2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22 ... 39  След.
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение10.02.2022, 16:56 


03/06/12
2745
xagiwo, прежде всего хочу вас поблагодарить за то терпение, которое вы проявляете, обсуждая со мной столько времени эту задачу. А по задаче я сейчас напишу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение10.02.2022, 18:19 


03/06/12
2745
Итак, вот у нас есть совместимая система $$\left\{ \begin{alignedat}{3}2x_{1} & + & 3x_{2} & = & 8\\
9x_{1} & - & 4x_{2} & = & 1
\end{alignedat}
\right.\eqno{(1)}$$. Она имеет решение $\left\{ \begin{alignedat}{2}x_{1} & = & 1\\
x_{2} & = & 2
\end{alignedat}
\right.$. В качестве примера преобразования в задаче я возьму следующее: $\begin{pmatrix}s_{1}\\
s_{2}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 & 7\\
3 & 4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}t_{1}\\
t_{2}
\end{pmatrix}$. Я специально в этой формуле написал вместо $x$ - $t$, а вместо $y$ - $s$, ибо $x_1$ и $x_2$ у меня уже занято в решении исходной системы, а $y_1$ и $y_2$ мне потребуется для записи требуемой системы. Итак, написанное преобразование переводит решение $\left\{ \begin{alignedat}{2}x_{1} & = & 1\\
x_{2} & = & 2
\end{alignedat}
\right.$ исходной системы в пару $\left\{ \begin{alignedat}{2}s_{1} & = & 19\\
s_{2} & = & 11
\end{alignedat}
\right.$. Пара $(19,\,11)$ является, понятно, решением системы $\left\{ \begin{alignedat}{2}y_{1} & = & 19\\
y_{2} & = & 11
\end{alignedat}
\right.$, но я притворюсь, что это мне не пришло в голову и напишу для этой пары более витиеватую систему $$\left\{ \begin{alignedat}{2}5y_{1} & = & 95\\
8y_{2} & = & 88
\end{alignedat}
\right.\eqno{(2)}$$
Про системы (1) и (2) можно сказать, что они имеют общее решение $$\left\{ \begin{alignedat}{2}x_{1} & = & 1\\
x_{2} & = & 2\\
y_{1} & = & 19\\
y_{2} & = & 11
\end{alignedat}
\right.$$, а потому эквивалентны. Кроме того, ввиду равенства $\begin{pmatrix}y_{1}\\
y_{2}\\
x_{1}\\
x_{2}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 & 7 & 0 & 0\\
3 & 4 & 0 & 0\\
0 & 0 & -4 & 7\\
0 & 0 & 3 & -5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
y_{1}\\
y_2
\end{pmatrix}$ найденные (на самом деле найденное) решения систем (1) и (2) и целочисленно эквивалентны. Все верно?

-- 10.02.2022, 19:41 --

Только вот непонятно, почему для доказательства целочисленной эквивалентности нужно было придумывать преобразование с какой-то хитрой матрицей, а не воспользоваться бы под ногами валяющимся тождеством $\begin{pmatrix}y_{1}\\
y_{2}\\
x_{1}\\
x_{2}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
y_{1}\\
y_{2}
\end{pmatrix}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение10.02.2022, 18:42 
Аватара пользователя


23/12/18
430
Sinoid в сообщении #1548535 писал(а):
$\begin{pmatrix}y_{1}\\
y_{2}\\
x_{1}\\
x_{2}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 & 7 & 0 & 0\\
3 & 4 & 0 & 0\\
0 & 0 & -4 & 7\\
0 & 0 & 3 & -5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
y_{1}\\
y_2
\end{pmatrix}$
Уже писал по этому поводу. Под целочисленной эквивалентностью решений имеется ввиду то, что $\exists U: \vec{y} = U\vec{x}$.
xagiwo в сообщении #1548342 писал(а):
Следует думать об этих системах так, что первая — это система для $x_i$, а вторая — это система для $y_i$ и держать "за кадром" связь $\vec{y} = U\vec{x}$. То, что я писал, что можно два набора переменных соединить в один — это потому что вы спрашивали, какая тут связь с обычной эквивалентностью систем, я и сказал. А мучаться с выписыванием наборов из $2n$ переменных не нужно.
Далее
Sinoid в сообщении #1548535 писал(а):
Она имеет решение $\left\{ \begin{alignedat}{2}x_{1} & = & 1\\
x_{2} & = & 2
\end{alignedat}
\right.$
Угу. Ответ, который вы выписали, заодно является ещё и системой уравнений. Теперь можно просто взять $U = E$ (то есть $y_1 = x_1$ и $y_2 = x_2$) и получить как раз такую систему, которую просят в задаче. И незачем мучаться с вашим странным выбором $U$. Случай, когда система имеет единственное решение, тривиален, интересно становится, когда решений много.

Вот попробуйте для системы из одного уравнения $2x_1-3x_2=1$ соорудить нужную $U$

-- 10.02.2022, 18:43 --

Sinoid в сообщении #1548535 писал(а):
Только вот непонятно, почему для доказательства целочисленной эквивалентности нужно было придумывать преобразование с какой-то хитрой матрицей, а не воспользоваться бы под ногами валяющимся тождеством $\begin{pmatrix}y_{1}\\
y_{2}\\
x_{1}\\
x_{2}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
y_{1}\\
y_{2}
\end{pmatrix}$

(если не учитывать, что то, что вы делаете, почти не связано с целочисленной эквивалентностью, она определяется равенством $\vec{y} = U\vec{x}$) Непонятно, зачем вы вообще переставили порядок переменных, раз уж на то пошло

-- 10.02.2022, 18:47 --

Sinoid в сообщении #1548535 писал(а):
и напишу для этой пары более витиеватую систему
Зачем? Дайте угадаю, "нужны уравнения вида $c_iy_i = d_i$, а здесь нет $c_i$"? Тогда напомню, что единица — тоже число $y_1 = 19 \Leftrightarrow 1y_1 = 19$ (но эту единицу никто не пишет, ибо незачем)

-- 10.02.2022, 18:53 --

Я на всякий случай ещё раз скажу: задача требует не для всякой матрицы $U$ доказать, что система эквивалентна такой-то (это невозможно, например, для уравнения $x_1 + x_2 = 0$ и матрицы $U$), а всего лишь найти такую матрицу. Если вы пытаетесь провести рассуждения для произвольной матрицы — не выйдет

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение10.02.2022, 18:55 


03/06/12
2745
xagiwo в сообщении #1548542 писал(а):
Ответ, который вы выписали, заодно является ещё и системой уравнений.

Мне просто нужно было указать, значения каких именно неизвестных я указываю в решении. Поэтому-то я и предположил, что возможна и такая:
Sinoid в сообщении #1548313 писал(а):
$\left\{ \left(x=2\right)\right\}$

запись решения. Запись решения в подобном виде не выглядела бы системой, хотя и являлась бы ей по сути.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение10.02.2022, 18:57 
Аватара пользователя


23/12/18
430
Sinoid в сообщении #1548543 писал(а):
Мне просто нужно было указать, значения каких именно неизвестных я указываю в решении.
Это не нужно, переменные и так указаны. Но вообще-то я сказал это не чтобы придраться, дочитайте, пожалуйста, абзац, из которого вы это процитировали.

-- 10.02.2022, 18:59 --

Sinoid в сообщении #1548543 писал(а):
$\left\{ \left(x=2\right)\right\}$
Это выглядит некрасиво и так никто не пишет. Пишите $x=2$. Даже если переменных несколько (а если она одна, то она одна), то это будет нормальным описанием множества решений (все наборы переменных такие, что $x=2$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение10.02.2022, 19:04 


03/06/12
2745
xagiwo в сообщении #1548542 писал(а):
Теперь можно просто взять $U = E$


Я просто хотел придумать что-нибудь отличное от совсем уж тривиальщины. Случай $U = E$ совсем бы не показал, для чего стоило вообще городить этот огород.

-- 10.02.2022, 20:06 --

xagiwo в сообщении #1548544 писал(а):
Но вообще-то я сказал это не чтобы придраться.

Я так и не думаю.

-- 10.02.2022, 20:19 --

xagiwo в сообщении #1548542 писал(а):
Тогда напомню, что единица — тоже число $y_1 = 19 \Leftrightarrow 1y_1 = 19$ (но эту единицу никто не пишет, ибо незачем)

Я это прекрасно знаю. Просто нужно же как-то было удовлетворить запросам трудящихся. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение10.02.2022, 19:28 
Аватара пользователя


23/12/18
430
Sinoid в сообщении #1548547 писал(а):
Случай $U = E$ совсем бы не показал, для чего стоило вообще городить этот огород
Ну так незачем (городить этот огород).
xagiwo в сообщении #1548542 писал(а):
Случай, когда система имеет единственное решение, тривиален, интересно становится, когда решений много.

Вот попробуйте для системы из одного уравнения $2x_1-3x_2=1$ соорудить нужную $U$

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение11.02.2022, 17:35 


03/06/12
2745
xagiwo в сообщении #1548542 писал(а):
Вот попробуйте для системы из одного уравнения $2x_1-3x_2=1$ соорудить нужную $U$

Однако, престранная получилась штука...
Итак, дано уравнение $2x_1-3x_2=1$. Оно имеет следующее параметрическое решение в целых числах: $\left\{ \begin{alignedat}{3}x_{1} & = & 3t & - & 1\\
x_{2} & = & 2t & - & 1
\end{alignedat}
\right.$. Пусть $\left\{ \begin{alignedat}{3}r_{1} & = & u_{11}s_{1} & + & u_{12}s_{2}\\
r_{2} & = & u_{21}s_{1} & + & u_{22}s_{2}
\end{alignedat}
\right.$ - требующееся построить в задаче преобразование с целочисленной матрицей (что, как будет показано ниже, не имеет совершенно никакого значения :-) ), модуль определителя которой 1: $$u_{11}u_{22}-u_{12}u_{21}=\pm 1\eqno{(1)}$$. Это преобразование переводит решение $x_1,\,x_2$ в пару $\left\{ \begin{alignedat}{3}r_{1} & = & (3t-1)u_{11} & + & (2t-1)u_{12}\\
r_{2} & = & (3t-1)u_{21} & + & (2t-1)u_{22}
\end{alignedat}
\right.$, или $\left\{ \begin{alignedat}{4}r_{1} & = & (3u_{11}+2u_{12})t & - & u_{11} & - & u_{12}\\
r_{2} & = & (3u_{21}+2u_{22})t & - & u_{21} & - & u_{22}
\end{alignedat}
\right.$. Чтобы пара $r_1,\,r_2$ могла удовлетворять система с постоянными коэффициентами и свободными элементами, они не должны зависеть от параметра $t$, а это означает тождественное равенство нулю коэффициентов при этом параметре в их выражениях: $\left\{ \begin{alignedat}{3}3u_{11} & + & 2u_{12} & = & 0\\
3u_{21} & + & 2u_{22} & = & 0
\end{alignedat}
\right.$. Из этой системы получаем 2 равенства: $\dfrac{u_{11}}{u_{12}}=-\dfrac{2}{3}$ и $\dfrac{u_{21}}{u_{22}}=-\dfrac{2}{3}$. Из этих двух равенств получаем другое: $\dfrac{u_{11}}{u_{12}}=\dfrac{u_{21}}{u_{22}}$, из которого уже получаем равенство $u_{11}u_{22}-u_{12}u_{21}=0$, которое при всем желании не согласуется с равенством (1). Получается, что... Поставленная вами задача не имеет решения, при чем это неголословное утверждение. Дичь какая-то: разве вы бы стали предлагать такую задачу? Косяк, очевидно, где-то у меня, а вот где - не пойму.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение11.02.2022, 17:48 
Аватара пользователя


23/12/18
430
Sinoid в сообщении #1548581 писал(а):
Чтобы пара $r_1,\,r_2$ могла удовлетворять система с постоянными коэффициентами и свободными элементами, они не должны зависеть от параметра $t$
На самом деле нет — может случиться так, что система не накладывает никаких ограничений, скажем, на $r_2$, и тогда...

-- 11.02.2022, 18:27 --

Вообще, если мы хотим уравнение вида $c_1 y_1 = d_1$, какой самый подходящий кандидат для $y_1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение12.02.2022, 00:42 


03/06/12
2745
xagiwo в сообщении #1548584 писал(а):
На самом деле нет — может случиться так, что система не накладывает никаких ограничений, скажем, на $r_2$

В конструируемой системе нет уравнения $d_{2}y_{2}=c_{2}$? Или, что тоже самое, в образце системы, которую требуется построить, оно имеет вид $0y_{2}=0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение12.02.2022, 01:16 
Аватара пользователя


23/12/18
430
Sinoid в сообщении #1548606 писал(а):
В конструируемой системе нет уравнения $d_{2}y_{2}=c_{2}$?
Да. Как тогда $y_2$ будет выражаться через $t$? И ответьте на мой предыдущий вопрос, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение12.02.2022, 01:23 


03/06/12
2745
xagiwo в сообщении #1548584 писал(а):
Вообще, если мы хотим уравнение вида $c_1 y_1 = d_1$, какой самый подходящий кандидат для $y_1$?

Ну, 0 или 1.

-- 12.02.2022, 02:25 --

xagiwo в сообщении #1548608 писал(а):
Да. Как тогда $y_2$ будет выражаться через $t$?

может хоть как. Как удобно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение12.02.2022, 10:22 
Аватара пользователя


23/12/18
430
Sinoid в сообщении #1548609 писал(а):
может хоть как. Как удобно.
А если подумать?
Sinoid в сообщении #1548609 писал(а):
Ну, 0 или 1.
нет, если мы хотим $y_1 = ax_1 + bx_2$, какие $a$, $b$ нам выбрать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение12.02.2022, 16:08 


03/06/12
2745
xagiwo в сообщении #1548608 писал(а):
Sinoid в сообщении #1548606 писал(а):
В конструируемой системе нет уравнения $d_{2}y_{2}=c_{2}$?
Да.

Итак, если это так, то равенство $3u_{21}+2u_{22}=0$ в системе
Sinoid в сообщении #1548581 писал(а):
$\left\{ \begin{alignedat}{3}3u_{11} & + & 2u_{12} & = & 0\\
3u_{21} & + & 2u_{22} & = & 0
\end{alignedat}
\right.$

перестает быть обязательным к выполнению и мы получаем, к примеру, систему $\left\{ \begin{alignedat}{3}u_{11}u_{22} & - & u_{12}u_{21} & = & -1\\
3u_{11} & + & 2u_{12} & = & 0
\end{alignedat}
\right.$, которая имеет решение, скажем, $u_{11}=2,\, u_{12}=-3,\, u_{21}=-5,\, u_{22}=7$. Таким образом, искомое преобразование может иметь, к примеру, следующий вид: $\left\{ \begin{alignedat}{3}r_{1} & = & 2s_{1} & - &3s_{2}\\
r_{2} & = & -5s_{1} & + & 7s_{2}
\end{alignedat}
\right.$. Это преобразование с целочисленной матрицей, модуль определителя которого равен 1, переводит решение
Sinoid в сообщении #1548581 писал(а):
$\left\{ \begin{alignedat}{3}x_{1} & = & 3t & - & 1\\
x_{2} & = & 2t & - & 1
\end{alignedat}
\right.$

(где $t$-целый параметр) уравнения
xagiwo в сообщении #1548542 писал(а):
Вот попробуйте для системы из одного уравнения $2x_1-3x_2=1$ соорудить нужную $U$

в пару $\left\{ \begin{alignedat}{3}r_{1} & = & 2(3t-1) & - & 3(2t-1)\\
r_{2} & = & -5(3t-1) & + & 7(2t-1)
\end{alignedat}
\right.$, или $\left\{ \begin{alignedat}{3}r_{1} & = &  &  & 1\\
r_{2} & = & -t & - & 2
\end{alignedat}
\right.$. Эта пара удовлетворяет следующей системе, состоящей из одного уравнения: $y_1=1$ такого вида, который и требуется по условию задачи и имеющего с исходным уравнением
xagiwo в сообщении #1548542 писал(а):
Вот попробуйте для системы из одного уравнения $2x_1-3x_2=1$ соорудить нужную $U$

, которое тоже можно рассматривать как систему, хоть и состоящую из одного уравнения, следующее общее решение: $\left\{ \begin{alignedat}{3}x_{1} & = & 3t & - & 1\\
x_{2} & = & 2t & - & 1\\
y_{1} & = &  &  & 1\\
y_{2} & = & -t & - & 2
\end{alignedat}
\right.$, где $t$-целый параметр. Найденное преобразование имеет обратным преобразованием следующее: $\left\{ \begin{alignedat}{3}s_{1} & = & -7r_{1} & - & 3r_{2}\\
s_{2} & = & -5r_{1} & - & 2r_{2}
\end{alignedat}
\right.$. Модуль определителя этого преобразования тоже, как и ожидалось заказывалось, равен 1. Равенство же $$\begin{pmatrix}y_{1}\\
y_{2}\\
x_{1}\\
x_{2}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & -3 & 0 & 0\\
-5 & 7 & 0 & 0\\
0 & 0 & -7 & -3\\
0 & 0 & -5 & -2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
y_{1}\\
y_{2}
\end{pmatrix}\eqno{(1)}$$ показывает, что найденные общие решения исходной системы уравнений из одного уравнения и системы уравнений с заданным видом уравнений, которую требовалось построить, в лице решения $$\left\{ \begin{alignedat}{3}x_{1} & = & 3t & - & 1\\
x_{2} & = & 2t & - & 1\\
y_{1} & = &  &  & 1\\
y_{2} & = & -t & - & 2
\end{alignedat}
\right.\text{ где }t\text{-целый параметр}\eqno{(2)},$$ являются еще и целочисленно эквивалентны: ведь модуль преобразования (1), как модуль произведения двух чисел, по модулю равных 1, тоже равен 1. Итак, у нас была задача: для системы, состоящей в данном случае из одного уравнения $2x_1-3x_2=1$ найти преобразование с определенными требованиями (целочисленность матрицы этого преобразования, равенство 1 модуля определителя этой матрицы) неизвестных этого уравнения да еще и такого, чтобы после преобразования этих неизвестных, образы этих неизвестных удовлетворяли другой системе уравнений, в данном случае из одного уравнения, в котором уравнения имели бы определенный, заданный вид. Кроме того, исходная и сконструированная системы должны иметь по условию общее решение. Одним из подходящих для этого преобразований оказалось преобразование (1), одной из систем с уравнениями заданного вида оказалась система из одного уравнения $y_1=1$, а общим решением данной и построенной системы оказалось (2). Я решил задачу?

-- 12.02.2022, 17:15 --

(Оффтоп)

Я сел писать это еще ночью. Просто писал, писал, смотрю - время 4:30, а у меня еще даже близко не готово...

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение12.02.2022, 18:54 
Аватара пользователя


23/12/18
430
Sinoid в сообщении #1548648 писал(а):
$$\begin{pmatrix}y_{1}\\
y_{2}\\
x_{1}\\
x_{2}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & -3 & 0 & 0\\
-5 & 7 & 0 & 0\\
0 & 0 & -7 & -3\\
0 & 0 & -5 & -2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
y_{1}\\
y_{2}
\end{pmatrix}\eqno{(1)}$$
Я вам уже писал, что это равенство ничего общего с целочисленной эквивалентностью, которая требуется в задаче, не имеет. Что за мазохизм...
Sinoid в сообщении #1548648 писал(а):
$\left\{ \begin{alignedat}{3}x_{1} & = & 3t & - & 1\\
x_{2} & = & 2t & - & 1\\
y_{1} & = &  &  & 1\\
y_{2} & = & -t & - & 2
\end{alignedat}
\right.$
Хватит склеивать системы, это никому не нужно.

Смотрите, как лучше оформить решение (если считать, что $U$ вы уже из каких-то соображений нашли):

Возьмём $U = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -5 & 7 \end{pmatrix}$, т.е. $y_1 = 2x_1 - 3x_2$ и $y_2 = -5x_1 + 7y_1$.

(Пояснение)

Пояснение, которое не является частью решения: на этом этапе наборы неизвестных $(x_1, x_2)$ и $(y_1, y_2)$ уже считаются целочисленно эквивалентными по определению целочисленной эквивалентности. Нет смысла проходить через какие-то ещё мучения для доказательства целочисленной эквивалентности, она уже установлена.
Тогда уравнение $2x_1 - 3x_2 = 1$ эквивалентно $y_1 =  1$, что и требовалось

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 573 ]  На страницу Пред.  1 ... 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22 ... 39  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group