Еще один вариант для кубов

[mihaild]

Да, у меня почему-то $3zy$ и степень переехали в числитель из знаменателя, а $3k_2 k_1$ для компенсации переехало из числителя в отдельное слагаемое, должно быть действительно $b = (z - y)^{2/3}\cdot \frac{(z - y)^2 + 3k_2 k_1}{\sqrt[3]{(z - y)^2 + 3zy}}$ (чем вам не нравятся \sqrt и \frac? проще же читать). Почему дробь получается целой - всё равно непонятно.

[dick]

Вы что, смеетесь?
(1.7) и Ваше

mihaild в сообщении #1574231 писал(а):

$b = (z - y)^{2/3}\cdot \frac{(z - y)^2 + 3k_2 k_1}{\sqrt[3]{(z - y)^2 + 3zy}}$

это тождества.

[mihaild]

Я же написал "да, действительно". Я просто переписал ту же формулу в более читаемом, на мой взгляд, виде.
Вопрос остается тот же - почему $\frac{b}{(z - y)^{2/3}}$ - целое.

[dick]

$bx=(z-y)((z-y)^2+3k_2k_1)$ (1.5); $b$ - натуральное.
Вы с этим согласны?

[mihaild]

dick в сообщении #1574291 писал(а):

$bx=(z-y)((z-y)^2+3k_2k_1)$ (1.5); $b$ - натуральное.

Да, с этим согласен.

[dick]

$x=(z-y)^{1/3}((z-y)^2+3zy)^{1/3}$ (1.6)
А с этим согласны?

[mihaild]

dick в сообщении #1574323 писал(а):

$x=(z-y)^{1/3}((z-y)^2+3zy)^{1/3}$ (1.6)

Это же просто $x^3 = z^3 - y^3$? Да, согласен.
Если не сложно - выпишите сразу все формулы и определения, которые получаются просто арифметическими преобразованиями (и учетом, что $z - y$ это точный куб).

[dick]

Да я же уже писал:

$bx=(z-y)((z-y)^2+3k_2k_1)$; (1.5)
$x=x_1x_2$
$x_1=(z-y)^{1/3}$ (1.6.1) $x_2=((z-y)^2+3zy)^{1/3}$ (1.6.2);
$b(z-y)^{1/3}((z-y)^2+3zy)^{1/3}=(z-y)((z-y)^2+3k_2k_1)$ (1.7);
Если $b=(z-y)^{2/3}$, то $((z-y)^2+3zy)=((z-y)^2+3k_2k_1)^3$ (1.8)
Если $b=d(z-y)^{2/3}$ то $x_2=((z-y)^2+3k_2k_1)/d$ (1.9)

Для первого варианта после (1.7) осталось написать:
$b=(z-y)^{2/3}((z-y)^2+3k_2k_1)/((z-y)^2+3zy)^{1/3}$
$b$ - натуральное, значит числитель дроби справа делится на знаменатель нацело, но $(z-y)^{2/3}$ - взаимно просто со знаменателем, значит
$((z-y)^2+3k_2k_1)$ делится нацело на $((z-y)^2+3zy)^{1/3}$, и значит $b$ делится нацело на $(z-y)^{2/3}$.

[mihaild]

Вы утверждаете, что вариантами (1.8) и (1.9) всё исчерпывается, или нет?

Если нет, и вы просто хотите рассмотреть отдельные случаи, то к этому вопросов нет, просто нужно явно записать "Выполнено либо А, либо Б. Если А, то ..."

[dick]

Я утверждаю, что вариантами (1.8), (1.9) все исчерпывается.

[mihaild]

dick в сообщении #1574332 писал(а):

Я утверждаю, что вариантами (1.8), (1.9) все исчерпывается.

Вот это тоже надо доказывать.

[dick]

Надо полагать, у Вас есть сомнения, что (1.8) и (1.9) все исчерпывают. И надо полагать эти сомнения основаны на каких то конкретных соображениях. Так поделитесь этими соображениями, что бы я понял что мне нужно доказывать.

[mihaild]

На очень простом соображении. В общем случае, для натуральных чисел $n$ и $m$, возможны три варианта:
1. $n = m$
2. Для некоторого натурального $d$, $n = d \cdot m$.
3. Для любого натурального $d$, $n \neq d \cdot m$.
Подставляя сюда $n = b$ и $m = (z - y)^{2/3}$, вариант 1. - это ваше (1.8), а вариант 2 - это ваше (1.9). Куда при этом девается вариант 3?

И на самом деле, на еще более простом соображении. В случае, когда в доказательстве разбираются разные варианты, всегда надо доказывать, что эти варианты исчерпывают всё. Иногда последний вариант просто является чисто логическим отрицанием дизъюнкции предыдущих, тогда это доказательство опускают, но в вашем случае это совсем не так.

(Оффтоп)

Я в недоумении. Вы то рассуждаете вполне грамотно, то путаетесь в совершенно базовых моментах. Как так?

[dick]

Странно, я Вам только что доказал что $b$ делится на $(z-y)^{2/3}$. А Вы предлагаете рассмотреть вариант, когда не делится.
Наши $b, (z-y)^{2/3}, x, ((z-y)^2+3k_2k_1)$, вовсе не любые натуральные числа.
Я же уже писал, что $x_2=x/x_1$ может быть равным $((z-y)^2+3k_2k_1)$, и тогда $d=1$, но может быть и равным только части множителей числа $((z-y)^2+3k_2k_1)$. В этом случае другая часть этого числа окажется в составе $b$, и $d$ будет больше 1.
Если можете предложить другой вариант, предлагайте.

[mihaild]

Вы бы структурировали текст как-то, я абзац после слов "

dick в сообщении #1574329 писал(а):

Для первого варианта после (1.7) осталось написать

воспринял как относящийся к первому варианту.
А он относится к обоим вариантам.
Хорошо, $b$ делится нацело на $(z - y)^{2/3}$, обозначим частное за $d$, оно либо $1$, либо больше. И вроде бы ваши (1.8) и (1.9) действительно получаются соответствующими подстановками. Что дальше?