{2}d''x''^2+c^{2}p''x''$ и $y'(x)=(cd'-p')x'^3-c^{2}d'x'^2+c^{2}p'x'$
-это другие функции, где параметры уже величины постоянные. И графики этих функций пересекаются.
Двигаются относительно друг друга точки между 0 и c , в которых эти функции принимают значение 0.

[Rak so dna]

natalya_1 то, что для каждого нового значения аргумента у вас меняется сама функция (а не её значение), означает, что на самом деле никакой функции не определено.

У вас просто кошмарные обозначения. Если вы их оставите как есть, то гарантированно будете путаться. Я бы посоветовал оставить $x,y,z$ для обозначения переменных, $f,g,h,p,d$ — для обозначения функций (вообще $d$ — это тоже плохое обозначения, ну да ладно, будем надеяться, что до дифференциальных уравнений дело не дойдёт). Штрихи оставьте для производных, а чтобы различать параметры лучше использовать нижние индексы.

Например:

---------
пусть тройки чисел $(a_0,b_0,c_0)$, $(a_1,b_1,c_0)$, $(a_2,b_2,c_0)$ — решения уравнения $x^3+y^3=z^3$.
Определим следующие функции:

$d(x,y)=x+y-c_0$
$p(x,y)=x^2+y^2-c_0^2$

На базе этих функций определим вашу функцию:

$f(x,y)=(c_0d(x,y)-p(x,y))x^3-c_0^2x^2d(x,y)+c_0^2xp(x,y)$
---------

Всё, можете манипулировать с этой функцией как хотите. Например вашему $y(a)$ будет соответствовать $f(a_0,b_0)$ причём сразу видно, что то, что у вас являлось "параметрами" $p,d$ тут — функции $p(x,y),d(x,y)$, а ваше

natalya_1 в сообщении #1595326 писал(а):

когда параметры- величины переменные, связанные каждый со своей парой решений

это просто значения этих функций в соответствующих точках: $p(a_0,b_0),d(a_0,b_0)$


Теперь мой предыдущий вопрос

Rak so dna в сообщении #1595323 писал(а):

Почему вы считаете, что $y(a)=y(a')=y(a'')$ ?

будет звучать так:
Почему вы считаете, что $f(a_0,b_0)=f(a_1,b_1)=f(a_2,b_2)$ ?

[natalya_1]

Rak so dna
Я понимаю, что у меня полная путаница в обозначенных.
Я вечером постараюсь ответить на ваш вопрос ( Мне надо подумать).
Пока хочу вам по-дилетантски обьяснить, почему я пришла к такому выводу.
В моем "доказательстве" благодаря вам нашлась ошибка.
Когда я нашла h и ее значение через опреднленные численно парраметры , я ошибочно предположила , что это будет еще одним решением уравнения Ферма.

-- Чт май 25, 2023 23:22:12 --

В общем случае Функция $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$ -это функция не с одной, а с тремя переменными: x, d и p ( точнее, с двумя- a и b, от которых зависят параметры).

И $x^3+x'^3=c^3$ при
$p=2x^2-c^2$, $d=2x-c$.
Я подумаю, как мне со всеми этими обозначениями разобраться. Вы правы, это кошмар.
В этом общем случае значение функции в точке a' равно значению функции в точке a. То есть,
$(cd'-p')a'^3-c^{2}d'a'^2+c^{2}p'a'=(cd-p)a^3-c^{2}da^2+c^{2}pa$

Возможно, когда я приведу в порядок обозначения, я найду ошибку.

[Rak so dna]

natalya_1 давайте пока что ограничимся только определением вашей функции. Попробуйте чётко его сформулировать и выписать, остальное писать не надо.

[natalya_1]

Rak so dna
Все же не могу найти ошибку в своих рассуждениях:
Мы же решали систему уравнений ( не знаю, как поставить большие скобки и объединить уравнения в систему)
1. $x^3+x'^3=c^3$
2. $\frac{x^2+x'^2-c^2}{x+x'-c}=\frac{a^2+b^2-c^2}{a+b-c}=\frac{p}{d}$,
то есть, при заданных параметрах p и d и при $2x^3>c^3$ и $2x'^3<c^3$, если функция
$y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px $ в точках $x$ и $x'$ принимает одинаковые значения разных знаков, то $x^3+x'^3=c^3$ уже задано системой уравнений, разве нет?