Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.

[Dmitriy40]

Т.е. практически в пару строк доказали бесконечность простых близнецов?! Мало верится. Или это из-за недоказанного допущения?

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1509279 писал(а):

Т.е. практически в пару строк доказали бесконечность простых близнецов?! Мало верится. Или это из-за недоказанного допущения?

Я эту «пару строк» писал 15 лет...

Указанное допущение «сломало» мне доказательство, которое я привел в сообщении от 5.03.
Если переписать выражение (3), то получим:

$$K_{p_{r\#}}=p_r\#-\frac {1}{2}-\frac{\varphi_2\#}{3#}-\frac {\varphi_3\#}{5#}…-\frac{\varphi_{p_{r-1}#}}{p_r#}…-\frac{\varphi_{p_{s-1}}\#}{p_{s}\#} \egno (14)$$

Выражение (14) показывают, как из примориала $p_r\#$ вычитаются составные числа, кратные последующим простым.
Как видно, все члены до $\frac{\varphi_{I Ip_{r-1}#}}{p_r#}$ - целые. Они определяют число взаимно простых примориалу.
Оставшиеся члены – дробные. Они в выражении (14) определяют число составных чисел, кратным простым от $p_{r+1}$ до $p_s$, их число посчитано из допущения о равномерности их распределения. Но мы знаем, что это не так. Поэтому эту часть я отношу к «недостоверным».
В момент написания сообщения 5.03 я думал, что поскольку я не использую целые части этих дробных членов, то завышаю «недостоверную» часть, тем самым приводя к уменьшению полученного числа простых относительно фактического. Но оказалось, что это не так. Проверив выражение для конкретных небольших примориалов , я обнаружил, что неравенство изредка не выполняется.
Аналогичная картина и с выражением (4).
В сообщении от 14.03, как мне видится, я корректно избавился от «недостоверности» («свел на нет» допущение), что позволило получить строгие (во всех отношениях) неравенства.

p.s. Так как доля «недостоверных» чисел с ростом примориалов уменьшается, то можно предположить, что $(K_{p_{r\#}}+s)$ и $(L_{p_{r\#}}+t)$, где $t$ - число пар простых-близнецов до $p_s$, с ростом r$ будут все больше и больше приближаться к фактическим значениям числа простых и числа пар простых-близнецов в примориалах $p_r\#$.

[Dmitriy40]

Батороев в сообщении #1509284 писал(а):

$$K_{p_{r\#}}=p_r\#-\frac {1}{2}-\frac{\varphi_2\#}{3#}-\frac {\varphi_3\#}{5#}…-\frac{\varphi_{p_{r-1}#}}{p_r#}…-\frac{\varphi_{p_{s-1}}\#}{p_{s}\#} \egno (14)$$

Выражение (14) показывают, как из примориала $p_r\#$ вычитаются составные числа, кратные последующим простым.
Как видно, все члены до $\frac{\varphi_{I Ip_{r-1}#}}{p_r#}$ - целые.

Если под обозначением $\varphi_{x}$ Вы понимаете $\varphi(x)$, а под $\varphi_x\#$ соответственно $(\varphi(x))\#$, то мне не видно: $\varphi_2\#=\varphi(2)\#=1\#=1$ и на $3\#=6$ оно очевидно не делится. Как и $\varphi_3\#=\varphi(3)\#=2\#=2$ не делится на $5\#=30$, и $\varphi_5\#=4\#=6$ не делится на $7\#=210$.
Даже выражение $\varphi_{p_{r-1}}\#=\varphi(p_{r-1})\#=(p_{r-1}-1)\#$ очевидным образом не делится на $p_r\#$ просто потому что в него входит меньше простых чисел и уж точно не входит само $p_r$.
На мой взгляд целое там лишь одно число $p_r\#$. Ну и возможно вся правая часть, тут не уверен. Но уж точно не каждая дробь отдельно.

[Батороев]

Dmitriy40
Я дико извиняюсь!
Правильно выражение (14) должно выглядеть так:

$$K_{p_{r\#}}=p_r\#\cdot (1-\frac {1}{2}-\frac{\varphi_{2\#}}{3\#}-\frac {\varphi_{3\#}}{5\#}…-\frac{\varphi_{p_{(r-1)}\#}}{p_r\#}…-\frac{\varphi_{p_{(s-1)}\#}}{p_{s}\#}) \egno (14)$$

-- 15 мар 2021 13:10 --

Пример:

$$K_{7\#}=210 \cdot (1-\frac {1}{2}-\frac{1}{6}-\frac {2}{30}-\frac{8}{210} - \frac {48}{2310}-\frac {480}{30030}) =40,2797$$

[Dmitriy40]

Батороев в сообщении #1509290 писал(а):

Правильно выражение (14) должно выглядеть так:

$$K_{p_{r\#}}=p_r\#\cdot (\ldots) \egno (14)$$

Хм, в $K_{p_{r\#}}$ праймориал стоит в индексе у $p$, т.е. берётся не праймориал простого $p_r$, а простое с номером $r\#$. Хотя в формуле справа везде праймориал уже у простого, не у индекса, что выглядит логичнее. Тоже очевидно описка? И в примере привели $K_{7\#}$, но $K_{p_{7\#}}=K_{p_{210}}=K_{1291}$.

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1509297 писал(а):

Тоже очевидно описка?

Действительно описка. Хотелось быстрее исправиться... и вот опять.
Должно быть $K_{p_{r}\#}$

[Dmitriy40]

Батороев в сообщении #1509290 писал(а):

$$p_r\#\cdot (1-\frac {1}{2}-\frac{\varphi_{2\#}}{3\#}-\frac {\varphi_{3\#}}{5\#}…-\frac{\varphi_{p_{(r-1)}\#}}{p_r\#})$$

Теперь мне почему-то мнится что вот эта вот часть выражения будет в точности равна $\varphi(p_r\#)$. Во всяком случае для вашего же примера с $K_{7\#}$ эта часть равна $48=\varphi(7\#)$.

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1509305 писал(а):

Теперь мне почему-то мнится что вот эта вот часть выражения будет в точности равна $\varphi(p_r\#)$. Во всяком случае для вашего же примера с $K_{7\#}$ эта часть равна $48=\varphi(7\#)$.

Это та часть, которая и является "достоверной" (а не то, что я написал в первом ответе на Ваш вопрос - там тоже описка).

Батороев в сообщении #1509284 писал(а):

Как видно, все члены до $\frac{\varphi_{I Ip_{r-1}#}}{p_r#}$ - целые. Они определяют число взаимно простых примориалу.

Правильно фраза должна быть такой:
"Как видно, все члены до $\frac{\varphi_{p_{(r-1)}\#}}{p_r\#}$ - целые. Они определяют число взаимно простых примориалу."

-- 15 мар 2021 15:35 --

(Оффтоп)

Dmitriy40
Вы меня извините за большое количество описок, но выполнив до вчерашнего дня большой объем умственной работы (и получив в оконцовке (к своему собственному удивлению) всего лишь "пару строк"), я сегодня несколько измотан и рассеян. ((

[Dmitriy40]

Я о том что замена простой $\varphi(p\#)$ на сумму начальной части ряда (ради регулярности ряда что ли?) выглядит не слишком полезной для рассуждения (и понимания).

Далее.

Батороев в сообщении #1507949 писал(а):

Для каждого простого числа $p$ функция $\varphi_{II} = p-2$, кроме простого числа $2$, для которого $\varphi_{II}_1=1$.

Непонятно от какого аргумента берётся функция $\varphi_{II}$, предположу что от $p$, т.к. других буковок в формуле не наблюдается, т.е. $\varphi_{II}(p) = p-2$.
Для $p=2$ значение задано, ок.
Для $p=3$ значение $\varphi_{II}(3)=3-2=1$, уже не ок, до $3$ нет пар простых близнецов.
Для $p=5$ значение $\varphi_{II}(5)=5-2=3$ тоже не ок, до $5$ всего одна пара простых близнецов: $(3,5)$.
Для $p=7$ значение $\varphi_{II}(7)=7-2=5$ тоже не ок, до $7$ всего две пары простых близнецов: $(3,5)$ и $(5,7)$.
Для $p=1009$ значение $\varphi_{II}(1009)=1007$ ещё более не ок, до $1009$ всего $35$ пар простых близнецов.
И?

-- 15.03.2021, 12:22 --

Я просто очень сильно сомневаюсь что бесконечность простых близнецов можно доказать в две строчки. Даже кроме описок там почти наверняка есть не один недоказанный (или существенно опирающийся на недоказанное следствие) переход. Пока не вижу где ибо вообще ничего не понятно.

Ещё соображение против такого доказательства: не видно где опираетесь на свойства простых близнецов, похоже таким методом можно "доказать" бесконечность почти любых комбинаций чисел, лишь бы они были взаимно простыми с большими праймориалами (вон заменили $\varphi(x)\to\varphi_{II}(x)$ и получили из одного другое). Как-то это чересчур сильное утверждение. ИМХО.

-- 15.03.2021, 13:09 --

Батороев в сообщении #1507949 писал(а):

1. Простые числа.
Обозначения:
$\varphi$ - функция Эйлера;
$p_{r}$ - простое число, где $r$ – порядковый номер простого числа в ряду натуральных чисел.
$p_{s}$ - наибольшее простое число, квадрат которого не превосходит $p_{r}\#$.

Число простых в приморале:

$$\pi_{p_{r}\#} > \dfrac{\varphi_{p_s\#}\cdot p_r\#}{p_s\#}+s\egno (1)$$

Собственно начинать можно прямо отсюда. Потому что уже это — неправда, хотя бы для первых значений ($f$ - вся правая часть):
$r=2,\; p_r=3,\; p_r\#=6,\; p_s=2,\; s=1$, $p_s\#=2,\; \varphi(p_s\#)=1$, $\pi(p_r\#)=3,\; f=4$
$r=3,\; p_r=5,\; p_r\#=30,\; p_s=5,\; s=3$, $p_s\#=30,\; \varphi(p_s\#)=8$, $\pi(p_r\#)=10,\; f=11$
$r=4,\; p_r=7,\; p_r\#=210,\; p_s=13,\; s=6$, $p_s\#=30030,\; \varphi(p_s\#)=5760$, $\pi(p_r\#)=46,\; f=46$
$r=5,\; p_r=11,\; p_r\#=2310,\; p_s=47,\; s=15$, $p_s\#=6.14890\cdot10^{17},\; \varphi(p_s\#)=8.52877\cdot10^{16}$, $\pi(p_r\#)=343,\; f=335$
$r=6,\; p_r=13,\; p_r\#=30030,\; p_s=173,\; s=40$, $p_s\#=1.66590\cdot10^{68},\; \varphi(p_s\#)=1.78655\cdot10^{67}$, $\pi(p_r\#)=3248,\; f=3260$
$r=7,\; p_r=17,\; p_r\#=510510,\; p_s=709,\; s=127$, $p_s\#=1.38027\cdot10^{295},\; \varphi(p_s\#)=1.17292\cdot10^{294}$, $\pi(p_r\#)=42331,\; f=43508$
Как видно ни в одном случае неравенство $\pi>f$ не выполнено. Лишь в одном случае оказались равны, но не более того.

Ну и о чём можно дальше говорить если ложна исходная посылка?!

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1509318 писал(а):

Непонятно от какого аргумента берётся функция $\varphi_{II}$, предположу что от $p$, т.к. других буковок в формуле не наблюдается, т.е. $\varphi_{II}(p) = p-2$.
Для $p=2$ значение задано, ок.
Для $p=3$ значение $\varphi_{II}(3)=3-2=1$, уже не ок, до $3$ нет пар простых близнецов.
Для $p=5$ значение $\varphi_{II}(5)=5-2=3$ тоже не ок, до $5$ всего одна пара простых близнецов: $(3,5)$.
Для $p=7$ значение $\varphi_{II}(7)=7-2=5$ тоже не ок, до $7$ всего две пары простых близнецов: $(3,5)$ и $(5,7)$.
Для $p=1009$ значение $\varphi_{II}(1009)=1007$ ещё более не ок, до $1009$ всего $35$ пар простых близнецов.
И?

Вы не так считаете.

Надо так (но надо учесть, что при рассмотрении постоянно "прицепляется" одна пара: $(1,p_r-1)$*):
Для $3\#$ значение $\varphi_{II}{3\#}=1\cdot (3-2)=1$, до $3\#$ одна пара, взаимно простых с $2,3,$, но не близнецов- $1,5$.*
Для $5\#=30$ значение $\varphi {II}{5\#}=1\cdot(3-2)(5-2)=3$, до $5\#=30$ имеем две пары чисел-близнецов, взаимно-простых с $2,3,5$. Это $11,13$ и $17,19$, а также пара $1,29$ *
Для $7\#=210$ значение $\varphi {II}{7\#}=1\cdot(3-2)(5-2)(7-2)=15$, до $210$ имеем 14 пар чисел-близнецов взаимно простых с $2,3,5,7$. Это пары простых-близнецов $(11,13)(17,19)(29,31)(41,43)(59,61)...(199,197) $, а также пара $(1,209)$*, где число $209$ - взаимнопростое.
* Конечно можно и отцепить эту пару, вычитая из $L_{p_r}\#$ единицу.

-- 15 мар 2021 18:29 --

Dmitriy40 в сообщении #1509318 писал(а):

Ну и о чём можно дальше говорить если ложна исходная посылка?!

Я об этом и сказал в сообщении от 14.03 и сегодня.

Батороев в сообщении #1509210 писал(а):

Указанное выше допущение ведет к погрешности чисел $K_{p_{r}\#}$ и $L_{p_{r}\#}$ относительно чисел $(\pi_{p_{r}\#}-s)$ и $B_{p_{r}\#}$ (обозначения из предыдущего сообщения).
Перепишем выражения (3) и (4)

Батороев в сообщении #1509284 писал(а):

Указанное допущение «сломало» мне доказательство, которое я привел в сообщении от 5.03

-- 15 мар 2021 18:35 --

Dmitriy40 в сообщении #1509318 писал(а):

Ещё соображение против такого доказательства: не видно где опираетесь на свойства простых близнецов, похоже таким методом можно "доказать" бесконечность почти любых комбинаций чисел, лишь бы они были взаимно простыми с большими праймориалами (вон заменили $\varphi(x)\to\varphi_{II}(x)$ и получили из одного другое). Как-то это чересчур сильное утверждение. ИМХО.

Я не понял, разобрались ли Вы в доказательстве бесконечности простых чисел, которое я привел в сообщении от 14.03? У меня к Вам вопрос-предложение по распределению взаимно простых чисел, которое озвучу в соседней теме.
Давайте, я Вам про близнецов расскажу позже.

-- 15 мар 2021 18:46 --

И здесь я конкретно писал:

Батороев в сообщении #1509284 писал(а):

Проверив выражение для конкретных небольших примориалов , я обнаружил, что неравенство изредка не выполняется.

-- 15 мар 2021 19:01 --

Dmitriy40 в сообщении #1509318 писал(а):

Последний раз редактировалось Dmitriy40
15 мар 2021 17:09, всего редактировалось 2 раз(а).


Я о том что замена простой $\varphi(p\#)$ на сумму начальной части ряда (ради регулярности ряда что ли?) выглядит не слишком полезной для рассуждения (и понимания).

Я просто указал место, где в выражении (14) находится $\varphi(p\#)$. ))

[Батороев]

p.s. Мой вопрос-предложение в соседней теме с данной темой не связан. Он - для той темы, как мне видится, может быть, существенным.

[Dmitriy40]

Батороев в сообщении #1509339 писал(а):

Вы не так считаете.

Считаю как вижу. Вы же вообще не пишете что является аргументом функции. И если я вижу что она равна $p-2$, то не вижу никаких причин ей быть произведением. Можете считать меня настолько необразованным что не понимает слова "мультипликативная".
Вот например снова:

Батороев в сообщении #1509339 писал(а):

Для $3\#$ значение $\varphi_{II}{3\#}=1\cdot (3-2)=1$,

Лично я из такой записи совершенно не понимаю к чему относится знак $\#$, к функции, к её аргументу? Т.е. здесь записано $\varphi_{II}(3\#)$ или $(\varphi_{II}(3))\#$? Да, в TeX коде это можно понять, но что вам так мешает расставить везде скобочки у функций мне непонятно.

Ну и определения $\varphi_{II}(p)=p-2$ или $\varphi_{II}(p\#)=p-2$ вообще оба грубо неверны, как получается из Ваших же примеров. Правильное выглядело бы так: $\varphi_{II}(x\#)=\prod\limits_{p\le x} (p-2)$. Тут ясно видно что это именно произведение по простым, причём не до самого праймориала, а лишь до его аргумента. Неужели такую формулу было за 10 лет так сложно написать?! Извините, но я не понимаю. Не понимаю почему другие должны мучиться и додумывать за вас определения ваших же функций ... Впрочем, дело ваше, но думаю мало кто захочет продираться через эту кашу.

-- 15.03.2021, 17:28 --

Батороев в сообщении #1509339 писал(а):

Я не понял, разобрались ли Вы в доказательстве бесконечности простых чисел, которое я привел в сообщении от 14.03?

Даже и не подумал: зачем рассматривать "доказательство" от 14.03 если оно базируется на неправильной формуле от 05.03 для $\pi_{p_r\#}=\pi(p_r\#)$?! Ещё до допущений. Она просто тупо неправильна. Для всех проверенных мною аргументов. Я специально процитировал кусок с её определением целиком чтобы не было разночтений.

[Батороев]

Dmitriy40
Предлагаю вернуться и начать наш диалог сначала.

Dmitriy40 в сообщении #1509279 писал(а):

Т.е. практически в пару строк доказали бесконечность простых близнецов?! Мало верится. Или это из-за недоказанного допущения?

В качестве ответа на первый вопрос выскажу свое личное мнение: "Да".
В качестве ответа на второй вопрос: "Нет, не из-за этого".

[Dmitriy40]

Осталось дождаться реакции математиков на это эпохальное заявление ... А то личных мнений тех же "доказавших теорему Ферма" тоже в несколько строк ...
Мне же интересен вопрос о (не)правильности формулы (1).

[Dmitriy40]

Батороев в сообщении #1507949 писал(а):

$p_{r}$ - простое число, где $r$ – порядковый номер простого числа в ряду натуральных чисел.
$p_{s}$ - наибольшее простое число, квадрат которого не превосходит $p_{r}\#$.
[...]
$\varphi_{II}$ - мультипликативная функция, значение которой равно количеству пар простых-близнецов, не превышающих $n$ и взаимно простых с $n$. Для каждого простого числа $p$ функция $\varphi_{II} = p-2$, кроме простого числа $2$, для которого $\varphi_{II}_1=1$.

$B_{p_r\#}$ - число пар простых-близнецов в примориале $p_r\#>6$ без учета пар простых-близнецов до $p_s$:

$$B_{p_r\#} > \dfrac{\varphi_{II p_s\#}\cdot p_r\#}{p_s\#}\egno (2)$$

Батороев в сообщении #1509339 писал(а):

Вы не так считаете.

Решил всё же попробовать посчитать "так".
Для определённости взял определение $\varphi_{II}(p\#)=\prod_{2<x\le p}(p-2),\; \varphi_{II}(2\#)=1$, все числа простые.
Получил следующие результаты ($f$ - снова вся дробь из сравнения):
$r=3, p_r=5, p_r\#=30$, $p_s=5, s=3$, $p_s\#=30, \varphi_{II}=3$, $\pi_2=4, f=3$
$r=4, p_r=7, p_r\#=210$, $p_s=13, s=6$, $p_s\#=30030, \varphi_{II}=1485$, $\pi_2=15, f=10$
$r=5, p_r=11, p_r\#=2310$, $p_s=47, s=15$, $p_s\#=6.148898\cdot10^{17}, \varphi_{II}=1.568111\cdot10^{16}$, $\pi_2=69, f=58$
$r=6, p_r=13, p_r\#=30030$, $p_s=173, s=40$, $p_s\#=1.665899\cdot10^{68}, \varphi_{II}=2.531985\cdot10^{66}$, $\pi_2=468, f=456$
$r=7, p_r=17, p_r\#=510510$, $p_s=709, s=127$, $p_s\#=1.380265\cdot10^{295}, \varphi_{II}=1.316233\cdot10^{293}$, $\pi_2=4636, f=4868$
$r=8, p_r=19, p_r\#=9699690$, $p_s=3109, s=443$, $p_s\#=6.393229\cdot10^{1318}, \varphi_{II}=4.097188\cdot10^{1316}$, $\pi_2=57453, f=62161$
$r=9, p_r=23, p_r\#=223092870$, $p_s=14929, s=1748$, $p_s\#=9.160835\cdot10^{6421}, \varphi_{II}=4.120837\cdot10^{6419}$, $\pi_2=896062, f=1003543$
$r=10, p_r=29, p_r\#=6469693230$, $p_s=80429, s=7873$, $p_s\#=2.816585\cdot10^{34776}, \varphi_{II}=9.183906\cdot10^{34773}$, $\pi_2=18463713, f=21095426$
Из которых явно видно что условие $\pi_2>f$ не выполняется для значений $p_r>13$. Причём $\varphi_{II}$ может быть и завышенной на $1$, не стал разбираться, её уменьшение правую часть никак не увеличит.
Если вдруг $B_{p_r\#}<\pi_2(p_r\#)$, то это лишь ухудшит сравнение так как оно перестанет выполняться уже для меньших $p_r$.

Батороев
Что я теперь не так считаю?