Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.

[Батороев]

Dmitriy40
Чтобы закончить критику неравенств (1) и (2), опишу хронологию событий:
5.03 я написал сообщение несколько провокационного характера. То, что неравенства (1) и (2) не всегда выполняются я догадывался (т.к. до 510510 посчитать сумел), но надеялся, что кого-то сообщение заинтересует и мы продолжим рассмотрение вместе.

Затем меня осенило, как можно обойти погрешности. И я 14.03 записал новое доказательство, в котором попытался обойти эти "камни". Но сегодня ночью обнаружил неточности в собственном доказательстве, отчего и доказательство от 14.03 ОТЗЫВАЕТСЯ.

[Dmitriy40]

ОК.
Извините что придирался оказывается к уже известно Вам что не совсем правильным формулам.

[Батороев]

Батороев в сообщении #1509210 писал(а):

Рассмотрим средние части неравенств, полученных в предыдущем сообщении:

$$K_{p_{r}\#} =\dfrac{\varphi_{p_s\#}\cdot p_r\#}{p_s\#}\egno (3)$$

$$L_{p_{r}\#} = \dfrac{\varphi_{II p_s\#}\cdot p_r\#}{p_s\#} \egno (4)$$

,
где $K_{p_{r}\#}$ - примерное количество простых чисел в примориале $p_{r}\#$, превышающих $p_{r}$, рассчитанных из допущения, что составные числа в примориалах расположены равномерно;
$L_{p_{r}\#}$ - примерное количество пар простых-близнецов в примориале $p_{r}\#$, превышающих $p_{r}$, рассчитанных из допущения, что пары чисел-близнецов, среди которых хотя бы одно число - не простое ("пары составных-близнецов"), в примориалах расположены равномерно.
Указанное выше допущение ведет к погрешности чисел $K_{p_{r}\#}$ и $L_{p_{r}\#}$ относительно чисел $(\pi_{p_{r}\#}-s)$ и $B_{p_{r}\#}$ (обозначения из предыдущего сообщения).
Перепишем выражения (3) и (4):

$$K_{p_{r}\#} =\varphi_{p_{r\#}} \cdot \dfrac{\varphi_{p_s\#}\cdot p_r\#}{\varphi_{p_{r\#}} \cdot p_s\#}\egno (5)$$

$$L_{p_{r}\#} = \varphi_{II p_r\#} \cdot \dfrac{\varphi_{II p_s\#}\cdot p_r\#}{\varphi_{II p_{s\#}} \cdot p_r\#} \egno (6)$$

В выражении (5) первый множитель $\varphi_{p_{r\#}}$ определяет количество чисел, взаимно простых с $p_{r\#}$. Это количество – точное («достоверное»). Второй множитель определяет, в какой пропорции уменьшится $\varphi_{p_{r}\#}$ с учетом составных чисел, кратных $p_{r+1}…p_s$. Число таких составных в связи с неравномерностью их распределения (см. введенное допущение) – не точное («недостоверное число $k_r$ »).
В выражении (6) первый множитель $\varphi_{II p_r\#}$ определяет количество пар натуральных чисел-близнецов, оба из которых взаимно простые c $p_{r\#}$. Это количество – точное («достоверное»). Второй множитель определяет, в какой пропорции уменьшится количество $\varphi_{p_{r}\#}$ с учетом пар составных-близнецов , кратных $p_{r+1}…p_s$. Число таких пар составных-близнецов в связи с их неравномерностью распределения – не точное («недостоверное число $l_r$»).
Приведу примеры:
Для примориала $7\#$ число, квадрат которого не превышает примориал : $p_s=13$.

$$L_{7\#}=48\cdot \dfrac {5760\cdot 210}{48\cdot 30030}=40,2797\egno (7)$$

$$ k_{7\#}=15\cdot \dfrac {1485 \cdot 210}{15 \cdot 30030}= 10,3846 \egno (8)$$

На «недостоверные» числа приходится:
$k_r=\varphi_{7\#}- L_{7\#}=48-40,2797=7,7203 \egno (9)$
$l_r=\varphi_{II 7\#} - K_{p_{r}\#}=15-10,3846=4,6154 \egno (10)$
Из выражений (9) и (10) видно, что для примориала $7\#$ отношения «недостоверных» к «достоверным» соответственно равны: $ \dfrac {7,7203}{48}=0,1608$ и $\dfrac {4,6154}{15}=0,3077$. И эти отношения с ростом примориалов $p_r\#$ будут только уменьшаться (доказательство не сложное и, если потребуется, могу предоставить позже). Т.к. доля «недостоверных» чисел меньше половины «достоверных», то можно записать верные неравенства:

$$ \pi_{p_{r}\#}-s>\dfrac {1}{2} \cdot \varphi_{p_r\#}>1 \egno (11)$$

$$ B_{p_r\#} > \dfrac {1}{2} \cdot \varphi_{II p_r\#}>1 \egno (12)$$

(т.к. мы удалили из выражений (5), (6) половину «достоверных», что превышает количество «недостоверных»).
Неравенство (11) доказывает бесконечность простых чисел, превышающих $7\#$ (сколько бы ни было до $p_s$ простых чисел, в примориале $p_r\#$ всегда найдется еще одно простое число, превышающее $p_s$).
Неравенство (12) доказывает бесконечность пар простых-близнецов в примориалах, превышающих $7\#$ (сколько бы ни было пар простых-близнецов до $p_s$, в примориале $p_r\#$ всегда найдется еще одна пара простых-близнецов, превышающая $p_s$).

В доказательство от 14.03.21 в выражение (5) и неравенства (11), (12) вносятся изменения. Новая версия выглядит так:

$$K_{7\#}=48\cdot \dfrac {5760\cdot 210}{48\cdot 30030}=40,2797\egno (7)$$

$$ \pi_{p_{r}\#}-s>\dfrac {1}{p_s} \cdot \varphi_{p_r\#}>1 \egno (11)$$

$$ B_{p_r\#} > \dfrac {1}{p_s} \cdot \varphi_{II p_r\#}>1 \egno (12)$$

(т.к. мы удалили из выражений (5), (6) часть «достоверных», которая превышает количество «недостоверных»).
Далее по тексту.

С учетом вносимых поправок ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СНОВА ОБЪЯВЛЯЕТСЯ ДЕЙСТВУЮЩИМ.

p.s. Изменение в (11), (12) связано с тем, что дробные коэффициенты в (5), (6) могут приобретать значения меньше коэффициента $\frac {1}{2}$, используемого в старой версии неравенств (11), (12), что приведет к нарушению самих этих неравенств.
Изменение в (7) - чисто техническое (исправление очепятки).

[Dmitriy40]

(Оффтоп)

А где доказательство что $\varphi_{II}(p\#)=\prod_{x \le p}(x-2)$ ($x,p$ простые)? Иначе, без точного метода вычисления $\varphi_{II}(p\#)$, получается масло маслянное, бесконечность близнецов "доказывается" через функцию их же количества.

Я проверил выполнение равенства $\varphi_{II}(p\#)=\pi_2(p\#)-\pi_2(p)$, т.е. что эта функция точно равна количеству простых близнецов от $p$ до $p\#$, они все будут очевидно взаимно просты с $p\#$:
$p=2, \varphi_{II}=1, \pi_2(p\#)-\pi_2(p)=0-0=0$ - ну, спишем на начальную погрешность
$p=3, \varphi_{II}=1, \pi_2(p\#)-\pi_2(p)=1-0=1$
$p=5, \varphi_{II}=3, \pi_2(p\#)-\pi_2(p)=4-1=3$
$p=7, \varphi_{II}=15, \pi_2(p\#)-\pi_2(p)=15-2=13$ - ошибка
$p=11, \varphi_{II}=135, \pi_2(p\#)-\pi_2(p)=69-2=67$ - ошибка
$p=13, \varphi_{II}=1485, \pi_2(p\#)-\pi_2(p)=468-3=465$ - ошибка
$p=17, \varphi_{II}=22275, \pi_2(p\#)-\pi_2(p)=4636-3=4633$ - ошибка
$p=19, \varphi_{II}=378675, \pi_2(p\#)-\pi_2(p)=57453-4=57449$ - ошибка
$p=23, \varphi_{II}=7952175, \pi_2(p\#)-\pi_2(p)=896062-4=896058$ - ошибка
$p=29, \varphi_{II}=214708725, \pi_2(p\#)-\pi_2(p)=18463713-4=18463709$ - ошибка
$p=31, \varphi_{II}=6226553025, \pi_2(p\#)-\pi_2(p)=425177757-5=425177752$ - ошибка
Т.е. совпадают лишь первые пара значений и всё.

Так как же должна вычисляться эта загадочная $\varphi_{II p\#}$ если формула $\varphi_{II p\#}=\prod_{x \le p}(x-2)$ неверна? Приведите её точные значения хотя бы для первых праймориалов. То что Вы писали тут post1509339.html#p1509339 ошибочно, я ровно так выше и считал и получил расхождение в данных уже для $7\#$, но даже если её списать на всякие тонкости, то для следующих праймориалов расхождение нарастает катастрофически.

UPD. Вопрос решился сам собой, написанное уже не актуально, убрал без исправлений в офтоп.

[Dmitriy40]

Ага, $\varphi_{II}$ это вовсе не про простые близнецы, как обещано в её определении

Батороев в сообщении #1507949 писал(а):

$\varphi_{II}$ - мультипликативная функция, значение которой равно количеству пар простых-близнецов, не превышающих $n$ и взаимно простых с $n$.

А всего лишь количество пар чисел вида $x,x+2$, взаимно простых с $p\#$. Тогда их количество правильное (ну с поправкой на единицу), да. Но ведь простыми они быть вовсе не обязаны, тем более простыми близнецами. И если где-то простые близнецы вдруг закончатся, вот прямо совсем закончатся, то $\varphi_{II}$ будет спокойно продолжать расти. И неравенство (12) нарушится.
Так что доказательство снова разваливается. Собственно его и не было.

И возникает закономерный вопрос как вообще $\varphi_{II}$ связана с $\pi_2()$?

-- 18.03.2021, 00:08 --

Пример когда пара взаимно простых с $p\#$ чисел не является парой простых близнецов обнаруживается уже в $7\#$: $167,169$. А в следующем $11\#$ их уже 68 штук, меньшие из которых: $167,169;\; 221,223;\; 359,361;\; 377,379;\; 389,391$. Есть даже пары с обоими составными числами: $527,529;\; 899,901;\; 1079,1081$ и ещё 9 штук. А начиная с $17\#$ количество таких пар, взаимно простых с $p\#$ при том что оба числа составные, превышает количество вообще всех простых близнецов в праймориале!

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1509821 писал(а):

И возникает закономерный вопрос как вообще $\varphi_{II}$ связана с $\pi_2()$?

Для простых-близнецов рассматриваются выражения: $a_{i}^2-1=(a_{i}-1)(a_{i}+1)$, где $a_{i}$ - последовательные натуральные числа. Числа $a_{i}-1$ и $a_{i}+1$ - натуральные-близнецы.
Если по основанию некторого простого числа $p_{j}$ получено сравнение $(a_{i}^2-1)\equiv 0\pmod p_{j}$, то это означает, что одно из натуральных-близнецов делится на $p_{j}$ (составное с делителем $p_{j}$) и такая пара натуральных-близнецов "выбраковывается". Т.к. в кольце квадратов по основанию любого простого числа (кроме простого $2$) два вычета $1\pmod {p_{j}}$, то в каждом кольце квадратов (чисел в нем $p_{j}$) каждому простому (кроме $2$) соответствует $(p_{j}-2)$ взаимно-простых чисел.

Dmitriy40 в сообщении #1509821 писал(а):

И если где-то простые близнецы вдруг закончатся, вот прямо совсем закончатся, то $\varphi_{II}$ будет спокойно продолжать расти. И неравенство (12) нарушится.

Как Вы наверное уже поняли из вышесказанного, здесь не рассматривается зависимость числа $\pi_2$ от предыдущего количества простых-близнецов, а увязано с ростом $p_r$ (соответственно, с ростом $p_s$, в пределах которого существующие пары простых-близнецов при рассмотрении не учитываются). Т.е. ничем сверху не ограничено.

p.s. Некоторые подробности можно увидеть на предыдущих страницах данной темы.

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1509821 писал(а):

И возникает закономерный вопрос как вообще $\varphi_{II}$ связана с $\pi_2()$?

Для простых-близнецов рассматриваются выражения: $a_{i}^2-1=(a_{i}-1)(a_{i}+1)$, где $a_{i}$ - последовательные натуральные числа. Числа $a_{i}-1$ и $a_{i}+1$ - натуральные-близнецы.
Если по основанию некторого простого числа $p_{j}$ получено сравнение $(a_{i}^2-1)\equiv 0\pmod p_{j}$, то это означает, что одно из натуральных-близнецов делится на $p_{j}$ (составное с делителем $p_{j}$) и такая пара натуральных-близнецов "выбраковывается". Т.к. в кольце квадратов по основанию любого простого числа (кроме простого $2$) два вычета $1\pmod {p_{j}}$, то в каждом кольце квадратов (чисел в нем $p_{j}$) каждому простому (кроме $2$) соответствует $(p_{j}-2)$ взаимно-простых чисел.

Dmitriy40 в сообщении #1509821 писал(а):

И если где-то простые близнецы вдруг закончатся, вот прямо совсем закончатся, то $\varphi_{II}$ будет спокойно продолжать расти. И неравенство (12) нарушится.

Как Вы наверное уже поняли из вышесказанного, здесь не рассматривается зависимость числа $\pi_2$ от предыдущего количества простых-близнецов, а увязано с ростом $p_r$ (соответственно, с ростом $p_s$, в пределах которого существующие пары простых-близнецов при рассмотрении не учитываются). Т.е. ничем сверху не ограничено.

p.s. Некоторые подробности можно увидеть на предыдущих страницах данной темы.

[Dmitriy40]

Батороев в сообщении #1509838 писал(а):

здесь не рассматривается зависимость числа $\pi_2$ от предыдущего количества простых-близнецов, а увязано с ростом $p_r$

Нет не увязано. Вообще никак.

Если начиная с какого-то $p_r$ число $\pi_2(p_r\#)$ вдруг перестанет расти (ну вот кончатся там все простые близнецы), то на $\varphi_{II}$ это никак не скажется, она продолжит расти. Потому и не увязано. Без всяких колец квадратов.
Что оно численно выполняется в начале числового ряда — возможно артефакт. Мне даже думается можно найти такое $p_r$, что $\varphi_{II}(p_r\#)/p_s > \pi_2(p_r\#)$. Но только оно слишком большое для прямой проверки ... Я подумаю можно ли оценить необходимую величину $p_r$ ...
UPD. Подумал, проверил до $p_r\#=300\#$, нет, порядок роста $\varphi_{II}(p_r\#)$ в общем совпадает с порядком роста $\pi_2(p_r\#)$, а значит деля первую на $p_s \approx \sqrt{p_r\#}$ получим гарантированно меньше.
Вот только это может быть артефактом и $\pi_2$ может когда-то и перестать расти, а $\varphi_{II}$ не может.
UPD2. Т.е. Вы доказали бесконечный рост $\varphi_{II}(p\#)$, т.е. числа взаимно простых с прайморилом чисел. ОК. Хотя это прямо следует из её определения.
Также, возможно, получили (или можете получить) какие-то оценки для любой бесконечно растущей функции (типа $\pi(p\#)$ или $\pi_{246}(p\#)$). Тоже ОК. Но доказательством бесконечного роста любой заданной функции, и в частности $\pi_2$, это никак не является.

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1509840 писал(а):

Если начиная с какого-то $p_r$ число $\pi_2(p_r\#)$ вдруг перестанет расти (ну вот кончатся там все простые близнецы), то на $\varphi_{II}$ это никак не скажется, она продолжит расти. Потому и не увязано. Без всяких колец квадратов.

У меня рассчитывается $\pi_{IIr\#}$ в примориале $p_{r}\#$. В данном расчете пары простых-близнецов до $p_{s}$ не учитываютcя,т.к. кратные им "выбраковываются".

Итог доказательства выглядит грубо следующим образом: "Если простые-близнецы до $p_s$ закончились, но в примориале имеется, минимум еще одна пара простых-близнецов, превышающая $p_{s}$, то предположение о "законченности" неверно".

[Dmitriy40]

Батороев в сообщении #1509843 писал(а):

Итог доказательства выглядит грубо следующим образом: "Если простые-близнецы до $p_s$ закончились, но в примориале имеется, минимум еще одна пара простых-близнецов, превышающая $p_{s}$, то предположение о "законченности" неверно".

Эта легко эквивалентно сокращается до банальщины "если для некоторого $p_s$ простые близнецы закончились, но найдена ещё одна пара простых близнецов больше $p_s$, то предположение о законченности неверно". Масло маслянное. Вы приведите метод расчёта хотя бы одного простого близнеца больше да хотя бы $p_s$ для любого произвольного прайморила $p_r\#$, тогда поговорим о доказательствах.

-- 18.03.2021, 09:18 --

Ответьте на простой вопрос: если окажется что для некоторого простого $p$ выполняется $\pi_2(p\#)=\pi_2((p!)\#)$, то будет ли выполнено ваше условие $\varphi_{II}((p!)\#)/\sqrt{(p!)\#}<\pi_2((p!)\#)$? Учитывайте, там праймориал от факториала!

-- 18.03.2021, 09:21 --

И пишите уже формулы по человечески: $\varphi_2(p\#)$ вместо $\varphi_{II p\#}$.

[Батороев]

(Оффтоп)

Кстати то, как устроено рассмотрение по близнецам, позволяет говорить и о бесконечности пар простых с любой разностью (т.к. число вычетов в кольце квадратов по основанию простых чисел - любых коме нуля по два).

Пример:
В примориале $7\#$:
$p_r=7$;
$p_s=13<\sqrt {7\#}$;
$\varphi_{2}( 7\#)=1\cdot 1\cdot 3\cdot 5 = 15$ ;
$\varphi_{2}( 13\#)= \varphi_{2}(7\#)\cdot 9\cdot 11 = 1485$

Расчетное число равно:

$\pi_{2}( 7\#)= \dfrac {\varphi_{2} (13\#)\cdot 7\#}{13\#}= 10,38 \egno (1)$

Как видно, пары простых до $p_s=13$ в расчет не принимаются, т.к. все простые до этого числа, в т.ч. и простые-близнецы, участвуют в "выбраковывании".
Как отмечалось ранее, число этих новых пар простых-близнецов, расчитанное по формуле (1), имеет погрешность.

Для достоверности берем только его часть (при этом вычтено больше, чем число, которое дают "недостоверные"):

$\dfrac {1}{13}\cdot 15=1,15>1$

Dmitriy40 в сообщении #1509845 писал(а):

Ответьте на простой вопрос: если окажется что для некоторого простого $p$ выполняется $\pi_2(p\#)=\pi_2((p!)\#)$, то будет ли выполнено ваше условие $\varphi_{II}((p!)\#)/\sqrt{(p!)\#}<\pi_2((p!)\#)$? Учитывайте, там праймориал от факториала!

На этот вопрос, я Вам ответить не смогу, т.к. функция $\varphi_{II N}$ мультипликативная, то надо рассматривать все степени вхождения простых, не превышающих $\sqrt {(p!)\#}$, в число $(p!)\#$.
Но с другой стороны, какое бы ни было назначено огромное число, всегда можно рассмотреть примориал, превышающий его.

Dmitriy40 в сообщении #1509845 писал(а):

И пишите уже формулы по человечески: $\varphi_2(p\#)$ вместо $\varphi_{II p\#}$.

Сейчас придет кто-нибудь и спросит, почему в (1) я не сократил числитель и знаменатель на $13\#$.

[Dmitriy40]

Батороев в сообщении #1509865 писал(а):

На этот вопрос, я Вам ответить не смогу, т.к. функция $\varphi_{II N}$ мультипликативная, то надо рассматривать все степени вхождения простых, не превышающих $\sqrt {(p!)\#}$, в число $(p!)\#$.

Хорошо, ответьте на более простой, без корня: если окажется что для некоторого простого $p$ выполняется $\pi_2(p\#)=\pi_2((p!)\#)$, то будет ли выполнено неравенство $\varphi_{II}((p!)\#)<\pi_2((p!)\#)=\pi_2(p\#)$? Учитывайте, там праймориал от факториала!
Если прайморила от факториала мало, могу ещё и в степень гугол возвести простое перед взятием факториала под праймориалом, это ничего не изменит.

Вопрос если что не в константе или корне, а в поведении $\varphi_2(p\#)$ при увеличении $p$. Я утверждаю что она будет расти, даже если $\pi_2(p\#)$ расти вдруг перестанет. Ваш вариант ответа?

(Подсказка)

Довольно очевидно что $(p!)\# \gg p\#$, а значит $\varphi_2((p!)\#) \gg \pi_2(p\#)$. Тут даже доказывать нечего, всё доказательство укладывается в пару преобразований ...
С корнем в знаменателе лишь чуть сложнее, надо ещё пару преобразований.
Т.е. примерно пяти строчек формул точно хватит опровергнуть ваше "доказательство" о простых близнецах.

-- 18.03.2021, 13:08 --

Батороев в сообщении #1509865 писал(а):

Dmitriy40 в сообщении #1509845 писал(а):

И пишите уже формулы по человечески: $\varphi_2(p\#)$ вместо $\varphi_{II p\#}$.

Сейчас придет кто-нибудь и спросит, почему в (1) я не сократил числитель и знаменатель на $13\#$.

Их посылайте лесом в вики, где $\varphi(x)$ пишется со скобочками и никто их не сокращает. И 10 лет назад Вы ещё об этом помнили ... А то так и символ $\#$ можно сократить ...

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1509867 писал(а):

$\varphi_{II}((p!)\#)<\pi_2((p!)\#)=\pi_2(p\#)$

Т.к. взаимно простые являются лишь "кандидатами" в простые, то неравенство не верное. Но к чему это?!
Факториалы к моему доказательству никакого отношеня не имеют.
Мое доказательство основано исключительно на рассмотрении примориалов.
Т.к. величина примориалов сверху ничем не ограничена (простые числа бесконечны), то рассматривать бесконечность простых-близнецов правомерно.

Ёлки-палки!!! Обнаружил опечатку и выражении (6). Наверное, отсюда Ваши непонятки? Извините! - зрение в последние годы подсело.

Батороев в сообщении #1509210 писал(а):

$$L_{p_{r}\#} = \varphi_{II p_r\#} \cdot \dfrac{\varphi_{II p_s\#}\cdot p_r\#}{\varphi_{II p_{s\#}} \cdot p_r\#} \egno (6)$$

Правильная запись (в новых обозначениях):

$$L_{2}(p_r\#)= \varphi_{2}(p_r\#) \cdot \dfrac{\varphi_{2}(p_s\#)\cdot p_r\#}{\varphi_{2}( p_r\#) \cdot p_s\#}\egno (6) $$

p.s. Легко доказывается, что коэффициент $\frac {1}{p_s}$ в неравенстве (12) существенно меньше дробного коэффициента в выражении (6) (в новой редакции).

[Dmitriy40]

Батороев
Я повторю в очередной раз: $\varphi_2(p\#)$ никак не связана с $\pi_2(p\#)$ и не может служить для доказательства неограниченного роста последней.
Факториалы тут ни при чём. Можно просто в миллионную степень возводить. Или степень для вас тоже ни при чём? Можно вообще ничего не делать, только переформулировать по другому.

Ещё раз: ваше сравнение $\dfrac{\varphi_2(p\#)}{p_s}<\pi_2(p\#)$ с ростом $p$ обязательно нарушится если вдруг $\pi_2$ окажется ограниченной. Потому постулировав его выполнение вы неявно постулировали и бесконечность простых близнецов и ничего дальше доказывать уже не нужно! А ничего кроме постулата о выполнении данного сравнения у Вас нет, никакого доказательства что оно выполняется всегда с ростом $p$.
Всё, дальнейшие формулы даже смотреть не нужно. Соответственно и мои "непонятки" не из них, а гораздо фундаментальнее.

Контрольный выстрел в голову, совсем детский простой вопрос: ваше отношение $\dfrac{\varphi_2(p\#)}{p_s}$ имеет конечный или бесконечный предел при $p\to\infty$? Т.е. оно растёт неограниченно или ограничено сверху? Или Вы этого не знаете? В независимости от поведения $\pi_2(p\#)$, оно ведь от неё никак не зависит.

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1509888 писал(а):

Контрольный выстрел в голову, совсем детский простой вопрос: ваше отношение $\dfrac{\varphi_2(p\#)}{p_s}$ имеет конечный или бесконечный предел при $p\to\infty$? Т.е. оно растёт неограниченно или ограничено сверху? Или Вы этого не знаете? В независимости от поведения $\pi_2(p\#)$, оно ведь от неё никак не зависит.

Индексы есть не у всех элементов, буду считать $\varphi_2(p_r\#)$

Те, кто когда-либо занимался доказательством бесконечности простых близнецов прекрасно знают, что количество пар простых-близнецов (без пар, находящихся до корня из примориала) с ростом примориалов растет. Да, и Вы проведя анализ по существующим данным в Интернете, можете в этом убедиться. Их фактическая плотность в натуральном ряду уменьшается, но т.к. примориалы растут быстро, то количество пар в них увеличивается.
Другое дело, доказать это оказалось трудно.
Я использовал малую часть от количества пар простых-близнецов, считая что эта доля достоверная и больше $1$ (что достаточно для доказательства бесконечности простых-близнецов).
Эта доля с ростом примориалов тоже растет (но ничего такого страшного в этом нет... чтоб пасть под "выстрелом" )) ).

p.s. Кстати, может кому-нибудь пригодится:

$$\dfrac {\varphi ({p_{s}\#)}}{p_s\#}>\dfrac {\varphi_2({p_{s}\#)}}{p_s\#}>\dfrac {1}{ p_s}>\dfrac {1}{\sqrt {p_r\#}}$$