Доказательство бесконечности простых чисел близнецов.Обозначения:

- простое число, где

– порядковый номер простого числа в ряду натуральных чисел.

- наибольшее простое число, квадрат которого не превосходит

.

- мультипликативная функция, значение которой равно* количеству пар близнецов (натуральных чисел с разницей

), не превышающих

и в которых оба числа взаимно простые с

("пары, взаимно простых с

"). Для каждого простого числа

функция

, кроме простого числа

, для которого

.
Функция

позволяет удалить два вычета из кольца вычетов простого числа.
В данном рассмотрении производится проверка пар натуральных чисел на выполнение сравнения:

(где

- натуральные числа от

до

) и удаление таких пар из числа пар, взаимно простых с

, т.е. подразумевается удаление двух остатков:

.
Доказательство:Используя функцию

и свойство ее мултипликативности, можно составить новую функцию:

Функция

определяет количество пар простых-близнецов, расчитанное при
допущении, что пары, взаимно простых с примориалом, расположены в нем равномерно (2).
Данная функция не учитывает количество пар простых-близнецов, не превышающих

, обозначим их числом

(3).
Так как в действительности распределение пар, взаимно простых с примориалом, неравномерное, то функция

имеет погрешность относительно числа

, где

- действительное число пар простых-близнецов в примориале

.
Для наглядности вышесказанного развернем (1):
В выражении (4) число в первой скобке, домноженное на

, соответствует

, т.е. числу пар, взаимно простых с примориалом. Это число достоверное.
Число во второй скобке, домноженное на

соответствует числу пар, в которых хотя бы одно число кратно простым числам от

до

. Это число в виду допущения (2) является причиной погрешности, поэтому может быть названо "недостоверным числом".
Перепишем (1):
Дробный коэффициент в (5):

показывает, в какой пропорции в примориале количество пар простых-близнецов меньше количества пар, взаимно простых с примориалом.
Если привести (4) к несколько другому виду:

то коффициенты

связаны между собой соотношением:
Если в выражении (4) из первой скобки вычесть число, заведомо превышающее "недостоверное число", то оставшаяся часть, хотя и станет меньше числа

, но будет достоверной.
Эта цель в доказательстве в соответствии с (6) достигается путем замены в (5) коэффиициента

на гарантированно меньший (7).
Таким коэффициентом выбран

.
Докажем, что условие (7) выполняется:


Преобразуем:

Распишем полученную правую часть неравенства (8):

Сдвинем числители дробей, начиная с последнего, на одну позицию влево:

Неравенство (10) выполняется только, начиная с

, но далее уже не меняет знак, т.к. все последующие дроби больше

:
Поэтому неравенство (7), как и условие (6) выполняются тоже, начиная с

.
Таким образом, для примориалов, превышающих

, можно составить строгое неравенство:

Неравенство (11) утверждает, что каким бы ни было количество пар простых-близнецов до

, в примориале

всегда существует, как минимум,

пара простых-близнецов, превышающих

. (12)
Т.к. простые числа бесконечны, а соответственно, бесконечны примориалы, то с учетом вывода (12) доказано, что простые-близнецы бесконечны.
*Примечание: функция

всегда дает одно лишнее значение, независимо от числа

.
В доказательстве это учтено при переходе (7).
p.s. Выражаю особую Благодарность
Dmitriy40 за его конструктивную критику, позволившую устранить недочеты, уточнить некоторые параметры, а также за его помощь в редактировании текста. Спасибо!