Кострикин. Курс алгебры, задачник

[Sinoid]

Здравствуйте! Решил я-таки последовать вашему совету и взяться за этот курс. Думаю над задачей 1.4:
Доказать, что для любого натурального числа $n>1$

$$\varphi(n)=n\left(1-\dfrac{1}{p_{1}}\right)\left(1-\dfrac{1}{p_{2}}\right)\ldots\left(1-\dfrac{1}{p_{r}}\right)$$

, где $p_{1},\, p_{2},\ldots,\, p_{r}-$ все различные
простые делители числа $n$, $\varphi(n)-$ функция Эйлера.

Вот смотрите. При $r=1$ ничего сложного нет: в этом случае $n=p_{1}^{k_{1}}$. Расположим первые $p_{1}^{k_{1}}$ натуральных чисел в порядке их следования в натуральном ряду (начиная с единицы): $1,\,,2,\ldots,\, p_{1},\, p_{1}+1,\ldots,\,2p_{1},2p_{1}+1,\ldots,\, p_{1}^{k_{1}-1},\ldots,\, p_{1}^{k_{1}}$. Как видно, в этом ряду через каждые $p_1$ идет число, не являющееся взаимно простым с $n$ (доказательство этого факта, строго говоря, уже требует не слабой теории чисел, ну, ладно, закроем на это глаза). Поэтому, в этом случае $\varphi(n)=p_{1}^{k_{1}}-\dfrac{p_{1}^{k_{1}}}{p_{1}}=p_{1}^{k_{1}}\left(1-\dfrac{1}{p_{1}}\right)$. И все хорошо. Ладно, допустим. Вот, если бы сейчас доказать как-нибудь мультипликативность функции $\varphi(n)$ какими-нибудь относительными простыми средствами, то можно было бы считать задачу решенной. Но можно ли это сделать? Вот вопрос. Посмотрел в книги по теории чисел, прочитанные ранее. Вот как это делается, например, в книге для школьников "Бардушкин В.В., Кожухов И.Б., Прокофьев А.А., Фадеичева Т.П. Основы теории делимости чисел. Решение уравнений в целых числах. Факультативный курс":

Как видим, в доказательстве этой теоремы активно используется неслабо развитая к моменту доказательства теоремы теория чисел Очень сомнительно, чтобы такого решения ждали от младшекурсников. А что вы думаете по этому поводу?

[Odysseus]

Sinoid в сообщении #1509818 писал(а):

Как видим, в доказательстве этой теоремы активно используется неслабо развитая к моменту доказательства теоремы теория чисел

На самом деле, весьма слабо развитая. Но все же теория чисел, самый элементарный курс которой является одним из стандартных пререквизитов (или, как минимум, параллельно изучаемым курсом) к мехматовскому курсу алгебры. Это может быть третья глава Калужнина "Введение в общую алгебру" (которого вам рекомендовали уже не знаю сколько раз) или (даже точнее "и"), более подробно, "Теория чисел" Нестеренко, или многие из других вариантов. Курс алгебры Кострикина, как и большинство других курсов алгебры, включает некоторые понятия из теории чисел, но слишком кратко для того, чтобы в них разобраться и потом применять. И если вы изучаете математику по учебникам для математиков, а не физиков или химиков, то без этого вам не обойтись.

Если же говорить конкретно о мультипликативности функции Эйлера, то для меня в свое время наиболее простым и естественным было доказательство из “Теории чисел” Михеловича. Еще один учебник? Ну да, такое бывает очень часто, но при этом очень часто помогает, особенно при самостоятельном изучении. Одного идеального учебника нет ни для какого предмета. Если вы хорошо поймете и осознаете один из других способов этого доказательства - замечательно. Но без этого этапа обойтись нельзя.

Sinoid в сообщении #1509818 писал(а):

Очень сомнительно, чтобы такого решения ждали от младшекурсников.

Но разве здравый смысл не говорит о том, что если в задаче встречается новое понятие типа функции Эйлера, то предполагается, что студент знаком с ним и его свойствами? Здорово, конечно, пытаться самому вывести ее свойства, но на все подобные вещи может уходить слишком много времени, тем более когда обучаешься самостоятельно.

Поймите, что программы курсов и порядок работы с учебниками в университетах не случайны. Нельзя просто брать какие-то учебники, которые вам лично показались подходящими, и по ним пытаться все изучить не обращая внимание на то, что еще для них может требоваться, какие другие учебники стоит рассматривать как вспомогательные и т.д.

И тем более очень трудно что-то изучать самостоятельно по задачникам или кратким учебникам с задачами типа Верещагина-Шеня. Подобное можно делать в матклассах или университете вместе с сокурсниками, преподавателями, лекциями, семинарами, консультациями и т.д., но не самостоятельно, даже спрашивая на форуме. Например, я практически уверен, что вы намного лучше бы поняли многие вещи по теории множеств и теории групп если бы прочитали первую главу Александрова "Введение в теорию множеств и общую топологию" и его же книгу "Введение в теорию групп", плюс того же Калужнина.

Иногда мне кажется, что вы специально выбираете наиболее неподходящие учебники для вашего способа обучения, чтобы потом преодолевать всевозможные препятствия
- математическую логику по Клини, явно слишком сложному для начального этапа обучения (и это даже не говоря о том, что излишне углубляться в матлогику в начала обучения вообще не стоит, т.е. почти любой специальный учебник по логике будет сложно проходить самостоятельно до наработки общей математической культуры, да и просто ненужно),
- теорию множеств по слишком краткому и при этом излишне для вас продвинутому Верещагину-Шеню (тоже никак не первый учебник для изучения),
- теорию групп по давно устаревшему Шмидту,
- алгебру в целом по задачникам вместо учебников,
- матанализ по слишком своеобразному (и слишком краткому, как и следует из названия) "Краткому курса математического анализа" Хинчина
и т.д.

А вторая проблема, не меньшая чем первая, в том, что, как мне кажется, вы считаете, что обучение сводится к решению задач и выполнению цепочек длинных преобразований, хотя понимание и "внутреннее осознание" основных понятий и доказательств теорем должны идти в первую очередь (опять же, при самостоятельном обучении, а не когда вы учитесь по "листочкам" в матклассе). Из-за этого и возникают ситуации, когда вы пытаетесь что-то решить, но недостаточно понимаете базовые понятия, которые при этом нужно знать. Вы может и сможете в итоге что-то решить или преобразовать после долгих попыток, но есть большой риск, что вы при этом так и не поймете/научитесь тому, что нужно.

[nnosipov]

Sinoid в сообщении #1509818 писал(а):

книге для школьников "Бардушкин В.В., Кожухов И.Б., Прокофьев А.А., Фадеичева Т.П. Основы теории делимости чисел. Решение уравнений в целых числах. Факультативный курс"

В целом, это неплохая книжка начального уровня. Но в теме про (нелинейные) диофантовы уравнения авторы слегка переусердствовали в подборе задач (встречаются неожиданно сложные задачи, что явно не было запланировано). Так что будьте внимательны при чтении.

Что касается доказательства мультипликативности функции Эйлера: приводимое доказательство самое стандартное и самое простое. Но Вам, я думаю, лучше доказывать формулу для $\varphi(n)$ с помощью принципа включения-исключения. А лучше вообще пропустить этот момент, это не слишком большая потеря для курса алгебры как такового.

Не помню, чтобы при изучении алгебры на 1 курсе мехмата приходилось страдать от незнания каких-то фактов из теории чисел (и я их действительно не знал). В мое время теория чисел на мехмате изучалась только на 4 курсе, и тогда (очень кратко и быстро) нас обучили этим простым вещам типа вот этого свойства мультапликативности. Так что всему свое время.

[vpb]

Во-первых, насчет предварительных сведений о целых числах, полезных для изучения Кострикина. Я думаю, что если ТС этого самого Бардушкина достаточно много читал-решал (я его (Бардушкина) бегло просмотрел), то нужных предварительных сведений у него почти наверняка есть. Так что прям сейчас ни третья глава Калужнина, ни Нестеренко не нужны. Разве что попозже. А какая самая лучшая вводная книжка по элементарной теории чисел --- сложный вопрос.

Sinoid в сообщении #1509818 писал(а):

А что вы думаете по этому поводу?

Думаю, что авторы ожидали решения через формулу включений и исключений, см. предыдущую задачу. Собственно мультипликативность $\varphi(n)$ тут и не нужна.

Sinoid в сообщении #1509818 писал(а):

то можно было бы считать задачу решенной.

Её и так можно считать решенной. Если есть какое-то решение, хоть самостоятельно придуманное, хоть из книжек ранее прочитанных известное (и не забытое еще), то, я считаю, нецелесообразно (а по психологическим причинам и вообще трудно) пытаться придумать какое-то другое. Потому что два разных набора мыслей будут в голове путаться. (Но, в некоторых случаях бывает мотив придумать доказательство получше, чем есть. Но это оффтоп.)

А, вот коллега написал примерно то же самое...

-- 18.03.2021, 03:58 --

И вообще, как верно замечено, особо-то этих предварительных сведений и не надо. Просто я их некоторое количество в свое время имел.

[Mikhail_K]

Odysseus в сообщении #1509824 писал(а):

матанализ по слишком своеобразному (и слишком краткому, как и следует из названия) "Краткому курса математического анализа" Хинчина

Отмечу здесь, что я, будучи школьником, изучал мат.анализ самостоятельно именно по Хинчину, и он мне вполне зашёл, а вот Фихтенгольц в то время показался слишком сложным. Так что, как минимум, эту книгу Хинчина я бы не назвал однозначно неподходящей для самостоятельного изучения.

Хотя сейчас я бы, наверное, рекомендовал изучать мат.анализ по Кудрявцеву. Очень обстоятельное начало, с теорией множеств, аксиомами Пеано, не так много подробностей, в которых можно было бы заблудиться при первом чтении, да и подход Кудрявцева к определению предела функции мне определённо нравится.

[nnosipov]

Mikhail_K в сообщении #1509846 писал(а):

Хотя сейчас я бы, наверное, рекомендовал изучать мат.анализ по Кудрявцеву.

Присоединяюсь к этой рекомендации. Одно из самых приятных воспоминаний детства: чтение 1-го тома "Курса математического анализа" (издание 1980 года, кажется). Да и на мехмате наш лектор С.Б. Стечкин его рекомендовал (наряду с "Основами математического анализа" У. Рудина --- это для тех, кто любит погорячее).

[vpb]

Вот что нашел на просторах форума ... (кстати, автор не абы кто)

Парджеттер в сообщении #130139 писал(а):

Фихтенгольц так сильно разжевывает для идиотов, что читать его порой становится очень утомительно.

По моему, звучит как превосходная рекомендация ! Для тех, конечно, кто повышенным ЧСВ не страдает.

Тут коллеги делились воспоминаниями детства. Лично для меня светлым воспоминанием как раз Фихтенгольц является.

-- 18.03.2021, 16:34 --

А Кудрявцев да, хороший учебник. (Я в студенчестве его не читал, разве только заглядывал, как и в Зорича. ). Но с некоторыми недостатками (позже напишу).

[Sinoid]

(Оффтоп)

Odysseus в сообщении #1509824 писал(а):

"Теория чисел" Нестеренко,

Читал. Эта была первая книжка по теории чисел, которую мне удалось одолеть. Дальше был Виноградов и парочку задачников. После этого остались слабо проработанными неопределенные уравнения. Чтобы это хоть как-то сбалансировать, и прорешал

vpb в сообщении #1509831 писал(а):

этого самого Бардушкина

Так что сейчас отвлекаться на теорию чисел мне точно ни к чему.

Odysseus в сообщении #1509824 писал(а):

его же книгу "Введение в теорию групп"

Тоже читал.

Odysseus в сообщении #1509824 писал(а):

математическую логику по Клини,

На этот учебник я вышел по рекомендации одного авторитетного участника этого форума. Она мне была дана после неудачных рекомендаций других книг для изучения этого раздела. Да, Клини я не смог одолеть, но я смог прочитать другую книгу по этому разделу. И не только прочитать, но и прорешать почти все задачи оттуда. Нерешенными остались задачи 2 или 3, не помню точно.

Odysseus в сообщении #1509824 писал(а):

- теорию групп по давно устаревшему Шмидту,

Я уже изменил свою точку зрения по этому поводу.

Odysseus в сообщении #1509824 писал(а):

- матанализ по слишком своеобразному (и слишком краткому, как и следует из названия) "Краткому курса математического анализа" Хинчина

Так и не только мне одному кажется эта книга вполне удовлетворительной для первого ознакомления:

Mikhail_K в сообщении #1509846 писал(а):

Отмечу здесь, что я, будучи школьником, изучал мат.анализ самостоятельно именно по Хинчину, и он мне вполне зашёл, .... Так что, как минимум, эту книгу Хинчина я бы не назвал однозначно неподходящей для самостоятельного изучения.

Я не говорю, что после прочтения этой книги я стал тянуть в матане на уровне геодезических и первой квадратичной формы, нет. Я и сейчас совсем не на том уровне владения матаном. Я говорю, что во время чтения этой книги перед моими глазами был на понятном мне языке построен фундамент матана. А к этому построению я к тому времени был давно готов и хотел увидеть это построение, да, только никак не получалось: мама никак не могла купить для этого подходящую книгу.

Odysseus в сообщении #1509824 писал(а):

- теорию множеств по слишком краткому и при этом излишне для вас продвинутому Верещагину-Шеню (тоже никак не первый учебник для изучения),

А это далеко и не первая книга по теории множеств, которую я пытаюсь прочитать полностью. До этого была книжка Виленкина "Рассказы о множествах", которую мне удалось прочитать от корки до корки и глава, посвященная теории множеств в книге Клини. Ее тоже, как ни странно, мне удалось прочитать. Вот дальше не пошло и я оставил эту книгу. Послушайте, я прекрасно понимаю, к чему я сейчас готов, а к чему нет. Если к топологии я сейчас категорически не готов, так я ее сейчас и не трогаю ни в каком виде, даже книгу " Болтянский В.Г., В.А. Ефремович. Наглядная топология" не трогаю, хотя ее-то, думаю и одолел бы. Но зачем? Ну, одолею я пару таких детских или полудетских книжек. И дальше-то что? К систематическому ее курсу я, повторюсь, не готов. И что? Я не готов к курсу матанализа Шилова - я за него и не берусь. Не готов к курсу теории вероятностей Гнеденко - не берусь. Я много к чему не готов. Но к Верещагину, Шену я готов. И теория первой главы мной изучена более-менее неплохо, остались только задачи. И эту теорию я прорабатывал не один, а под контролем человека, очень хорошо разбирающегося в этом. А, когда не было компа, я, к примеру, нарешал уровень по высшей алгебры до того, что построил весьма нетривиальные группы, решая задачи по задачнику Фаддева, Сомнинского. Я готов к этой книге, другое дело, что, скорее всего, я не смогу в этом убедить вас. Да, нет, я, в принципе, не против и Кострикина, просто сначала хотелось закончить уже начатое. А потом я так и так бы с вами советовался, по каким учебникам что изучать. Ну, ладно, так да так. Надеюсь, с Кострикиным вы мне тоже не откажете в помощи. Просто, даже тогда, когда я закончу Кострикина и вернусь к Верещагину, Шену, у меня так и так будет вопросов не меньше, чем сейчас: а почему они написали так? А почему они поставили запятую сюда? А что они имели ввиду, когда писали это? И т. д.

Odysseus в сообщении #1509824 писал(а):

как мне кажется, вы считаете, что обучение сводится к решению задач и выполнению цепочек длинных преобразований, хотя понимание и "внутреннее осознание" основных понятий и доказательств теорем должны идти в первую очередь

Совсем не так: например, к моменту, когда у меня появился задачник Фаддеева, Сомнинского, у меня в голове была карта большей части курса высшей алгебры Куроша (единственного доступного для меня тогда курса высшей алгебры) - я знал, в каком месте он про что писал и я четко осозновал необходимость для себя во всем этом прошарить возможно с большего числа сторон, а задачника все не было...

-- 18.03.2021, 22:02 --

Odysseus в сообщении #1509824 писал(а):

Но разве здравый смысл не говорит о том, что если в задаче встречается новое понятие типа функции Эйлера,

Именно потому что здравый смысл говорит об этом, я и предполагал возможность придумать для этой задачи какого-то, ну совсем простого решения, которое мне, ну, никак не приходит в голову.

-- 18.03.2021, 22:04 --

nnosipov в сообщении #1509830 писал(а):

В целом, это неплохая книжка начального уровня. Но в теме про (нелинейные) диофантовы уравнения авторы слегка переусердствовали в подборе задач (встречаются неожиданно сложные задачи, что явно не было запланировано). Так что будьте внимательны при чтении.

У меня там получилось, насколько я помню, почти все.

-- 18.03.2021, 22:16 --

vpb в сообщении #1509831 писал(а):

Думаю, что авторы ожидали решения через формулу включений и исключений, см. предыдущую задачу.

Так, значит, это все-таки формула включений и исключений. А я смотрю, похожа на ту формулу, почти наверняка был уверен, что эти формулы как-то связаны, а с обоснованием затруднился.

-- 18.03.2021, 22:49 --

vpb в сообщении #1509831 писал(а):

Думаю, что авторы ожидали решения через формулу включений и исключений, см. предыдущую задачу. Собственно мультипликативность $\varphi(n)$ тут и не нужна.

А вот и подтверждение ваших слов. Да, правильно, так и есть. Спасибо большое.

[vpb]

Sinoid в сообщении #1509954 писал(а):

А вот и подтверждение ваших слов. Да, правильно, так и есть. Спасибо большое.

Пожалуйста. Коллега nnosipov выше то же самое писал, кстати.

-- 18.03.2021, 22:02 --

Sinoid в сообщении #1509954 писал(а):

До этого была книжка Виленкина "Рассказы о множествах", которую мне удалось прочитать от корки до корки и

У Вас, кажется, издание 1965 г. В той копии, которая есть в интернете, не хватает нескольких страниц. Кроме того, в современном издании (оно тоже есть в либгене) задач, которые в конце книжки, больше.

[nnosipov]

Sinoid в сообщении #1509954 писал(а):

У меня там получилось, насколько я помню, почти все.

Посмотрите задачу 8.40 на стр. 100, пункты 5) и 6). Это явно не для начального уровня. По-видимому, в 6) просто опечатка и имелось в виду уравнение $y^4=x^3+1$, а по поводу 5) у меня нет гипотез. Ответы в обоих случаях приведены неверные.

[ctdr]

Мультипликативность ф.Э. будет в теме корней из 1, задача 22.18б. Собственно, (прямолинейное) следствие из 22.16. "Так что всему свое время." (C) nnosipov

[vpb]

Про Верещагина. Я бы сказал так. Книжка эта интересная. Посмотрев её повнимательнее, я стал к ней относиться гораздо позитивнее. В ней всяк для себя найдет что-то интересное и понятное, и зеленый школьник, и умудрённый профессионал. Однако же, книжки вообще не следует читать фанатически. А Верещагин для этого особенно плохо подходит.

("Не читать фанатически" означает, что иногда можно что-то пропустить или оставить туманным, если не идёт или просто не интересны какие-то моменты.)

И к тому же, выше уже говорилось, а я присоединяюсь к совету, книжки по какому-либо предмету полезно читать разные. Главное, выбирать книжки (а) авторитетные, по отзывам знающих людей (иногда, впрочем, можно выбрать и что-нибудь по своим желаниям), и (б) адекватные, по своей сложности, тем знаниям и пониманиям, которые уже есть.

[Sinoid]

Задача 2.4:

Позвольте, а разве можно установить такое соответствие? Возьмем простейший случай $X-$ конечное множество. Тогда множество $2^X$ (множество всех подмножеств множества $X$) тоже конечно. А множество всех отображений $X$ во множество $\left[0,\,1\right]$ бесконечно. Или я что-то не так понимаю?

[arseniiv]

Да, там ведь написано $\{0, 1\}$ — множество из двух элементов.

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1510227 писал(а):

Да, там ведь написано $\{0, 1\}$ — множество из двух элементов.

Точно! Спасибо большое! Сразу все решилось).