Максимальные интервалы между взаимно простыми числами

[vicvolf]

Еще немного мыслей вслух. Сначала рассмотрим функцию максимального расстояния в ПСВ$p_r\#$ между простыми числами на интервале $(1,p^2_{r+1})$ - $d(p^2_{r+1})$.

При переходе от ПСВ$p_{r-1}\#$ к ПСВ$p_r\#$ удаляются вычеты $p^2_r,p_rp_{r+1},...$, поэтому появляются новые расстояния между простыми числами. Однако в ПСВ$p_{r}\#$, сохраняются простые числа и расстояния между ними, которые уже были в ПСВ$p_{r-1}\#$ на интервале $(1,p^2_{r+1})$. Поэтому $d(p^2_{r+1})$ на интервале $(1,p^2_{r+1})$ является неубывающей функцией.

Теперь рассмотрим функцию Якобсталя максимального расстояния в ПСВ$p_r\#$ между вычетами на интервале $[1,p_r\#]$. Данная функция A048670 является строго возрастающей.

При переходе от ПСВ$p_{r-1}\#$ к ПСВ$p_r\#$ удаляются вычеты $p^2_r,p_rp_{r+1},...$, как говорилось выше, поэтому появляются новые расстояния между вычетами ПСВ$p_r\#$. Поскольку функция Якобсталя является строго возрастающей, то среди этих новых расстояний между вычетами ПСВ$p_r\#$ на интервале $[1,p_r\#]$ имеются наибольшие.

Таким образом, для определения значения функции Якобсталя для ПСВ$p_r\#$ достаточно просмотреть только расстояния между вычетами ПСВ$p_r\#$, полученные после удаления вычетов $p^2_r,p_rp_{r+1},...$.

Учитывая симметричность ПСВ$p_r\#$, то таких максимальных расстояний между вычетами на интервале $[1,p_r\#]$ четное количество. Поэтому для определения функции Якобсталя для ПСВ$p_r\#$ достаточно просмотреть только расстояния между вычетами ПСВ$p_r\#$, полученные после удаления вычетов $p^2_r,p_rp_{r+1},...$ на интервале $[1,p_r\#/2]$.

Для примера рассмотрим ПСВ$11\#$ на интервале $[1,1155]$.

Удаляемые вычеты - $121,143,187,209,253,319,341,407,451,473,517$$,583,649,671,737,781,803,869,913,979,1067,1111,1133$.

Максимальное расстояние после удаления этих вычетов - 14.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1515425 писал(а):

При переходе от ПСВ$p_{r-1}\#$ к ПСВ$p_r\#$ удаляются вычеты $p^2_r,p_rp_{r+1},...$, поэтому появляются новые расстояния между простыми числами. Однако в ПСВ$p_{r}\#$, сохраняются простые числа и расстояния между ними, которые уже были в ПСВ$p_{r-1}\#$ на интервале $(1,p^2_{r+1})$. Поэтому $d(p^2_{r+1})$ на интервале $(1,p^2_{r+1})$ является неубывающей функцией.

vicvolf в сообщении #1512133 писал(а):

Dmitriy40 в сообщении #1510341 писал(а):

Вот начало таблицы для интервала от следующего простого до его же квадрата, показываю только моменты смены любого из двух чисел:

Используется синтаксис Text

5#:     6       23
7#:     8       89
11#:    14      113
23#:    18      523
29#:    20      887
31#:    34      1327
97#:    36      9551
113#:   44      15683
139#:   52      19609
173#:   72      31397
389#:   86      155921
599#:   96      360653
607#:   112     370261
701#:   114     492113
1153#:  118     1349533
1163#:  132     1357201
1409#:  148     2010733
2153#:  154     4652353
4129#:  180     17051707
4561#:  210     20831323

Во всех указанных ПСВ , в которых изменилось расстояние $d(p^2_{r+1})$ на интервале $(1,p^2_{r+1})$, в колонке справа указаны адреса на месте составных вычетов $p^2_r,p_rp_{r+1},...$ и расстояния, указанные в колонке слева, получены после удаления данных составных вычетов.

[Dmitriy40]

vicvolf в сообщении #1516014 писал(а):

Во всех указанных ПСВ , в которых изменилось расстояние $d(p^2_{r+1})$ на интервале $(1,p^2_{r+1})$, в колонке справа указаны адреса на месте составных вычетов $p^2_r,p_rp_{r+1},...$ и расстояния, указанные в колонке слева, получены после удаления данных составных вычетов.

Это неверно, не всегда именно данных вычетов:

Dmitriy40 в сообщении #1515161 писал(а):

Третье.

vicvolf в сообщении #1515082 писал(а):

При переходе с $r-1$ на $r$ шаг решета Эратосфена на интервале $(p^2_r,p^2_{r+1})$ удаляются составные вычеты: $p^2_r,p_r \cdot p_{r+1},...,p_r \cdot p_{r+k} < p^2_{r+1}$. Поэтому максимальные расстояния между соседними простыми числами на интервале $(p^2_r,p^2_{r+1})$ находятся на местах этих вычетов.

И это тоже неверно.
Контрпример: интервал $(97^2;101^2)$, максимальное расстояние между простыми равно $d=36$, но находится оно вот где $(9551;9587)$ и между этими числами максимальный вычет всего лишь $73$: $9551,41,3,19,11,3,73,5,3,7,17,3,5,61,3,11,7,3,9587$ (только нечётные числа). Т.е. в интервале нет вычета $97$.
И таких контрпримеров почти вся посчитанная мною таблица в соседней теме. Например интервал $(599^2;601^2)$ (причём из простых близнецов! что одновременно и контрпример другому вашему утверждению) с максимальным расстоянием $d=96$ между $(360653;360749)$ и максимальным вычетом в этом интервале всего лишь $373$.
Так что после удаления вычетов $p_r$ остаются числа конечно не делящиеся на простые $\le p_r$, но максимальный интервал между простыми будет совсем не обязательно именно на этих удалённых вычетах.

Сколько ещё раз Вы будете дублировать свои ошибочные утверждения? С ошибочностью которых уже даже сами согласились:

Dmitriy40 в сообщении #1515233 писал(а):

vicvolf в сообщении #1515218 писал(а):

Я согласился, что в данном случае, максимум расстояния не на местах этих вычетов.

Значит я слепой и не заметил где вы согласились. И уж тем более что не только в данном случае, а вообще в $6542-22=6520$ случаях или более чем в 99.6% всех проверенных мной случаев. Т.е. практически всегда.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1516053 писал(а):

Контрпример: интервал $(97^2;101^2)$, максимальное расстояние между простыми равно $d=36$, но находится оно вот где $(9551;9587)$ и между этими числами максимальный вычет всего лишь $73$: $9551,41,3,19,11,3,73,5,3,7,17,3,5,61,3,11,7,3,9587$ (только нечётные числа). Т.е. в интервале нет вычета $97$.
И таких контрпримеров почти вся посчитанная мною таблица в соседней теме. Например интервал $(599^2;601^2)$ (причём из простых близнецов! что одновременно и контрпример другому вашему утверждению) с максимальным расстоянием $d=96$ между $(360653;360749)$ и максимальным вычетом в этом интервале всего лишь $373$.

Спасибо, что напомнили об этих контрпримерах. Эти случаев всего 2 в этой таблице из 20, где менялись расстояние. Для остальных случаев максимальные расстояния находятся в местах удаления этих составных вычетов.

Например, для $31\#$ расстояние $d=34$ находится в $1327$, т.е. после удаления составного вычета $31 \cdot 43=1333$, а для $113\#$ расстояние $d=44$ находится в $15683$, т.е. после удаления составного вычета $113 \cdot 139=15707$.

Я как раз исследую случай увеличения расстояния после удаления составных вычетов, так как случай повторения значений ПСВ не являются проблемными в доказательстве.

[Dmitriy40]

vicvolf
Во первых даже два контрпримера (и даже один) уже означают неверность вашего утверждения. А минимальные контрпримеры уже $13,17,19,23$, можете их даже руками/калькулятором проверить.
Во вторых, научитесь считать, таких случаев не 20-2=18, а всего девять — $2, 3, 5, 7, 11, 29, 31, 113, 389$ — и дальше их нет вообще! Во всяком случае до проверенных лично мною $10^5$.
В третьих, эти данные вполне можно получить из таблицы увеличения максимального интервала между простыми, надо лишь аккуратно найти именно то наименьшее простое, для которого новый интервал попадёт в диапазон от квадрата его самого до квадрата следующего простого. А таких данных есть аж 80 значений, до $2\cdot10^{19}$. Написал программку, запустил и да, других вариантов кроме девяти вышеуказанных и нет! Так что не 2 из 20, а всего 9 из 80, причём все они лишь в самом начале.
В четвёртых, если брать не только моменты увеличения максимального расстояния, а вообще все простые, то контрпримеров тоже не 2 из 20, а 6520 из 6542 для простых до $2^{16}$ или более 99.6%.

Так что ваше утверждение можно считать верным лишь для первых пяти простых, а уже для шестого оно неверно. Всего лишь! Запишите это себе большими красными буквами на всех листочках с формулами и не повторяйте снова и снова.

Вот вам более полная таблица, до $2\cdot10^{19}$ (до $10^5$ насчитано мною, дальше взял данные из готовой таблицы и посчитал нужные величины), с указанием максимального вычета $m$, максимального расстояния $d$ и где оно впервые встретилось $a$ в диапазоне $(p_r^2;p_{r+1}^2)$ (показаны только моменты увеличения расстояния):

Используется синтаксис Text

p_r=2, d=2, m=2, a=5
p_r=3, d=4, m=3, a=13
p_r=5, d=6, m=5, a=31
p_r=7, d=8, m=7, a=89
p_r=11, d=10, m=11, a=139
p_r=13, d=12, m=11, a=199
p_r=17, d=14, m=13, a=293
p_r=29, d=20, m=29, a=887
p_r=31, d=34, m=31, a=1327
p_r=97, d=36, m=73, a=9551
p_r=113, d=44, m=113, a=15683
p_r=139, d=52, m=73, a=19609
p_r=173, d=72, m=163, a=31397
p_r=389, d=86, m=389, a=155921
p_r=599, d=96, m=373, a=360653
p_r=607, d=112, m=547, a=370261
p_r=701, d=114, m=677, a=492113
p_r=1153, d=118, m=1091, a=1349533
p_r=1163, d=132, m=727, a=1357201
p_r=1409, d=148, m=1367, a=2010733
p_r=2153, d=154, m=2029, a=4652353
p_r=4129, d=180, m=3433, a=17051707
p_r=4561, d=210, m=4079, a=20831323
p_r=6871, d=220, m=6793, a=47326693
p_r=11047, d=222, m=10139, a=122164747
p_r=13763, d=234, m=7481, a=189695659
p_r=13841, d=248, m=13711, a=191912783
p_r=19661, d=250, m=19081, a=387096133
p_r=20887, d=282, m=17467, a=436273009
p_r=35969, d=288, m=25889, a=1294268491
p_r=38119, d=292, m=24407, a=1453168141
p_r=47963, d=320, m=39191, a=2300942549
p_r=61987, d=336, m=60631, a=3842610773
p_r=65587, d=354, m=33563, a=4302407359
p_r=103567, d=382, m=81973, a=10726904659
p_r=143797, d=384, m=124147, a=20678048297
p_r=149551, d=394, m=127763, a=22367084959
p_r=158269, d=456, m=123583, a=25056082087
p_r=206519, d=464, m=99257, a=42652618343
p_r=357737, d=468, m=207589, a=127976334671
p_r=426871, d=474, m=379283, a=182226896239
p_r=491081, d=486, m=289967, a=241160624143
p_r=545429, d=490, m=495433, a=297501075799
p_r=550789, d=500, m=526501, a=303371455241
p_r=551861, d=514, m=478523, a=304599508537
p_r=645443, d=516, m=641419, a=416608695821
p_r=679463, d=532, m=649183, a=461690510011
p_r=783877, d=534, m=699253, a=614487453523
p_r=859553, d=540, m=619987, a=738832927927
p_r=1160297, d=582, m=905143, a=1346294310749
p_r=1186879, d=588, m=997207, a=1408695493609
p_r=1402901, d=602, m=1087543, a=1968188556461
p_r=1617047, d=652, m=1399837, a=2614941710599
p_r=2678993, d=674, m=1523981, a=7177162611713
p_r=3718739, d=716, m=3634679, a=13829048559701
p_r=4425079, d=766, m=2836271, a=19581334192423
p_r=6545381, d=778, m=3760147, a=42842283925351
p_r=9532777, d=804, m=8174783, a=90874329411493
p_r=13085539, d=806, m=9073873, a=171231342420521
p_r=14771909, d=906, m=12943781, a=218209405436543
p_r=34488539, d=916, m=33071917, a=1189459969825483
p_r=41073029, d=924, m=32743147, a=1686994940955803
p_r=41148293, d=1132, m=36366269, a=1693182318746371
p_r=209383729, d=1184, m=146574287, a=43841547845541059
p_r=235267421, d=1198, m=208362043, a=55350776431903243
p_r=284382859, d=1220, m=194758301, a=80873624627234849
p_r=451648597, d=1224, m=319873651, a=203986478517455989
p_r=466941869, d=1248, m=350437883, a=218034721194214273
p_r=552635299, d=1272, m=494181269, a=305405826521087869
p_r=593734969, d=1328, m=535093483, a=352521223451364323
p_r=633584947, d=1356, m=552843997, a=401429925999153707
p_r=646554427, d=1370, m=612589489, a=418032645936712127
p_r=896779127, d=1442, m=785175763, a=804212830686677669
p_r=1193805997, d=1476, m=865102109, a=1425172824437699411
p_r=2394418813, d=1488, m=1781805643, a=5733241593241196731
p_r=2605376887, d=1510, m=2176308917, a=6787988999657777797
p_r=3945963587, d=1516, m=3609046811, a=15570628755536096243
p_r=4204599149, d=1530, m=3507366799, a=17678654157568189057
p_r=4285017509, d=1550, m=3975661931, a=18361375334787046697

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1516185 писал(а):

Написал программку, запустил и да, других вариантов кроме девяти вышеуказанных и нет! Так что не 2 из 20, а всего 9 из 80, причём все они лишь в самом начале.

Спасибо, за полную и наглядную таблицу. Пусть данных вариантов только 9. Я понял, что они очень редки. Но даже, если бы он был только один, то его в доказательстве надо учесть. А вот утверждение, что они только в начале надо доказать! Пока это не доказано, то возможно, что они могут быть и дальше!

[Dmitriy40]

vicvolf
Конечно доказать надо. Потому я и говорил только о проверенных интервалах, а не вообще, как некоторые ...

Кстати конкретно это предположение, про максимальный вычет, можно попробовать проверить и дальше, ведь простые числа уже намного больше среднего интервала и значит процент проверки чисел будет небольшим (порядка миллионных долей всего). Но эта проверка не найдёт максимальный интервал, лишь интервалы вокруг максимальных вычетов, и если они будут меньше скажем 1550, то да, это отказ, а вот если больше ... то останется неизвестным нет ли где-то рядом ещё большего интервал. Правда сильно дальше так не насчитаешь, интервалы увеличиваются и относительно скоро станут больше 1550 и ценность идеи нивелируется до перебора снова почти всех простых.

[Dmitriy40]

Реализовал эту свою идею, вот что насчиталось до $10^{10}$, показываю только случаи "выбивания" именно вычетом $p_r$ очередного числа и объединения интервалов, только моменты увеличения расстояния от предыдущего для меньших $p_r$ ($m$ не показываю так как оно везде равно $p_r$):

Используется синтаксис Text

p_r=2, d=2, a=5
p_r=3, d=4, a=13
p_r=3, d=4, a=19
p_r=5, d=6, a=31
p_r=7, d=8, a=89
p_r=11, d=10, a=139
p_r=13, d=12, a=211
p_r=17, d=14, a=317
p_r=29, d=20, a=887
p_r=31, d=22, a=1129
p_r=31, d=34, a=1327
p_r=113, d=44, a=15683
p_r=181, d=54, a=35617
p_r=389, d=86, a=155921
p_r=619, d=100, a=396733
p_r=2789, d=120, a=7784039
p_r=4297, d=144, a=18687587
p_r=16447, d=146, a=270569591
p_r=18899, d=180, a=357436661
p_r=27109, d=182, a=735385691
p_r=30983, d=192, a=961061617
p_r=73999, d=208, a=5477183851
p_r=93089, d=222, a=8666306527
p_r=116539, d=240, a=13582503691
p_r=265231, d=310, a=70350135649
p_r=766487, d=314, a=587513051717
p_r=1021301, d=334, a=1043057775163
p_r=2045759, d=350, a=4185133977533
p_r=3409321, d=356, a=11623531048583
p_r=3423419, d=376, a=11719961973367
p_r=4062287, d=400, a=16502232541999
p_r=5743069, d=404, a=32983140177959
p_r=5982329, d=450, a=35788332052171
p_r=6655631, d=464, a=44297437318997
p_r=9085039, d=468, a=82538242522669
p_r=30303547, d=476, a=918306172922651
p_r=30373219, d=490, a=922533161379001
p_r=31871017, d=494, a=1015763828100929
p_r=33560411, d=542, a=1126302394663361
p_r=34450943, d=576, a=1186867955902037
p_r=51063239, d=582, a=2607455092056049
p_r=87230761, d=610, a=7609211770791817
p_r=198434671, d=640, a=39376330164088933
p_r=314272363, d=662, a=98767123802505647
p_r=388340471, d=698, a=150808328406630053
p_r=391470559, d=752, a=153249203261419049
p_r=479498501, d=788, a=229918826846201873
p_r=982920299, d=850, a=966132327947133559
p_r=982920299, d=850, a=966132327947133559
p_r=3180667211, d=858, a=10116644136138557243
p_r=4088651269, d=866, a=16717069289445637517
p_r=4689991997, d=930, a=21996025053863839799
p_r=7222849273, d=934, a=52169552530555636279
p_r=8237596459, d=948, a=67857995454279723793
p_r=9023217317, d=982, a=81418451417526759187

Из сравнения с предыдущей таблицей видно что эти интервалы после $p_r=389$ везде меньше соответствующих максимальных.
Так что примеров выполнения вашего утверждения конечно не 9, но и не так чтобы совсем уж много, даже откровенно мало, меньше одного на 8 миллионов и продолжает быстро уменьшаться.

[vicvolf]

Yury_rsn в сообщении #1513020 писал(а):

$19\#:60043+34$ _ _ _ _ _ _ _ _$60043=13\#\cdot2 -17$
$23\#:20332471+40$ _ _ _ _ _ _$20332471=17\#\cdot40 - 87929$

Рассмотрим первый случай, когда расстояние между вычетами ПСВ превышает $2p_{r-1}$. Это в ПСВ$23\#$. Значение $d=40$ в $20332471$ получается после удаления вычета $20332483$ путем объединения двух расстояний $12$ и $28$, каждое меньше $34$. Так что ничего особенного!

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1516185 писал(а):

Вот вам более полная таблица, до $2\cdot10^{19}$ (до $10^5$ насчитано мною, дальше взял данные из готовой таблицы и посчитал нужные величины), с указанием максимального вычета $m$, максимального расстояния $d$ и где оно впервые встретилось $a$ в диапазоне $(p_r^2;p_{r+1}^2)$ (показаны только моменты увеличения расстояния):

Используется синтаксис Text

p_r=2, d=2, m=2, a=5
p_r=3, d=4, m=3, a=13
p_r=5, d=6, m=5, a=31
p_r=7, d=8, m=7, a=89
p_r=11, d=10, m=11, a=139
p_r=13, d=12, m=11, a=199
p_r=17, d=14, m=13, a=293
p_r=29, d=20, m=29, a=887
p_r=31, d=34, m=31, a=1327
p_r=97, d=36, m=73, a=9551
p_r=113, d=44, m=113, a=15683
p_r=139, d=52, m=73, a=19609
p_r=173, d=72, m=163, a=31397
p_r=389, d=86, m=389, a=155921
p_r=599, d=96, m=373, a=360653
p_r=607, d=112, m=547, a=370261
p_r=701, d=114, m=677, a=492113
p_r=1153, d=118, m=1091, a=1349533
p_r=1163, d=132, m=727, a=1357201
p_r=1409, d=148, m=1367, a=2010733
p_r=2153, d=154, m=2029, a=4652353
p_r=4129, d=180, m=3433, a=17051707
p_r=4561, d=210, m=4079, a=20831323
p_r=6871, d=220, m=6793, a=47326693
p_r=11047, d=222, m=10139, a=122164747
p_r=13763, d=234, m=7481, a=189695659
p_r=13841, d=248, m=13711, a=191912783
p_r=19661, d=250, m=19081, a=387096133
p_r=20887, d=282, m=17467, a=436273009
p_r=35969, d=288, m=25889, a=1294268491
p_r=38119, d=292, m=24407, a=1453168141
p_r=47963, d=320, m=39191, a=2300942549
p_r=61987, d=336, m=60631, a=3842610773
p_r=65587, d=354, m=33563, a=4302407359
p_r=103567, d=382, m=81973, a=10726904659
p_r=143797, d=384, m=124147, a=20678048297
p_r=149551, d=394, m=127763, a=22367084959
p_r=158269, d=456, m=123583, a=25056082087
p_r=206519, d=464, m=99257, a=42652618343
p_r=357737, d=468, m=207589, a=127976334671
p_r=426871, d=474, m=379283, a=182226896239
p_r=491081, d=486, m=289967, a=241160624143
p_r=545429, d=490, m=495433, a=297501075799
p_r=550789, d=500, m=526501, a=303371455241
p_r=551861, d=514, m=478523, a=304599508537
p_r=645443, d=516, m=641419, a=416608695821
p_r=679463, d=532, m=649183, a=461690510011
p_r=783877, d=534, m=699253, a=614487453523
p_r=859553, d=540, m=619987, a=738832927927
p_r=1160297, d=582, m=905143, a=1346294310749
p_r=1186879, d=588, m=997207, a=1408695493609
p_r=1402901, d=602, m=1087543, a=1968188556461
p_r=1617047, d=652, m=1399837, a=2614941710599
p_r=2678993, d=674, m=1523981, a=7177162611713
p_r=3718739, d=716, m=3634679, a=13829048559701
p_r=4425079, d=766, m=2836271, a=19581334192423
p_r=6545381, d=778, m=3760147, a=42842283925351
p_r=9532777, d=804, m=8174783, a=90874329411493
p_r=13085539, d=806, m=9073873, a=171231342420521
p_r=14771909, d=906, m=12943781, a=218209405436543
p_r=34488539, d=916, m=33071917, a=1189459969825483
p_r=41073029, d=924, m=32743147, a=1686994940955803
p_r=41148293, d=1132, m=36366269, a=1693182318746371
p_r=209383729, d=1184, m=146574287, a=43841547845541059
p_r=235267421, d=1198, m=208362043, a=55350776431903243
p_r=284382859, d=1220, m=194758301, a=80873624627234849
p_r=451648597, d=1224, m=319873651, a=203986478517455989
p_r=466941869, d=1248, m=350437883, a=218034721194214273
p_r=552635299, d=1272, m=494181269, a=305405826521087869
p_r=593734969, d=1328, m=535093483, a=352521223451364323
p_r=633584947, d=1356, m=552843997, a=401429925999153707
p_r=646554427, d=1370, m=612589489, a=418032645936712127
p_r=896779127, d=1442, m=785175763, a=804212830686677669
p_r=1193805997, d=1476, m=865102109, a=1425172824437699411
p_r=2394418813, d=1488, m=1781805643, a=5733241593241196731
p_r=2605376887, d=1510, m=2176308917, a=6787988999657777797
p_r=3945963587, d=1516, m=3609046811, a=15570628755536096243
p_r=4204599149, d=1530, m=3507366799, a=17678654157568189057
p_r=4285017509, d=1550, m=3975661931, a=18361375334787046697

Утверждение

С вероятностью равной 1 расстояние между простыми числами на интервале $(p^2_n,p^2_{n+1})-d(p^2_{n+1})<2p_{n-1}$ при $n \to \infty$.

Доказательство

Неравенство выполняется для $p_r=4285017509$.

Предположим, что неравенство $d(p^2_{k+1})<2p_{k-1}$ выполняется для $p_k \geq p_r$.

Покажем, что с вероятностью равной 1 будет выполняться неравенство $d(p^2_{k+2})<2p_{k}$ для $p_{k+1}$ при $k \to \infty$.

Рассмотрим три случая:

1. Если для $p_{k+1}$ расстояние $d(p^2_{k+2})$ не возрастает.

2. Если для $p_{k+1}$ расстояние $d(p^2_{k+2})$ возрастает, но переходит с $p_k$.

3. Если для $p_{k+1}$ расстояние $d(p^2_{k+2})$ возрастает и образуется при $p_{k+1}$.

В первом случае, при переходе от $p_k$ к $p_{k+1}$, неравенство $d(p^2_{k+2})<2p_{k}$ тем более выполняется.

Во втором случае, по предположению для простых чисел, неравенство $d(p^2_{k+1})<2p_{k-1}$ выполняется для $p_k$ и так как переходит на $p_{k+1}$, то для $p_{k+1}$ также выполняется $d(p^2_{k+2})<2p_{k}$.

При $k \to \infty$ вероятность первого и второго случая стремится к 1, а третьего - к нулю. Поэтому с вероятностью равной 1 при $k \to \infty$ для $p_{k+1}$ выполняется $d(p^2_{k+2})<2p_{k}$.

Таким образом, из принципа математической индукции следует исходное утверждение.

[Dmitriy40]

А смысл? Аналогично с вероятностью 1 любое число $p_n$ при $n\to\infty$ является составным. Однако простых бесконечно много, и они бывают даже на весьма малых расстояниях (всего лишь 246) друг от друга.
Т.е. я например даже не буду вдумываться правильно ли это доказательство, оно практической пользы не имеет, вернее я её не вижу.

[vicvolf]

Dmitriy40 Это просто обоснование гипотезы, что расстояние между простыми числами на интервале $(p^2_n,p^2_{n+1})-d(p^2_{n+1})<2p_{n-1}$.
Многие гипотезы о простых числах обосновываются вероятностными методами. Например, гипотеза Крамера об асимптотике наибольшего расстояния между простыми числами или гипотеза Харди-Литтлвуда об асимптотическом количестве простых кортежей.

[Dmitriy40]

vicvolf
И? Ну обосновали, и что дальше? Для доказательства гипотезы же оно ничего не даёт, вероятность 1 не исключает возможность существования контрпримеров, даже бесконечного их количества (как с простыми или с иррациональными, их то вообще в некотором смысле неизмеримо больше рациональных, и все с вероятностью 0).

[vicvolf]

Dmitriy40 Это не доказательство, но гипотезой Харди-Литтлвуда, хотя она и не доказана, многие пользуются для нахождения количества кортежей на больших интервалах. Помню мы даже использовали с Вами эту гипотезу в одной из тем.

[Dmitriy40]

vicvolf
Мне непонятно какой смысл Вы вложили в слова "с вероятностью равной 1" — "почти всегда, но не обязательно", ведь так, да? Учитывая что нет никакого обоснования когда же "не обязательно", то каков смысл в указании вероятности то? И чем в данном контексте вероятность $1$ лучше вероятности $>0.99$?

Потому что многие, и я в том числе, обязательно подумают что "вероятность равна 1" означает 100% обязательность и невозможность никаких контрпримеров (других случаев), т.е. что условие доказано. А это очевидно не так и вероятно пропущено слово "в пределе", лишь предел вероятности равен 1, не сама вероятность. И это уже очень и очень разные вещи! И выходит Вы запутываете людей, не договаривая важных моментов, и ещё хорошо если не намеренно.