Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1510167 писал(а):

Третье наблюдение, что дробь в (17) завышает величину по сравнению со скобкой в (15), например для указанных выше праймориалов дробь равна $0.307$ для $13\#$, $0.098$ для $29\#$, $0.045$ для $43\#$. Вроде бы они должны быть близки, однако ...

Да, вроде бы не должно завышать.

Для $13\#$ выражения (15) и (6) можно записать так:

$1485-1485 \cdot 0,693=1485\cdot 0,307$

где $0,693=1-0,307$
$1485$ - количество псевдо простых в примориале.

Или $1485-1485\cdot (1-0,307)=1485\cdot 0,307$

Тогда отношение скобки к примориалу $13\#$ можно записать так: $\dfrac {(1-0,307)\cdot 1485}{13\#}$.

Т.е. на интересующее Вас отношение скобки к примориалу дополнительно влияет отношение числа взаимно простых к примориалу.

[Dmitriy40]

Да, так совпадает.

[vorvalm]

Батороев
Чтобы не засорять чужую тему, отвечу на ваш вопрос здесь.
Функция $\varphi_2(M)$ относится к функциям $\varphi_n(M)$, которые
я называю функциями Эйлера высших порядков. Они полностью разобраны в моей теме
"Бесконечность простых чисел-близнецов".
Они дают число кортежей, состоящих из n вычетов в ПСВ по модулю $M=p\#$
с определенными ограничениями.

[Батороев]

vorvalm
Я спрашивал конкретно про функцию $\varphi_3$, которую хочу использовать в доказательстве одной теоремы. Но не поленившись и посмотрев ваши комментарии в теме, понял, что используете совсем не в том "ключе", в котором я хочу применить функцию в будущем. Поэтому вопрос снял.

[Батороев]

Доказательство бесконечности простых чисел близнецов.

Обозначения:

$p_{r}$ - простое число, где $r$ – порядковый номер простого числа в ряду натуральных чисел.
$p_{s}$ - наибольшее простое число, квадрат которого не превосходит $p_{r}\#$.

$\varphi_{2}(n)$ - мультипликативная функция, значение которой равно* количеству пар близнецов (натуральных чисел с разницей $2$), не превышающих $n$ и в которых оба числа взаимно простые с $n$ ("пары, взаимно простых с $n$"). Для каждого простого числа $p$ функция $\varphi_{2}(p) = p-2$, кроме простого числа $2$, для которого $\varphi_{2}(2)=1$.
Функция $\varphi_{2}(p)$ позволяет удалить два вычета из кольца вычетов простого числа.
В данном рассмотрении производится проверка пар натуральных чисел на выполнение сравнения: $(a_{i}-1)\cdot (a_{i}+1) \equiv 0 \pmod p$ (где $a_i$ - натуральные числа от $1$ до $(p-1)$ ) и удаление таких пар из числа пар, взаимно простых с $p$, т.е. подразумевается удаление двух остатков: $(\pm 1)\pmod p$.


Доказательство:

Используя функцию $\varphi_{2}(p)$ и свойство ее мултипликативности, можно составить новую функцию:

$$L_{2}(p_{r}\#) = \dfrac{\varphi_{2}(p_{s}\#)\cdot p_{r}\#}{p_s\#} \egno (1)$$

Функция $L_{2}(p_{r}\#)$ определяет количество пар простых-близнецов, расчитанное при допущении, что пары, взаимно простых с примориалом, расположены в нем равномерно (2).

Данная функция не учитывает количество пар простых-близнецов, не превышающих $p_{s}$, обозначим их числом $t$ (3).
Так как в действительности распределение пар, взаимно простых с примориалом, неравномерное, то функция $L_{2}(p_{r}\#)$ имеет погрешность относительно числа $(\pi_{2}(p_{r}\#)-t)$, где $\pi_{2}(p_{r}\#)$ - действительное число пар простых-близнецов в примориале $p_{r}\#$.

Для наглядности вышесказанного развернем (1):

$L_{2}(p_{r}\#)=p_{r}\#\cdot\left(1-\frac {1}{2}-\frac{2\cdot \varphi_{2}(2\#)}{3\#}-\frac {2\cdot \varphi_{2}(3\#)}{5\#}..-\frac{2\cdot \varphi_{2}(p_{r-1}\#)}{p_{r}\#}\right)-p_{r}\#\cdot \left(\frac{2\cdot \varphi_{2}(p_{r}\#)}{p_{r+1}\#}+..+\frac{2\cdot \varphi_{2}(p_{s-1}\#)}{p_{s}\#}\right) \egno(4) $

В выражении (4) число в первой скобке, домноженное на $p_r\#$, соответствует $\varphi_{2}(p_{r}\#)$, т.е. числу пар, взаимно простых с примориалом. Это число достоверное.
Число во второй скобке, домноженное на $p_r\#$ соответствует числу пар, в которых хотя бы одно число кратно простым числам от $p_{r+1}$ до $p_{s}$. Это число в виду допущения (2) является причиной погрешности, поэтому может быть названо "недостоверным числом".

Перепишем (1):

$$L_{2}(p_r\#)= \varphi_{2}(p_r\#) \cdot \dfrac{\varphi_{2}(p_s\#)\cdot p_r\#}{\varphi_{2}( p_r\#) \cdot p_s\#}\egno (5) $$

Дробный коэффициент в (5): $u=\dfrac{\varphi_{2}(p_s\#)\cdot p_{r}\#}{\varphi_{2}(p_r\#)\cdot p_{s}\#}$ показывает, в какой пропорции в примориале количество пар простых-близнецов меньше количества пар, взаимно простых с примориалом.

Если привести (4) к несколько другому виду:

$$L_{2}(p_r\#)=\varphi_{2}(p_r\#) - v\cdot \varphi_{2}(p_r\#) $$

то коффициенты $u, v$ связаны между собой соотношением: $u=1-v \egno (6)$

Если в выражении (4) из первой скобки вычесть число, заведомо превышающее "недостоверное число", то оставшаяся часть, хотя и станет меньше числа $L_{2}(p_r\#)$, но будет достоверной.
Эта цель в доказательстве в соответствии с (6) достигается путем замены в (5) коэффиициента $u$ на гарантированно меньший (7).

Таким коэффициентом выбран $d=\frac {1}{p_{s}}$.

Докажем, что условие (7) выполняется:

$$\dfrac{\varphi_{2}(p_s\#)\cdot p_r\#}{\varphi_{2}( p_r\#) \cdot p_s\#}>\dfrac {1}{p_{s}}\egno (8) $$

$$\dfrac {p_{r}\#}{\varphi_{2}(p_{r}\#)}\cdot \dfrac{\varphi_{2}(p_s\#)}{ p_s\#}>\dfrac {1}{p_{s}} $$

Преобразуем:

$$\dfrac {p_{r}\#}{\varphi_{2}(p_{r}\#)}\cdot \dfrac{\varphi_{2}(p_s\#)\cdot p_{s}}{ p_s\#}>1\egno (9) $$

Распишем полученную правую часть неравенства (8):

$$\dfrac {p_{r}\#}{\varphi_{2}(p_{r}\#)}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac {1}{3}\cdot \dfrac {3}{5} \cdot\dfrac {5}{7}\cdot \dfrac {9}{11}\cdot \dfrac {11}{13}\cdot \dfrac {15}{17}\cdot ...\cdot \dfrac {\varphi_{2}(p_{s-1})}{p_{s-1}}\cdot \dfrac {\varphi_{2}(p_{s})}{p_{s}}\cdot \dfrac {p_{s}}{1}>1 $$

Сдвинем числители дробей, начиная с последнего, на одну позицию влево:

$$\dfrac {p_{r}\#}{\varphi_{2}(p_{r}\#)}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac {3}{3}\cdot \dfrac {5}{5} \cdot\dfrac {9}{7}\cdot \dfrac {11}{11}\cdot\dfrac {15}{13}\cdot \dfrac {17}{17}\cdot ...\cdot \dfrac {\varphi_{2}(p_{s})}{p_{s-1}}\cdot \dfrac {p_{s}}{p_{s}}>1\egno (10) $$

Неравенство (10) выполняется только, начиная с $7\#$, но далее уже не меняет знак, т.к. все последующие дроби больше $1$:

Поэтому неравенство (7), как и условие (6) выполняются тоже, начиная с $7\#$.

Таким образом, для примориалов, превышающих $7\#$, можно составить строгое неравенство:

$$ \pi_{2}(p_r\#)-t > \dfrac {1}{p_s} \cdot \varphi_{2}(p_r\#)>1 \egno (11)$$

Неравенство (11) утверждает, что каким бы ни было количество пар простых-близнецов до $p_{s}$, в примориале $p_{r}\#$ всегда существует, как минимум, $1$ пара простых-близнецов, превышающих $p_{s}$. (12)

Т.к. простые числа бесконечны, а соответственно, бесконечны примориалы, то с учетом вывода (12) доказано, что простые-близнецы бесконечны.

*Примечание: функция $\varphi_{2}(n)$ всегда дает одно лишнее значение, независимо от числа $n$.
В доказательстве это учтено при переходе (7).

p.s. Выражаю особую Благодарность Dmitriy40 за его конструктивную критику, позволившую устранить недочеты, уточнить некоторые параметры, а также за его помощь в редактировании текста. Спасибо!

[Slav-27]

Батороев в сообщении #1510651 писал(а):

$\varphi_{2}(n)$ - мультипликативная функция, значение которой равно* количеству пар близнецов (натуральных чисел с разницей $2$), не превышающих $n$ и в которых оба числа взаимно простые с $n$ ("пары, взаимно простых с $n$"). Для каждого простого числа $p$ функция $\varphi_{2}(p) = p-2$, кроме простого числа $2$, для которого $\varphi_{}(2)=1$.

$\varphi_2(2)=0$.

[Батороев]

Slav-27 в сообщении #1510656 писал(а):

Батороев в сообщении #1510651 писал(а):

$\varphi_{2}(n)$ - мультипликативная функция, значение которой равно* количеству пар близнецов (натуральных чисел с разницей $2$), не превышающих $n$ и в которых оба числа взаимно простые с $n$ ("пары, взаимно простых с $n$"). Для каждого простого числа $p$ функция $\varphi_{2}(p) = p-2$, кроме простого числа $2$, для которого $\varphi_{}(2)=1$.

$\varphi_2(2)=0$.

Спасибо! Поправил.

[Slav-27]

Не поправили.

[Батороев]

Slav-27 в сообщении #1510660 писал(а):

Не поправили.

Вы имели в виду текст?

Батороев в сообщении #1510651 писал(а):

кроме простого числа $2$, для которого $\varphi_{2}(2)=1$.

[Slav-27]

Я имел в виду, что $\varphi_2(2)=0$.

[Батороев]

Slav-27 в сообщении #1510663 писал(а):

Я имел в виду, что $\varphi_2(2)=0$.

Но ведь специально заранее оговаривается:

Батороев в сообщении #1510651 писал(а):

Для каждого простого числа $p$ функция $\varphi_{2}(p) = p-2$, кроме простого числа $2$, для которого $\varphi_{2}(2)=1$.

-- 23 мар 2021 23:21 --

(Оффтоп)

И все равно, спасибо Вам, т.к. время правки истекало, а у меня индекса 2 в $\varphi_{2}(2)$ не хватало. Я успел дописать.

-- 23 мар 2021 23:36 --

Вычесть из кольца простого $2$ два вычета равносильно "упразднению" всего натурального ряда (или его части на каком-то интервале, если стоит такая задача - я не пробовал).
В данном рассмотрении за счет удаления одного вычета избавились от четных чисел.

[Slav-27]

А, то есть $\varphi_2(2)=1$ по определению. Просто в предыдущем предложении определение другое (количество таких-то пар натуральных чисел), это меня запутало.

[Батороев]

Slav-27 Я виноват, что вовремя не заметил отсутствия индекса. А то бы Вы сразу обратили внимание.

[vorvalm]

Батороев в сообщении #1510651 писал(а):

$$L_{2}(p_{r}\#) = \dfrac{\varphi_{2}(p_{s}\#)\cdot p_{r}\#}{p_s\#} \egno (1)$$

Эта формула соответствует формуле ?

$$L_{2}(p^2_{s}) = \dfrac{\varphi_{2}(p_{s}\#)\cdot {p^2_{s}}}{p_s\#} $$

[Dmitriy40]

vorvalm
Если именно от $p_s^2$, то да.

Но всегда $L_2(p_r\#) > L_2(p_s^2)$ потому что всё же $p_r\# > p_s^2$ (нет и не может быть праймориалов, в точности равных квадрату простого), но для больших чисел относительная разница исчезающе мала.
Ну и $L_2(p_s^2)$ будет неудобна в дальнейшем доказательстве, потому что $p_r\#$ там влезает под $\varphi_2()$, а вот тут уже есть большая разница между $\varphi_2(p_s^2)$ и $\varphi_2(p_r\#)$.