Кострикин. Курс алгебры, задачник

[Sinoid]

xagiwo, прежде всего хочу вас поблагодарить за то терпение, которое вы проявляете, обсуждая со мной столько времени эту задачу. А по задаче я сейчас напишу.

[Sinoid]

Итак, вот у нас есть совместимая система

$$\left\{ \begin{alignedat}{3}2x_{1} & + & 3x_{2} & = & 8\\ 9x_{1} & - & 4x_{2} & = & 1 \end{alignedat} \right.\eqno{(1)}$$

. Она имеет решение $\left\{ \begin{alignedat}{2}x_{1} & = & 1\\ x_{2} & = & 2 \end{alignedat} \right.$. В качестве примера преобразования в задаче я возьму следующее: $\begin{pmatrix}s_{1}\\ s_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 & 7\\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}t_{1}\\ t_{2} \end{pmatrix}$. Я специально в этой формуле написал вместо $x$ - $t$, а вместо $y$ - $s$, ибо $x_1$ и $x_2$ у меня уже занято в решении исходной системы, а $y_1$ и $y_2$ мне потребуется для записи требуемой системы. Итак, написанное преобразование переводит решение $\left\{ \begin{alignedat}{2}x_{1} & = & 1\\ x_{2} & = & 2 \end{alignedat} \right.$ исходной системы в пару $\left\{ \begin{alignedat}{2}s_{1} & = & 19\\ s_{2} & = & 11 \end{alignedat} \right.$. Пара $(19,\,11)$ является, понятно, решением системы $\left\{ \begin{alignedat}{2}y_{1} & = & 19\\ y_{2} & = & 11 \end{alignedat} \right.$, но я притворюсь, что это мне не пришло в голову и напишу для этой пары более витиеватую систему

$$\left\{ \begin{alignedat}{2}5y_{1} & = & 95\\ 8y_{2} & = & 88 \end{alignedat} \right.\eqno{(2)}$$

Про системы (1) и (2) можно сказать, что они имеют общее решение

$$\left\{ \begin{alignedat}{2}x_{1} & = & 1\\ x_{2} & = & 2\\ y_{1} & = & 19\\ y_{2} & = & 11 \end{alignedat} \right.$$

, а потому эквивалентны. Кроме того, ввиду равенства $\begin{pmatrix}y_{1}\\ y_{2}\\ x_{1}\\ x_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 & 7 & 0 & 0\\ 3 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -4 & 7\\ 0 & 0 & 3 & -5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ y_{1}\\ y_2 \end{pmatrix}$ найденные (на самом деле найденное) решения систем (1) и (2) и целочисленно эквивалентны. Все верно?

-- 10.02.2022, 19:41 --

Только вот непонятно, почему для доказательства целочисленной эквивалентности нужно было придумывать преобразование с какой-то хитрой матрицей, а не воспользоваться бы под ногами валяющимся тождеством $\begin{pmatrix}y_{1}\\ y_{2}\\ x_{1}\\ x_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ y_{1}\\ y_{2} \end{pmatrix}$

[xagiwo]

Sinoid в сообщении #1548535 писал(а):

$\begin{pmatrix}y_{1}\\ y_{2}\\ x_{1}\\ x_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 & 7 & 0 & 0\\ 3 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -4 & 7\\ 0 & 0 & 3 & -5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ y_{1}\\ y_2 \end{pmatrix}$

Уже писал по этому поводу. Под целочисленной эквивалентностью решений имеется ввиду то, что $\exists U: \vec{y} = U\vec{x}$.

xagiwo в сообщении #1548342 писал(а):

Следует думать об этих системах так, что первая — это система для $x_i$, а вторая — это система для $y_i$ и держать "за кадром" связь $\vec{y} = U\vec{x}$. То, что я писал, что можно два набора переменных соединить в один — это потому что вы спрашивали, какая тут связь с обычной эквивалентностью систем, я и сказал. А мучаться с выписыванием наборов из $2n$ переменных не нужно.

Далее

Sinoid в сообщении #1548535 писал(а):

Она имеет решение $\left\{ \begin{alignedat}{2}x_{1} & = & 1\\ x_{2} & = & 2 \end{alignedat} \right.$

Угу. Ответ, который вы выписали, заодно является ещё и системой уравнений. Теперь можно просто взять $U = E$ (то есть $y_1 = x_1$ и $y_2 = x_2$) и получить как раз такую систему, которую просят в задаче. И незачем мучаться с вашим странным выбором $U$. Случай, когда система имеет единственное решение, тривиален, интересно становится, когда решений много.

Вот попробуйте для системы из одного уравнения $2x_1-3x_2=1$ соорудить нужную $U$

-- 10.02.2022, 18:43 --

Sinoid в сообщении #1548535 писал(а):

Только вот непонятно, почему для доказательства целочисленной эквивалентности нужно было придумывать преобразование с какой-то хитрой матрицей, а не воспользоваться бы под ногами валяющимся тождеством $\begin{pmatrix}y_{1}\\ y_{2}\\ x_{1}\\ x_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ y_{1}\\ y_{2} \end{pmatrix}$

(если не учитывать, что то, что вы делаете, почти не связано с целочисленной эквивалентностью, она определяется равенством $\vec{y} = U\vec{x}$) Непонятно, зачем вы вообще переставили порядок переменных, раз уж на то пошло

-- 10.02.2022, 18:47 --

Sinoid в сообщении #1548535 писал(а):

и напишу для этой пары более витиеватую систему

Зачем? Дайте угадаю, "нужны уравнения вида $c_iy_i = d_i$, а здесь нет $c_i$"? Тогда напомню, что единица — тоже число $y_1 = 19 \Leftrightarrow 1y_1 = 19$ (но эту единицу никто не пишет, ибо незачем)

-- 10.02.2022, 18:53 --

Я на всякий случай ещё раз скажу: задача требует не для всякой матрицы $U$ доказать, что система эквивалентна такой-то (это невозможно, например, для уравнения $x_1 + x_2 = 0$ и матрицы $U$), а всего лишь найти такую матрицу. Если вы пытаетесь провести рассуждения для произвольной матрицы — не выйдет

[Sinoid]

xagiwo в сообщении #1548542 писал(а):

Ответ, который вы выписали, заодно является ещё и системой уравнений.

Мне просто нужно было указать, значения каких именно неизвестных я указываю в решении. Поэтому-то я и предположил, что возможна и такая:

Sinoid в сообщении #1548313 писал(а):

$\left\{ \left(x=2\right)\right\}$

запись решения. Запись решения в подобном виде не выглядела бы системой, хотя и являлась бы ей по сути.

[xagiwo]

Sinoid в сообщении #1548543 писал(а):

Мне просто нужно было указать, значения каких именно неизвестных я указываю в решении.

Это не нужно, переменные и так указаны. Но вообще-то я сказал это не чтобы придраться, дочитайте, пожалуйста, абзац, из которого вы это процитировали.

-- 10.02.2022, 18:59 --

Sinoid в сообщении #1548543 писал(а):

$\left\{ \left(x=2\right)\right\}$

Это выглядит некрасиво и так никто не пишет. Пишите $x=2$. Даже если переменных несколько (а если она одна, то она одна), то это будет нормальным описанием множества решений (все наборы переменных такие, что $x=2$).

[Sinoid]

xagiwo в сообщении #1548542 писал(а):

Теперь можно просто взять $U = E$

Я просто хотел придумать что-нибудь отличное от совсем уж тривиальщины. Случай $U = E$ совсем бы не показал, для чего стоило вообще городить этот огород.

-- 10.02.2022, 20:06 --

xagiwo в сообщении #1548544 писал(а):

Но вообще-то я сказал это не чтобы придраться.

Я так и не думаю.

-- 10.02.2022, 20:19 --

xagiwo в сообщении #1548542 писал(а):

Тогда напомню, что единица — тоже число $y_1 = 19 \Leftrightarrow 1y_1 = 19$ (но эту единицу никто не пишет, ибо незачем)

Я это прекрасно знаю. Просто нужно же как-то было удовлетворить запросам трудящихся.

[xagiwo]

Sinoid в сообщении #1548547 писал(а):

Случай $U = E$ совсем бы не показал, для чего стоило вообще городить этот огород

Ну так незачем (городить этот огород).

xagiwo в сообщении #1548542 писал(а):

Случай, когда система имеет единственное решение, тривиален, интересно становится, когда решений много.

Вот попробуйте для системы из одного уравнения $2x_1-3x_2=1$ соорудить нужную $U$

[Sinoid]

xagiwo в сообщении #1548542 писал(а):

Вот попробуйте для системы из одного уравнения $2x_1-3x_2=1$ соорудить нужную $U$

Однако, престранная получилась штука...
Итак, дано уравнение $2x_1-3x_2=1$. Оно имеет следующее параметрическое решение в целых числах: $\left\{ \begin{alignedat}{3}x_{1} & = & 3t & - & 1\\ x_{2} & = & 2t & - & 1 \end{alignedat} \right.$. Пусть $\left\{ \begin{alignedat}{3}r_{1} & = & u_{11}s_{1} & + & u_{12}s_{2}\\ r_{2} & = & u_{21}s_{1} & + & u_{22}s_{2} \end{alignedat} \right.$ - требующееся построить в задаче преобразование с целочисленной матрицей (что, как будет показано ниже, не имеет совершенно никакого значения ), модуль определителя которой 1:

$$u_{11}u_{22}-u_{12}u_{21}=\pm 1\eqno{(1)}$$

. Это преобразование переводит решение $x_1,\,x_2$ в пару $\left\{ \begin{alignedat}{3}r_{1} & = & (3t-1)u_{11} & + & (2t-1)u_{12}\\ r_{2} & = & (3t-1)u_{21} & + & (2t-1)u_{22} \end{alignedat} \right.$, или $\left\{ \begin{alignedat}{4}r_{1} & = & (3u_{11}+2u_{12})t & - & u_{11} & - & u_{12}\\ r_{2} & = & (3u_{21}+2u_{22})t & - & u_{21} & - & u_{22} \end{alignedat} \right.$. Чтобы пара $r_1,\,r_2$ могла удовлетворять система с постоянными коэффициентами и свободными элементами, они не должны зависеть от параметра $t$, а это означает тождественное равенство нулю коэффициентов при этом параметре в их выражениях: $\left\{ \begin{alignedat}{3}3u_{11} & + & 2u_{12} & = & 0\\ 3u_{21} & + & 2u_{22} & = & 0 \end{alignedat} \right.$. Из этой системы получаем 2 равенства: $\dfrac{u_{11}}{u_{12}}=-\dfrac{2}{3}$ и $\dfrac{u_{21}}{u_{22}}=-\dfrac{2}{3}$. Из этих двух равенств получаем другое: $\dfrac{u_{11}}{u_{12}}=\dfrac{u_{21}}{u_{22}}$, из которого уже получаем равенство $u_{11}u_{22}-u_{12}u_{21}=0$, которое при всем желании не согласуется с равенством (1). Получается, что... Поставленная вами задача не имеет решения, при чем это неголословное утверждение. Дичь какая-то: разве вы бы стали предлагать такую задачу? Косяк, очевидно, где-то у меня, а вот где - не пойму.

[xagiwo]

Sinoid в сообщении #1548581 писал(а):

Чтобы пара $r_1,\,r_2$ могла удовлетворять система с постоянными коэффициентами и свободными элементами, они не должны зависеть от параметра $t$

На самом деле нет — может случиться так, что система не накладывает никаких ограничений, скажем, на $r_2$, и тогда...

-- 11.02.2022, 18:27 --

Вообще, если мы хотим уравнение вида $c_1 y_1 = d_1$, какой самый подходящий кандидат для $y_1$?

[Sinoid]

xagiwo в сообщении #1548584 писал(а):

На самом деле нет — может случиться так, что система не накладывает никаких ограничений, скажем, на $r_2$

В конструируемой системе нет уравнения $d_{2}y_{2}=c_{2}$? Или, что тоже самое, в образце системы, которую требуется построить, оно имеет вид $0y_{2}=0$?

[xagiwo]

Sinoid в сообщении #1548606 писал(а):

В конструируемой системе нет уравнения $d_{2}y_{2}=c_{2}$?

Да. Как тогда $y_2$ будет выражаться через $t$? И ответьте на мой предыдущий вопрос, пожалуйста.

[Sinoid]

xagiwo в сообщении #1548584 писал(а):

Вообще, если мы хотим уравнение вида $c_1 y_1 = d_1$, какой самый подходящий кандидат для $y_1$?

Ну, 0 или 1.

-- 12.02.2022, 02:25 --

xagiwo в сообщении #1548608 писал(а):

Да. Как тогда $y_2$ будет выражаться через $t$?

может хоть как. Как удобно.

[xagiwo]

Sinoid в сообщении #1548609 писал(а):

может хоть как. Как удобно.

А если подумать?

Sinoid в сообщении #1548609 писал(а):

Ну, 0 или 1.

нет, если мы хотим $y_1 = ax_1 + bx_2$, какие $a$, $b$ нам выбрать?

[Sinoid]

xagiwo в сообщении #1548608 писал(а):

Sinoid в сообщении #1548606 писал(а):

В конструируемой системе нет уравнения $d_{2}y_{2}=c_{2}$?

Да.

Итак, если это так, то равенство $3u_{21}+2u_{22}=0$ в системе

Sinoid в сообщении #1548581 писал(а):

$\left\{ \begin{alignedat}{3}3u_{11} & + & 2u_{12} & = & 0\\ 3u_{21} & + & 2u_{22} & = & 0 \end{alignedat} \right.$

перестает быть обязательным к выполнению и мы получаем, к примеру, систему $\left\{ \begin{alignedat}{3}u_{11}u_{22} & - & u_{12}u_{21} & = & -1\\ 3u_{11} & + & 2u_{12} & = & 0 \end{alignedat} \right.$, которая имеет решение, скажем, $u_{11}=2,\, u_{12}=-3,\, u_{21}=-5,\, u_{22}=7$. Таким образом, искомое преобразование может иметь, к примеру, следующий вид: $\left\{ \begin{alignedat}{3}r_{1} & = & 2s_{1} & - &3s_{2}\\ r_{2} & = & -5s_{1} & + & 7s_{2} \end{alignedat} \right.$. Это преобразование с целочисленной матрицей, модуль определителя которого равен 1, переводит решение

Sinoid в сообщении #1548581 писал(а):

$\left\{ \begin{alignedat}{3}x_{1} & = & 3t & - & 1\\ x_{2} & = & 2t & - & 1 \end{alignedat} \right.$

(где $t$-целый параметр) уравнения

xagiwo в сообщении #1548542 писал(а):

Вот попробуйте для системы из одного уравнения $2x_1-3x_2=1$ соорудить нужную $U$

в пару $\left\{ \begin{alignedat}{3}r_{1} & = & 2(3t-1) & - & 3(2t-1)\\ r_{2} & = & -5(3t-1) & + & 7(2t-1) \end{alignedat} \right.$, или $\left\{ \begin{alignedat}{3}r_{1} & = & & & 1\\ r_{2} & = & -t & - & 2 \end{alignedat} \right.$. Эта пара удовлетворяет следующей системе, состоящей из одного уравнения: $y_1=1$ такого вида, который и требуется по условию задачи и имеющего с исходным уравнением

xagiwo в сообщении #1548542 писал(а):

Вот попробуйте для системы из одного уравнения $2x_1-3x_2=1$ соорудить нужную $U$

, которое тоже можно рассматривать как систему, хоть и состоящую из одного уравнения, следующее общее решение: $\left\{ \begin{alignedat}{3}x_{1} & = & 3t & - & 1\\ x_{2} & = & 2t & - & 1\\ y_{1} & = & & & 1\\ y_{2} & = & -t & - & 2 \end{alignedat} \right.$, где $t$-целый параметр. Найденное преобразование имеет обратным преобразованием следующее: $\left\{ \begin{alignedat}{3}s_{1} & = & -7r_{1} & - & 3r_{2}\\ s_{2} & = & -5r_{1} & - & 2r_{2} \end{alignedat} \right.$. Модуль определителя этого преобразования тоже, как и ожидалось заказывалось, равен 1. Равенство же

$$\begin{pmatrix}y_{1}\\ y_{2}\\ x_{1}\\ x_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & -3 & 0 & 0\\ -5 & 7 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -7 & -3\\ 0 & 0 & -5 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ y_{1}\\ y_{2} \end{pmatrix}\eqno{(1)}$$

показывает, что найденные общие решения исходной системы уравнений из одного уравнения и системы уравнений с заданным видом уравнений, которую требовалось построить, в лице решения

$$\left\{ \begin{alignedat}{3}x_{1} & = & 3t & - & 1\\ x_{2} & = & 2t & - & 1\\ y_{1} & = & & & 1\\ y_{2} & = & -t & - & 2 \end{alignedat} \right.\text{ где }t\text{-целый параметр}\eqno{(2)},$$

являются еще и целочисленно эквивалентны: ведь модуль преобразования (1), как модуль произведения двух чисел, по модулю равных 1, тоже равен 1. Итак, у нас была задача: для системы, состоящей в данном случае из одного уравнения $2x_1-3x_2=1$ найти преобразование с определенными требованиями (целочисленность матрицы этого преобразования, равенство 1 модуля определителя этой матрицы) неизвестных этого уравнения да еще и такого, чтобы после преобразования этих неизвестных, образы этих неизвестных удовлетворяли другой системе уравнений, в данном случае из одного уравнения, в котором уравнения имели бы определенный, заданный вид. Кроме того, исходная и сконструированная системы должны иметь по условию общее решение. Одним из подходящих для этого преобразований оказалось преобразование (1), одной из систем с уравнениями заданного вида оказалась система из одного уравнения $y_1=1$, а общим решением данной и построенной системы оказалось (2). Я решил задачу?

-- 12.02.2022, 17:15 --

(Оффтоп)

Я сел писать это еще ночью. Просто писал, писал, смотрю - время 4:30, а у меня еще даже близко не готово...

[xagiwo]

Sinoid в сообщении #1548648 писал(а):

$$\begin{pmatrix}y_{1}\\ y_{2}\\ x_{1}\\ x_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & -3 & 0 & 0\\ -5 & 7 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -7 & -3\\ 0 & 0 & -5 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ y_{1}\\ y_{2} \end{pmatrix}\eqno{(1)}$$

Я вам уже писал, что это равенство ничего общего с целочисленной эквивалентностью, которая требуется в задаче, не имеет. Что за мазохизм...

Sinoid в сообщении #1548648 писал(а):

$\left\{ \begin{alignedat}{3}x_{1} & = & 3t & - & 1\\ x_{2} & = & 2t & - & 1\\ y_{1} & = & & & 1\\ y_{2} & = & -t & - & 2 \end{alignedat} \right.$

Хватит склеивать системы, это никому не нужно.

Смотрите, как лучше оформить решение (если считать, что $U$ вы уже из каких-то соображений нашли):

Возьмём $U = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -5 & 7 \end{pmatrix}$, т.е. $y_1 = 2x_1 - 3x_2$ и $y_2 = -5x_1 + 7y_1$.

(Пояснение)

Пояснение, которое не является частью решения: на этом этапе наборы неизвестных $(x_1, x_2)$ и $(y_1, y_2)$ уже считаются целочисленно эквивалентными по определению целочисленной эквивалентности. Нет смысла проходить через какие-то ещё мучения для доказательства целочисленной эквивалентности, она уже установлена.

Тогда уравнение $2x_1 - 3x_2 = 1$ эквивалентно $y_1 = 1$, что и требовалось