Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.

[Soul Friend]

Dmitriy40
да, путаю, но всё же не вижу доказательства, ну да ладно.

Dmitriy40 в сообщении #1511188 писал(а):

Тут бы с первым разобраться, про близнецы ...

тоже попробую разобраться.

Soul Friend в сообщении #1511178 писал(а):

$p_v=precprime( \sqrt{p_1\#})$

тут опечатка , должно быть : $p_v=precprime( \sqrt{p_p\#})$

[Dmitriy40]

Soul Friend
Доказательство про близнецы в основном всё изложено здесь (8-я страница данной темы): post1510651.html#p1510651 (уже в нормальных обозначениях). Про него лучше именно ими и пользоваться.
Про построение $L_2(p_r\#)$ есть моё пояснение.

Гольдбах — это ужас-ужас, там ещё править и править, как Вы правильно заметили.

[Soul Friend]

Dmitriy40 в сообщении #1511188 писал(а):

Не совсем: $143=11\cdot13$ взаимно простое с $7\#=210$, но само очевидно не простое, хоть и больше $7$.

при чём тут этот пример? Ведь в условии не говорится умножать простые числа :

Батороев в сообщении #1511085 писал(а):

значение которой равно количеству пар простых, в сумме равных числу $2N$, взаимно простых с $p_v\#$.

[Dmitriy40]

Soul Friend
Да, Вы правы, а я не заметил что речь лишь о простых и мой пример "не в кассу". Извиняюсь.

[Soul Friend]

Батороев в сообщении #1510651 писал(а):

$\varphi_{2}(n)$ - мультипликативная функция, значение которой равно* количеству пар близнецов (натуральных чисел с разницей $2$), не превышающих $n$ и в которых оба числа взаимно простые с $n$ ("пары, взаимно простых с $n$").

То есть $\varphi_{2}(n)=n-2\omega(n)$ , для всех $n$, кроме оговорённой $n=2$.
$\omega(n)$ - prime omega function.

-- 26.03.2021, 09:08 --

Батороев в сообщении #1510651 писал(а):

Используя функцию $\varphi_{2}(p)$ и свойство ее мултипликативности

дайте, пожалуйста, пример мультипликативности. Ведь $p$ по определению не разлагается на две взаимнопростые числа.

[Soul Friend]

Батороев в сообщении #1510651 писал(а):

$$L_{2}(p_{r}\#) = \dfrac{\varphi_{2}(p_{s}\#)\cdot p_{r}\#}{p_s\#} \egno (1)$$

и всё же, я бы сократил одну переменную, для наглядности:

$$L_{2}(p_{r}\#) = \dfrac{\varphi_{2}(precprime(\sqrt{p_{r}\#})\#)\cdot p_{r}\#}{precprime(\sqrt{p_{r}\#})\#} \egno (1)$$

-- 26.03.2021, 09:41 --

Батороев в сообщении #1510651 писал(а):

Функция $L_{2}(p_{r}\#)$ определяет количество пар простых-близнецов, расчитанное при допущении, что пары, взаимно простых с примориалом, расположены в нем равномерно (2).

Вот здесь у меня фантазия буксует, каким образом функция показывает что это количество именно простых близнецов ?

кстати, $\varphi_2(p_s\#)=p_s\#-2\pi(r)$ , где $\pi(r)$ - количество простых чисел до заданной $r$.

[Батороев]

Soul Friend в сообщении #1511178 писал(а):

то есть, $u=p$ ; $p_u=p_p$ ,

Нет, не так, а: $p_{1}=2$; $p_{2}=3$; $p_{3}=5$ и т.д.

Soul Friend в сообщении #1511178 писал(а):

то есть, проще, пары простых больших чем $p_v$.

Нет, это пары натуральных чисел, в пределах $p_{v}\#$, не имеющие общих множителей с $p_{v}\#$, т.е. не имеют в качестве делителя ни одно из простых, произведением которых является данный примориал.
Доказательство гипотезы Гольдбаха, как отметил Dmitriy40, лучше сейчас не трогать, а то все запутаются.

-- 26 мар 2021 10:49 --

Soul Friend в сообщении #1511201 писал(а):

То есть $\varphi_{2}(n)=n-2\omega(n)$ , для всех $n$, кроме оговорённой $n=2$.
$\omega(n)$ - prime omega function.

prime omega function здесь не при чем, например: $\varphi_{2}(7^2)=(7-2)\cdot 7$

-- 26 мар 2021 10:54 --

Soul Friend
Остальное не комментирую, потому что Вы изначально не правильно поняли.
Когда переосмыслите, обращайтесь, отвечу с удовольствием.

-- 26 мар 2021 11:21 --

Soul Friend в сообщении #1511201 писал(а):

дайте, пожалуйста, пример мультипликативности. Ведь $p$ по определению не разлагается на две взаимнопростые числа.

$\varphi_{2}(5)=5-2=3$
$\varphi_{2}(7)=7-2=5$
$\varphi_{2}(5\cdot 7)=3\cdot 5=15$.
Т.е. в пределах числа $5\cdot7=35$ имеется $15$ пар натуральных чисел с разницей в $2$, в которых оба числа не имеет делителей $5$ или $7$.

[Soul Friend]

Батороев в сообщении #1511206 писал(а):

prime omega function здесь не при чем,

понятно, тогда просто заменить омега функцию на функцию Эйлера.

Батороев в сообщении #1511206 писал(а):

Остальное не комментирую, потому что Вы изначально не правильно поняли.

а остальное не имеет отношения к моей ошибочной догадке об омега функции, так что можете прояснить.

Батороев в сообщении #1511206 писал(а):

Нет, не так, а: $p_{1}=2$; $p_{2}=3$; $p_{3}=5$ и т.д.

так это же порядковый номер простого числа в множестве простых, а не натуральных чисел.
$p_5=11$ ?

[Батороев]

Soul Friend в сообщении #1511207 писал(а):

понятно, тогда просто заменить омега функцию на функцию Эйлера.

У функции Эйлера используется $p-1$ у меня $p-2$.

[Soul Friend]

последний вопрос разъясните, пожалуйста

Soul Friend в сообщении #1511207 писал(а):

Батороев в сообщении #1511206

писал(а):
Нет, не так, а: $p_{1}=2$; $p_{2}=3$; $p_{3}=5$ и т.д.

так это же порядковый номер простого числа в множестве простых, а не натуральных чисел.
$p_5=11$ ?

[Батороев]

Soul Friend в сообщении #1511205 писал(а):

Вот здесь у меня фантазия буксует, каким образом функция показывает что это количество именно простых близнецов ?

Порядок рассмотрения в доказательстве (стр. 8) таков:

1) Берется интервал, равный $p_{s}\#$.
2) На этом интервале при помощи функции $\varphi_{2}(p_{s}\#)$ расчитывается количество пар взаимно простых примориалу.
3) При допущении, что взаимно простые в примориале расположены равномерно, определяется, сколько их приходится на участок $p_{r}\#$, на котором все пары, псевдо простые с $p_{s}\#$, являются парами простых (что и отражено в (1) доказательства).

Такой подход расчета пар простых - не точный и имеет погрешность.

4) Далее утверждается, что $\frac {1}{p_{s}}$-я часть расчетного числа пар простых, полученных по 3) гарантированно меньше фактического числа и эта часть больше единицы.

Хотя численные примеры говорят о справедливости 4) (причем, условие выполняется с большим запасом), но как прозрачно намекает:

Slav-27 в сообщении #1510836 писал(а):

Это не обоснование, а смутная идея (

все требует доказательства.

Сейчас "мозгую" над этим.

-- 26 мар 2021 12:56 --

Soul Friend в сообщении #1511211 писал(а):

так это же порядковый номер простого числа в множестве простых, а не натуральных чисел.
$p_5=11$ ?

Соглашусь.
Я человек в области математики малограмотный.

Батороев в сообщении #466459 писал(а):

Я книг по математике не читаю (это нарушает принцип моего увлечения математикой (хобби) - дойти до чего-нибудь своим умом, т.е. "изобрести велосипед"). Какие понятия почерпнул из обсуждений на форуме, те и применяю.

[vorvalm]

Soul Friend
Неужели не понятно.
Батороев не читатель - Батороев писатель.

[Soul Friend]

Батороев в сообщении #1511206 писал(а):

$\varphi_{2}(5)=5-2=3$
$\varphi_{2}(7)=7-2=5$
$\varphi_{2}(5\cdot 7)=3\cdot 5=15$.

а по моим подсчётам $\varphi_2(5)=2$ имеет всего две пары взаимопростых с $5$ это - $\{1;3\}$ и $\{2;4\}$.
$\varphi_2(7)=4$ имеет четыре пары взаимопростых с $7$ это - $\{1;3\}$ и $\{2;4\}$ ; $\{3;5\}$ и $\{4;6\}$.
а вот $\varphi_2(35)=15$.

[Батороев]

Soul Friend
В примечании к доказательству от 23.03 это отмечено.

[Soul Friend]

Батороев в сообщении #1510651 писал(а):

Для каждого простого числа $p$ функция $\varphi_{2}(p) = p-2$

я подумал что это констатация факта, а это оказывается оговорка. Учту. Но, если не ошибаюсь, функции должны определяться однозначно, а если хотите где-то применять $p-2$ используйте $\varphi_2(p)+1$