Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.

[Dmitriy40]

Батороев
Так предел бесконечный или конечный?

Вопрос простой, никаких "достоверных" или "недостоверных" чисел не требует, даже простых близнецов и их плотности не требует. Всего лишь растёт ли при увеличении праймориала количество взаимно простых с ним чисел или нет. И если растёт, то быстрее ли чем корень из праймориала (потому что для больших $p_r$ выполняется $p_s\approx\sqrt{p_r\#}$). Никаких близнецов в вопросе вообще нет!

[Батороев]

Количество взаимно простых чисел с каждым новым примориалом увеличивается в $(p_{r+1}-2)$ раз и с ростом примориалов ничем не ограничено.
Рост этого количества идет быстрее, чем простых $p_s$. Например, если для $7\#$ отношение $ \dfrac {\varphi_{2}(p_{r}\#)}{p_s} $ равно $1,15$, то для $11\#$ оно уже $2,87. $
Для простых рост отношения больше.

[Dmitriy40]

Батороев
А теперь внимание вопрос: что в этом вашем вычислении $\dfrac{\varphi_2(p_r\#)}{p_s}$ изменитcя если с некоторого $p_r$ функция $\pi_2(p_r\#)$ вдруг перестанет расти при увеличении $p_r$? Что, вот конкретно? Какая буковка или константа или знак операции или что ещё?

[Батороев]

Dmitriy40
Это отношение по Вашему предположению должно стать меньше единицы (т.е. ни одной новой пары не будет)... но это невозможно,
т.к. отношение, начиная с $p_{r}\#=7\#$

$$\dfrac{\varphi_{2}(p_r\#)}{p_s}>\dfrac{\varphi_{2}(p_r\#)}{\sqrt {p_{r\#}}}>1$$

[Dmitriy40]

Батороев
Я не спрашивал возможно или нет, я спрашивал что изменится в вычислении $\varphi_2(p_r\#)/p_s$ если $\pi_2$ вдруг перестанет расти. Ответьте пожалуйста.
Вы снова доказываете некое утверждение через постулирование его же. Так не делается.

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1509990 писал(а):

Я не спрашивал возможно или нет, я спрашивал что изменится в вычислении $\varphi_2(p_r\#)/p_s$ если $\pi_2$ вдруг перестанет расти. Ответьте пожалуйста.
Вы снова доказываете некое утверждение через постулирование его же. Так не делается.

Ладно, я понял, что Вы предлагаете - рассмотреть некую "абстракцию", в которой в примориале все взаимно простые неожиданно оказались кратными простым до $p_s$.
В этом случае при переходе к следующему примориалу рассматриваемое отношение $\dfrac{\varphi_2(p_{r+1}\#)}{p_{s_{1}}}$ увеличится ($p_{s_{1}}$ - наибольшее простое, не превосходящее $\sqrt {p_{r+1}\#}$).

[Dmitriy40]

Батороев в сообщении #1510015 писал(а):

Ладно, я понял, что Вы предлагаете - рассмотреть некую "абстракцию", в которой в примориале все взаимно простые неожиданно оказались кратными простым до $p_s$.

Нет, Вы снова не поняли что я предлагаю.
Я предлагаю Вам рассказать нам как изменится вычисление этой дроби если вдруг в каком-то праймориале не появится новых (которых не было в меньших праймориалах) простых близнецов. Всё, точка. Не взаимно простых с праймориалом, не простых, не кратных простым, не кратных чему-то там, а именно простых близнецов и только их. Вот не появится их новых и всё тут. Изменится ли вычисление этой дроби от данного факта и если да, то в каком именно месте?
Т.е. в каком именно месте вычисление этой дроби зависит от факта наличия или отсутствия в праймориале новых (которых не было в меньших праймориалах) простых близнецов и только их?

[Батороев]

Dmitriy40
Как я могу объъяснить что-то подобное без привлечения свойств чисел? Не представляю. На ум приходит только ответная абстрация: "Сначала было пусто...".

-- 19 мар 2021 20:54 --

Т.е. в примориале $2\#$ не было пар простых-близнецов... и вдруг они появились в последующих.

[Dmitriy40]

Батороев
Какое именно свойство чисел и каких именно чисел в формуле $\dfrac{\prod\limits_{i\le p_r}(i-2)}{p_s}$ зависит от наличия или отсутствия простых близнецов? Не простых чисел, а именно и только простых близнецов? А если бы простых близнецов не было бы вообще ни одного в природе эта формула как-то изменилась бы? Или изменились бы её значения для тех же величин $p_r$ и $p_s$?

-- 19.03.2021, 17:30 --

Я выше показал что существуют такие пары чисел с разницей в $2$, которые являются взаимно простыми с праймориалом и учитываются в $\varphi_2()$, но оба являются составными и соответственно не учитываются в $\pi_2()$ (и даже в $\pi()$). Например пара $899,901$. И таких пар с ростом $p_r$ очень много.

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1509821 писал(а):

Пример когда пара взаимно простых с $p\#$ чисел не является парой простых близнецов обнаруживается уже в $7\#$: $167,169$. А в следующем $11\#$ их уже 68 штук, меньшие из которых: $167,169;\; 221,223;\; 359,361;\; 377,379;\; 389,391$. Есть даже пары с обоими составными числами: $527,529;\; 899,901;\; 1079,1081$ и ещё 9 штук. А начиная с $17\#$ количество таких пар, взаимно простых с $p\#$ при том что оба числа составные, превышает количество вообще всех простых близнецов в праймориале!

Поясню более подробно "механизм" доказательства.
Составлена формула приблизительного расчета пар простых-близнецов в примориале $p_{r}\#$, превышающих простое число $p_s$.

Батороев в сообщении #1509210 писал(а):

$$L_{p_{r}\#} = \dfrac{\varphi_{II p_s\#}\cdot p_r\#}{p_s\#} \egno (4)$$

Если развернуть выражение (4), получим (в новых обозначениях):

$L(p_{r}\#)=\left(p_{r}\#-\frac {1}{2}-\frac{2\cdot \varphi_{2}(2\#)}{3\#}-\frac {2\cdot \varphi_{2}(3\#)}{5\#}…-\frac{2\cdot \varphi_{2}(p_{r-1}\#)}{p_{r}\#}\right)-\left(\frac{2\cdot \varphi_{2}(p_{r}\#)}{p_{r+1}\#}+…+\frac{2\cdot \varphi_{2}(p_{s-1}\#)}{p_{s}\#}\right) \egno(15)$

Первая скобка в выражении (15) равна количеству пар, взаимно простых данному примориалу, т.е.$\varphi_{2}(p_{r}\#)$ (достоверное число).
Вторая скобка равна количеству пар, в которых одно из двух чисел кратно простым от $p_{r+1}$ до $p_{s}$ (на которые Вы по-видимому указываете в своем сообщении). Эту часть я назвал "недостоверным" числом.

Функция $L(p_{r}\#)$ составлена в расчете на равномерность распределения взаимно простых чисел в примориалах. Но это распределение на самом деле неравномерное, поэтому указанная функция имеет погрешность.

Далее "для чистоты эксперимента" я из числа взаимно простых убрал число, заведомо превышающее "недостоверное" число, а именно:

$\varphi_{2}(p_{r}\#) - \frac {p_{s}-1}{p_{s}}\cdot \varphi_{2}(p_{r}\#) = \frac {\varphi_{2}(p_{r}\#)}{p_{s}} \egno (16)$

Число в (16) заведомо меньше дробного коэффициента в (6).

Батороев в сообщении #1509210 писал(а):

$$L_{p_{r}\#} = \varphi_{II p_r\#} \cdot \dfrac{\varphi_{II p_s\#}\cdot p_r\#}{\varphi_{II p_{s\#}} \cdot p_r\#} \egno (6)$$

Вычитание, произведенное в (16), позволило составить неравенство (12) доказательства:

Батороев в сообщении #1509699 писал(а):

$$ B_{p_r\#} > \dfrac {1}{p_s} \cdot \varphi_{II p_r\#}>1 \egno (12)$$

Таким образом, функция в (16) с точки зрения расчета количества пар простых-близнецов не несет никакой особой смысловой нагрузки (как и пять рублей в оффтопе).

(Оффтоп)

Житейская параллель сказанному:
У меня есть сто монет по рублю, среди которых могут быть и фальшивые, но не более 30-ти.
Зная, что мой капитал наверняка больше пяти рублей, я пошел в магазин и отдал эту кучу за коробок спичек... стоимостью один рубль.

[Dmitriy40]

Батороев в сообщении #1510086 писал(а):

Если развернуть выражение (4), получим (в новых обозначениях):

$L(p_{r}\#)=\left(p_{r}\#-\frac {1}{2}-\frac{2\cdot \varphi_{2}(2\#)}{3\#}-\frac {2\cdot \varphi_{2}(3\#)}{5\#}…-\frac{2\cdot \varphi_{2}(p_{r-1}\#)}{p_{r}\#}\right)-\left(\frac{2\cdot \varphi_{2}(p_{r}\#)}{p_{r+1}\#}+…+\frac{2\cdot \varphi_{2}(p_{s-1}\#)}{p_{s}\#}\right) \egno(15)$

Первая скобка в выражении (15) равна количеству пар, взаимно простых данному примориалу, т.е.$\varphi_{2}(p_{r}\#)$ (достоверное число).
Вторая скобка равна количеству пар, в которых одно из двух чисел кратно простым от $p_{r+1}$ до $p_{s}$ (на которые Вы по-видимому указываете в своем сообщении). Эту часть я назвал "недостоверным" числом.

Вы уверены что это выражение не надо подправить как уже было сделано для аналогичного?

Батороев в сообщении #1509290 писал(а):

Я дико извиняюсь!
Правильно выражение (14) должно выглядеть так:

$$K_{p_{r\#}}=p_r\#\cdot (1-\frac {1}{2}-\frac{\varphi_{2\#}}{3\#}-\frac {\varphi_{3\#}}{5\#}…-\frac{\varphi_{p_{(r-1)}\#}}{p_r\#}…-\frac{\varphi_{p_{(s-1)}\#}}{p_{s}\#}) \egno (14)$$

Даже если поверить что вторая скобка действительно даёт заявленное значение, то где доказательство что она не может быть равна (или даже превышать) первой? Я слепой и не вижу очевидного?
Честно говоря так и не вижу почему начиная с некоторого большого $p_r$ все пары взаимно простых с $p_r\#$ не могут делиться (хотя бы одно число из пары) на одно из чисел $(p_r\ldots \sqrt{p_r\#})$ (или $p_{r+1}\ldots p_s$), т.е. быть составным. И ваше "заведомо превышающее число" окажется слишком мало.

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1510096 писал(а):

Вы уверены что это выражение не надо подправить как уже было сделано для аналогичного?

Еще раз дико извиняюсь!!!
Функция (15) должна выглядеть так:

$L(p_{r}\#)=\left(p_{r}\#-\frac {1}{2}\cdot p_{r}\#-\frac{2\cdot \varphi_{2}(2\#)}{3\#}\cdot p_{r}\#-\frac {2\cdot \varphi_{2}(3\#)}{5\#}\cdot p_{r}\#…-\frac{2\cdot \varphi_{2}(p_{r-1}\#)}{p_{r}\#}\cdot p_{r}\#\right)-\left(\frac{2\cdot \varphi_{2}(p_{r}\#)}{p_{r+1}\#}\cdot p_{r}\#+…+\frac{2\cdot \varphi_{2}(p_{s-1}\#)}{p_{s}\#}\cdot p_{r}\# \right) \egno(15)$

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1510096 писал(а):

Даже если поверить что вторая скобка действительно даёт заявленное значение, то где доказательство что она не может быть равна (или даже превышать) первой?

Рассмотрим функцию (6) (во вчерашнем сообщении привел не ту ссылку, за что тоже извиняюсь):

Батороев в сообщении #1509883 писал(а):

$$L_{2}(p_r\#)= \varphi_{2}(p_r\#) \cdot \dfrac{\varphi_{2}(p_s\#)\cdot p_r\#}{\varphi_{2}( p_r\#) \cdot p_s\#}\egno (6) $$

Дробный коэффициент в (6) показывает в какой пропорции уменьшится количество взаимно простых в результате вычитания из него количества, кратных простым от $p_{r+1}$ до $p_{s}#$.
Этот коэффициент меньше $1$, но больше принятого мной в (16):

$$1>\dfrac{\varphi_{2}(p_s\#)\cdot p_r\#}{\varphi_{2}( p_r\#) \cdot p_s\#}>\dfrac {1}{p_{s}}\egno (17) $$

Рассмотрим правую часть неравенства (17):

$$\dfrac {p_{r}\#}{\varphi_{2}(p_{r}\#)}\cdot \dfrac{\varphi_{2}(p_s\#)}{ p_s\#}>\dfrac {1}{p_{s}}\egno (18) $$

Преобразуем (18):

$$\dfrac {p_{r}\#}{\varphi_{2}(p_{r}\#)}\cdot \dfrac{\varphi_{2}(p_s\#)\cdot p_{s}}{ p_s\#}>1\egno (19) $$

Распишем полученную правую часть неравенства (19):

$$\dfrac {p_{r}\#}{\varphi_{2}(p_{r}\#)}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac {1}{3}\cdot \dfrac {3}{5} \cdot\dfrac {5}{7}\cdot \dfrac {9}{11}\cdot \dfrac {11}{13}\cdot \dfrac {15}{17}\cdot ...\cdot \dfrac {\varphi_{2}(p_{s-1})}{p_{s-1}}\cdot \dfrac {\varphi_{2}(p_{s})}{p_{s}}\cdot \dfrac {p_{s}}{1}>1 $$

Сдвинем числители дробей, начиная с последнего, на одну позицию влево:

$$\dfrac {p_{r}\#}{\varphi_{2}(p_{r}\#)}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac {3}{3}\cdot \dfrac {5}{5} \cdot\dfrac {9}{7}\cdot \dfrac {11}{11}\cdot\dfrac {15}{13}\cdot \dfrac {17}{17}\cdot ...\cdot \dfrac {\varphi_{2}(p_{s})}{p_{s-1}}\cdot \dfrac {p_{s}}{p_{s}}>1\egno (20) $$

Все дроби либо больше, либо равны $1$, поэтому неравенство (20), а соответственно, и неравенство (17) с учетом замечания* верные.

* До $5\#$ неравенство (17) нарушается. Поэтому "зона действия" доказательства и определена - "для примориалов с $7\#$".

[Dmitriy40]

Батороев в сообщении #1510149 писал(а):

$$\dfrac {p_{r}\#}{\varphi_{2}(p_{r}\#)}\cdot \dfrac{\varphi_{2}(p_s\#)\cdot p_{s}}{ p_s\#}>1\egno (19) $$

Распишем полученную правую часть неравенства (19):

$$\dfrac {p_{r}\#}{\varphi_{2}(p_{r}\#)}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac {1}{3}\cdot \dfrac {3}{5} \cdot\dfrac {5}{7}\cdot \dfrac {9}{11}\cdot \dfrac {11}{13}\cdot \dfrac {15}{17}\cdot ...\cdot \dfrac {\varphi_{2}(p_{s-1})}{p_{s-1}}\cdot \dfrac {\varphi_{2}(p_{s})}{p_{s}}\cdot \dfrac {p_{s}}{1}>1 $$

Справа ошибка, должно быть так:

$$\dfrac {p_{r}\#}{\varphi_{2}(p_{r}\#)}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac {1}{3}\cdot \dfrac {3}{5} \cdot\dfrac {5}{7}\cdot \dfrac {9}{11}\cdot \dfrac {11}{13}\cdot \dfrac {15}{17}\cdot ...\cdot \dfrac {p_{s-1}-2}{p_{s-1}}\cdot \dfrac {p_{s}-2}{p_{s}}\cdot \dfrac {p_{s}}{1}>1 $$

-- 20.03.2021, 13:55 --

Я не поленился и посчитал ту правую скобку, которая вычитается из $\varphi_2$ в (15), ну и сравнил её с этим дробным коэффициентом в (17), который вроде ровно то же самое.

Первая странность что скобка (точнее её отношение к $p_r\#$) почти не меняется с ростом $p_r$, уменьшается всего лишь с $0.034$ для $13\#$ до $0.030$ для $29\#$ и до $0.025$ для $43\#$. Ну, может так хитро распределены пары взаимно простых в праймориале, не знаю.

Второе наблюдение, эта скобка довольно неплохо вычисляет количество не простых пар в праймориале начиная с $13\#$, до известных мне точных значений для $29\#$ относительная ошибка не превышает $1.6\%$.

Третье наблюдение, что дробь в (17) завышает величину по сравнению со скобкой в (15), например для указанных выше праймориалов дробь равна $0.307$ для $13\#$, $0.098$ для $29\#$, $0.045$ для $43\#$. Вроде бы они должны быть близки, однако ...

[Батороев]

Dmitriy40
Спасибо за поправку!

(Оффтоп)

До 14.03 очень сильно "раскочегарил" свои мозги и сейчас они, остывая, работают "не очень".

Часть сообщения убрал на переработку.