2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 12  След.
 
 Попытка доказательства Теоремы Ферма 2
Сообщение24.05.2023, 06:22 


29/08/09
691
Прошу разрешения у администрации форума для удобства продублировать мое новое доказательство в новой теме, чтобы не пробирираться через многостраничный текст темы предыдущей.

Я до сих пор уверена, что Ферма шел именно таким путем.

Буду благодарна, если найдете время прочитать
и укажете на ошибку.
Предлагаю частный вариант доказательства для $n=3$ , как того требуют правила форума, но принцип моего доказательства распространяется на все степени n>2. ( при необходимости ( если вдруг окажется, что моё доказательство представляет интерес) я могу его выложить).

Итак, Ферма утверждал, что уравнение $x^3+x'^3=z^3$ не имеет рациональных решений . Попробуем доказать обратное.

1.1. $x+x'-z=d$, где $x$
, $x'$ , $z$
$d$ - положительные числа.***
$x^2+x'^2=z^2+p$, где $p$- положительное число.***

1.2. $x+x'-z=d$,
$x^2+x'^2-z^2=p$ Перемножаем левые и правые части, получаем: $px+px'-pz=x^2d+x'^2d-z^2d$, $x(xd-p)+x'(x'd-p)=z(zd-p)$, $xd-p>0$, $x'd-p>0$, $zd-p>0$.***

1.3. $x(xd-p)+x'(x'd-p)=z(zd-p)$, $x^3+x'^3=z^3$ (п.1.1). Перемножаем левые и правые части, получаем:$z^3x(xd-p)+z^3x'(x'd-p)=x^3z(zd-p)+x'^3z(zd-p)$ , следовательно, $(zd-p)x^3-z^{2}dx^2+z^{2}px=-((zd-p)x'^3-z^{2}dx'^2+z^{2}px')$ .

2.1 Равенство будет выполняться в двух случаях:


2.1.1. Функция $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px $ в точках $x$ и $x'$ принимает одинаковые значения разных знаков. Она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$,
следовательно , уравнение имеет бесчисленное множество решений.

2.1.2. если $x =x'$. Тогда
$x((zd-p)x^2-z^2dx+z^2p)=0$
$x=0$ ( но у нас $x>0$).
или $(zd-p)x^2-z^2dx+z^2p=0$
$D=z^4d^2-4z^2p(zd-p)$ $D=z^2(zd-2p)^2$
$x=\frac{z^2d+z(zd-2p)}{2(zd-p)}$ или $z=\frac{z^2d-z(zd-2p)}{2(zd-p)}$, отсюда $x=c$ ( но у нас $x<c$) или $x=\frac{zp}{zd-p}$.

3.1 Теперь предположим, что уравнение $x^3+x'^3=z^3$
имеет решение в рациональных числах при $x=a$, $x'=b$, $z=c$, где $a$, $b$, $c$ - рациональные положительные числа.

Тогда $a^3+b^3=c^3$.
$a+b=c+d$ ,$a^2+b^2=c^2+ p$ , и
$p$ ,$d$ -рациональные числа.
Поскольку функция $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$ в точках $a$ и $b$ принимает одинаковые значения разных знаков и она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$, между $a$ и $b$ существует точка ( назовем ее
$h$
значение функции в которой при этих значениях параметров $d$ и $p$ равно $0$, то есть существуют решение уравнения $x^3+x'^3=z^3$.
при 1. $x=a$ $x'=b$ и 2.$x=x'=h$.

где $h=\frac{cp}{cd-p}$ - рациональное число. Но это противоречит $2h^3=c^3$ ( $h$
должно быть иррациональным числом),
следовательно, $p$ и $d$ не могут быть рациональными, а значит, и все три числа
$а$, $b$ и $c$ не могут быть положительными рациональными.




***$xd-p=x(x+x'-z) -(x^2+x'^2-z^2)=xx'+x^2-zx-x^2-x'^2+z^2=(z-x)(z+x')-x'(z-x)=(z-x)(z+x-x')$
$z-x>0$, $z+x-x'>0$ , следовательно, $xd-p>0$.
,$z>x$, следовательно,$zd-p>0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма 2
Сообщение24.05.2023, 07:37 


13/05/16
361
Москва
natalya_1 в сообщении #1595036 писал(а):
1.3. $x(xd-p)+x'(x'd-p)=z(zd-p)$, $x^3+x'^3=c^3$ (п.1.1)

Вот в этом месте опечатка. Должно быть $z$ вместо $c$ по идее

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма 2
Сообщение24.05.2023, 08:02 


29/08/09
691
Antoshka в сообщении #1595041 писал(а):
natalya_1 в сообщении #1595036 писал(а):
1.3. $x(xd-p)+x'(x'd-p)=z(zd-p)$, $x^3+x'^3=c^3$ (п.1.1)

Вот в этом месте опечатка. Должно быть $z$ вместо $c$ по идее

Спасибо большое, вы правы. Но уже не могу исправить текст.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма 2
Сообщение24.05.2023, 08:07 
Админ форума


02/02/19
2131
natalya_1 в сообщении #1595036 писал(а):
Прошу разрешения у администрации форума для удобства продублировать мое новое доказательство в новой теме, чтобы не пробираться через многостраничный текст темы предыдущей.
Модератор не возражает. Тогда предыдущую тему закрываю.
natalya_1 в сообщении #1595043 писал(а):
Но уже не могу исправить текст.
Исправил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма 2
Сообщение24.05.2023, 08:15 
Аватара пользователя


26/02/14
525
so dna
natalya_1 т.е. все мои возражения вы жёстко проигнорировали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма 2
Сообщение24.05.2023, 08:20 


29/08/09
691
Rak so dna в сообщении #1595047 писал(а):
natalya_1 т.е. все мои возражения вы жёстко проигнорировали?

Нет, что вы! Спасибо большое за замечания! Просто у меня нет компьютера под рукой, пишу с телефона, буду завтра разбраться. У меня час с лишним ночи сейчас. Я не умею так быстро.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма 2
Сообщение25.05.2023, 00:08 


29/08/09
691
Rak so dna еще раз спасибо за ваши замечания.
Да, вы правы, я запуталась в параметрах. В общем случае они привязаны к каждому решению ( и являются переменными), а в частном случае они уже не переменные и привязаны уже только к a, b и с.
Теперь буду разбираться со всем этим и исправлять ( если возможно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма 2
Сообщение25.05.2023, 10:29 


13/05/16
361
Москва
natalya_1 в сообщении #1595036 писал(а):
2.1.1. Функция $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px $ в точках $x$ и $x'$ принимает одинаковые значения разных знаков.

Может я туплю, но тут тоже должно быть $z$ вместо $c$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма 2
Сообщение25.05.2023, 17:26 


29/08/09
691
Antoshka в сообщении #1595247 писал(а):
natalya_1 в сообщении #1595036 писал(а):
2.1.1. Функция $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px $ в точках $x$ и $x'$ принимает одинаковые значения разных знаков.

Может я туплю, но тут тоже должно быть $z$ вместо $c$?

Спасибо большое, я пишу с телефона, поэтому много опечаток.

-- Чт май 25, 2023 19:19:03 --

Rak so dna
Кажется, разобралась с парамеирами.
Посмотрите, пожалуйста.

2.1.1. Функция $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px $ в точках $x$ и $x'$ принимает одинаковые значения разных знаков. Она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$,
следовательно , уравнение имеет бесчисленное множество решений.

3.1 Теперь предположим, что уравнение $x^3+x'^3=z^3$
имеет решение в рациональных числах при $x=a$, $x'=b$, $z=c$, где $a$, $b$, $c$ - рациональные положительные числа.

$a^3+b^3=c^3$.
$a+b=c+d$ ,$a^2+b^2=c^2+ p$ , и
$p$ ,$d$ -рациональные числа.

Но тогда
$a^3( cd-p)-c^2da^2+c^2pa=a'^3( cd-p)-c^2da'^2+c^2pa'=a, $b^3( cd-p)-c^2db^2+c^2pb=b'^3( cd-p)-c^2db'^2+c^2pb'=b, где $a^3+b^3=c^3$,
$a'^3+b'^3=c^3$, $a.

И $a'^3( cd'-p')-c^2d'a^2+c^2p'a=-(b'^3( cd'-p')-c^2d'b'^2+c^2p'b')=a,
$a^3( cd-p)-c^2da^2+c^2pa=a'^3( cd-p)-c^2da'^2+c^2pa'=a.
$(a'^3+b'^3)( cd-p)-c^2d(b'^2+a^2)+c^2p(b'+a')=0$, отсюда
$c(cd-p)-d(b'^2+a'^2)+p(b'+a')=0$,
$(a'+b'-c)d=(a'^2+b'^2-c^2)p$, $p'd=pd'$.
Аналогично получается $p.

Если это верно, то дальше должно получиться ( дальше легко доказывается рациональность a', a", b', b", на чем у меня были все проблемы 10 лет назад).

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма 2
Сообщение25.05.2023, 19:14 
Аватара пользователя


26/02/14
525
so dna
natalya_1 у вас есть функция $y(x)=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$, а также три решения ВТФ: $(a,b,c)$, $(a',b',c)$, $(a'',b'',c)$. Почему вы считаете, что $y(a)=y(a')=y(a'')$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма 2
Сообщение25.05.2023, 19:55 


29/08/09
691
Rak so dna в сообщении #1595323 писал(а):
natalya_1 у вас есть функция $y(x)=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$, а также три решения ВТФ: $(a,b,c)$, $(a',b',c)$, $(a'',b'',c)$. Почему вы считаете, что $y(a)=y(a')=y(a'')$ ?

Я не знаю, смогу ли я грамотно объяснить 0од моих рассуждений.
В общем виде, когда параметры- величины переменные, связанные каждый со своей парой решений уравнения Ферма, у нас другая функция
$y(x)=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$.
Значение этой функции в точке x' равно
$(cd'-p')x'^3-c^{2}d'x'^2+c^{2}p'x'$, а в точке a -
$(cd-p)a^3-c^{2}da^2+c^{2}pa$.
Функции $y(x)=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$ , $y''(x)=(cd''-p'')x''^3-c^{2}d''x''^2+c^{2}p''x''$ и $y'(x)=(cd'-p')x'^3-c^{2}d'x'^2+c^{2}p'x'$
-это другие функции, где параметры уже величины постоянные. И графики этих функций пересекаются.
Двигаются относительно друг друга точки между 0 и c , в которых эти функции принимают значение 0.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма 2
Сообщение25.05.2023, 21:08 
Аватара пользователя


26/02/14
525
so dna
natalya_1 то, что для каждого нового значения аргумента у вас меняется сама функция (а не её значение), означает, что на самом деле никакой функции не определено.

У вас просто кошмарные обозначения. Если вы их оставите как есть, то гарантированно будете путаться. Я бы посоветовал оставить $x,y,z$ для обозначения переменных, $f,g,h,p,d$ — для обозначения функций (вообще $d$ — это тоже плохое обозначения, ну да ладно, будем надеяться, что до дифференциальных уравнений дело не дойдёт). Штрихи оставьте для производных, а чтобы различать параметры лучше использовать нижние индексы.

Например:

---------
пусть тройки чисел $(a_0,b_0,c_0)$, $(a_1,b_1,c_0)$, $(a_2,b_2,c_0)$ — решения уравнения $x^3+y^3=z^3$.
Определим следующие функции:

$d(x,y)=x+y-c_0$
$p(x,y)=x^2+y^2-c_0^2$

На базе этих функций определим вашу функцию:

$f(x,y)=(c_0d(x,y)-p(x,y))x^3-c_0^2x^2d(x,y)+c_0^2xp(x,y)$
---------


Всё, можете манипулировать с этой функцией как хотите. Например вашему $y(a)$ будет соответствовать $f(a_0,b_0)$ причём сразу видно, что то, что у вас являлось "параметрами" $p,d$ тут — функции $p(x,y),d(x,y)$, а ваше
natalya_1 в сообщении #1595326 писал(а):
когда параметры- величины переменные, связанные каждый со своей парой решений
это просто значения этих функций в соответствующих точках: $p(a_0,b_0),d(a_0,b_0)$


Теперь мой предыдущий вопрос
Rak so dna в сообщении #1595323 писал(а):
Почему вы считаете, что $y(a)=y(a')=y(a'')$ ?
будет звучать так:
Почему вы считаете, что $f(a_0,b_0)=f(a_1,b_1)=f(a_2,b_2)$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма 2
Сообщение25.05.2023, 22:02 


29/08/09
691
Rak so dna
Я понимаю, что у меня полная путаница в обозначенных.
Я вечером постараюсь ответить на ваш вопрос ( Мне надо подумать).
Пока хочу вам по-дилетантски обьяснить, почему я пришла к такому выводу.
В моем "доказательстве" благодаря вам нашлась ошибка.
Когда я нашла h и ее значение через опреднленные численно парраметры , я ошибочно предположила , что это будет еще одним решением уравнения Ферма.

-- Чт май 25, 2023 23:22:12 --

В общем случае Функция $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$ -это функция не с одной, а с тремя переменными: x, d и p ( точнее, с двумя- a и b, от которых зависят параметры).

И $x^3+x'^3=c^3$ при
$p=2x^2-c^2$, $d=2x-c$.
Я подумаю, как мне со всеми этими обозначениями разобраться. Вы правы, это кошмар.
В этом общем случае значение функции в точке a' равно значению функции в точке a. То есть,
$(cd'-p')a'^3-c^{2}d'a'^2+c^{2}p'a'=(cd-p)a^3-c^{2}da^2+c^{2}pa$

Возможно, когда я приведу в порядок обозначения, я найду ошибку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма 2
Сообщение25.05.2023, 22:58 
Аватара пользователя


26/02/14
525
so dna
natalya_1 давайте пока что ограничимся только определением вашей функции. Попробуйте чётко его сформулировать и выписать, остальное писать не надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма 2
Сообщение31.05.2023, 04:41 


29/08/09
691
Rak so dna
Все же не могу найти ошибку в своих рассуждениях:
Мы же решали систему уравнений ( не знаю, как поставить большие скобки и объединить уравнения в систему)
1. $x^3+x'^3=c^3$
2. $\frac{x^2+x'^2-c^2}{x+x'-c}=\frac{a^2+b^2-c^2}{a+b-c}=\frac{p}{d}$,
то есть, при заданных параметрах p и d и при $2x^3>c^3$ и $2x'^3<c^3$, если функция
$y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px $ в точках $x$ и $x'$ принимает одинаковые значения разных знаков, то $x^3+x'^3=c^3$ уже задано системой уравнений, разве нет?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 171 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 12  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group