Максимальные интервалы между взаимно простыми числами

[vorvalm]

Dmitriy40 в сообщении #1509747 писал(а):

Вот она: $1\ldots11$ и $199\ldots209$.

Я извиняюсь, но это не все простые числа.

P.S. У вас получается сумма всех разностей праймориала не равна праймориалу.

[Dmitriy40]

vorvalm
Однако между ними все числа имеют общие делители с $210$ больше $1$, т.е. не взаимно простые с $210$. Спрашивалось именно это, слова простых не было.

-- 17.03.2021, 17:27 --

vorvalm в сообщении #1509754 писал(а):

P.S. У вас получается сумма всех разностей праймориала не равна праймориалу.

Потому что не учтёны интервалы $0\ldots1$ и $p\#-1\ldots p\#$, вот и получается разница в $2$.

[vorvalm]

Я так и понял.

-- Ср мар 17, 2021 17:31:08 --

Все нормально.

[Dmitriy40]

vorvalm в сообщении #1509745 писал(а):

Yury_rsn
Я извиняюсь, но никак не могу найти разность $d=10$
между простыми числами в праймориале $7\# $ ???

$139\ldots149$ и $181\ldots191$. Плохо искали видимо ...

[vorvalm]

Спасибо.

[Yury_rsn]

Dmitriy40 в сообщении #1509747 писал(а):

Yury_rsn
Держите:

Используется синтаксис Text

3#: n=1: 4=1
5#: n=7: 2=2, 4=3, 6=2
7#: n=47: 2=14, 4=15, 6=14, 8=2, 10=2
11#: n=479: 2=134, 4=135, 6=142, 8=28, 10=30, 12=8, 14=2
13#: n=5759: 2=1484, 4=1485, 6=1690, 8=394, 10=438, 12=188, 14=58, 16=12, 18=8, 22=2
17#: n=92159: 2=22274, 4=22275, 6=26630, 8=6812, 10=7734, 12=4096, 14=1406, 16=432, 18=376, 20=24, 22=78, 24=20, 26=2
19#: n=1658879: 2=378674, 4=378675, 6=470630, 8=128810, 10=148530, 12=90124, 14=33206, 16=12372, 18=12424, 20=1440, 22=2622, 24=1136, 26=142, 28=72, 30=20, 34=2
23#: n=36495359: 2=7952174, 4=7952175, 6=10169950, 8=2918020, 10=3401790, 12=2255792, 14=871318, 16=362376, 18=396872, 20=61560, 22=88614, 24=48868, 26=7682, 28=5664, 30=2164, 32=72, 34=198, 36=56, 38=2, 40=12

Праймориал, суммарное количество всех разностей, список из разности и сколько раз она встретилась.

Здорово!
О, увидел свою ошибку в расчетах по 7#
Спасибо

Первые удивительные вещи!
В 13# пропущено 20, а в
19# - пропущено 32.

А в 23# ничего не пропущено, но появляется число 40

[Yury_rsn]

И, не знаю, о чем это говорит, но последовательность n 1, 7, 47, 479, 5759, 92159, 1658879, 36495359 - отсутствует в OEIS

[Dmitriy40]

Yury_rsn в сообщении #1509829 писал(а):

И, не знаю, о чем это говорит, но последовательность n 1, 7, 47, 479, 5759, 92159, 1658879, 36495359 - отсутствует в OEIS

Потому что присутствует A005867.

[vicvolf]

Yury_rsn в сообщении #1509646 писал(а):

vicvolf в сообщении #1509616 писал(а):

Аналогично, используя (4), в одну строчку, находится асимптотика суммы любой функции простых чисел, удовлетворяющей указанным выше условиям.

Какие новые формулы можно получить из этих равенств?
Для каких нерешенных задач они могут пригодиться?

Установление асимптотического равенства (3) не исчерпывается проблема распределения простых чисел. Основной задачей является оценка модуля разности $\pi(x)$ и $\int_2^x \frac {dt}{\ln(t)}$. Доказана оценка:

$$|\pi(x)-\int_2^x \frac {dt}{\ln(t)}|=O(\frac {x}{e^{c\ln^{1/2}x}}).(5)$$

Для распределения сумм функций простых чисел представляет интерес оценка модуля разности $\sum_{p \leq x} f(p)$ и $\int_2^x \frac {f(t)dt}{\ln(t)}$. Выражение (5) соответствует оценке:

$$|\sum_{p \leq x} f(p)-\int_2^x \frac {f(t)dt}{\ln(t)}|=O(\frac{|f(x)|x}{e^{c\ln^{1/2}x}})+O(\int_2^x \frac {t|f'(t)|dt}{e^{c\ln^{1/2}t}}).(6)$$

Известна эквивалентная формулировка гипотезы Римана:

$$|\pi(x)-\int_2^x \frac {dt}{\ln(t)}|=O(x^{1/2}\ln(x)).(7)$$

Эквивалентной формулировке гипотезы Римана (7) соответствует оценка:

$$|\sum_{p \leq x} f(p)-\int_2^x \frac {f(t)dt}{\ln(t)}|=O(|f(x)|x^{1/2}\ln(x))+O(\int_2^x |f'(t)|t^{1/2}\ln(t)dt).(8)$$

Эти формулы я использовал для нахождения асимптотик средних значений, дисперсий и моментов более высоких порядков арифметических функций viewtopic.php?p=1493387#p1493387. Наверняка есть другие применения.

[Yury_rsn]

Dmitriy40 в сообщении #1509837 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1509829 писал(а):

И, не знаю, о чем это говорит, но последовательность n 1, 7, 47, 479, 5759, 92159, 1658879, 36495359 - отсутствует в OEIS

Потому что присутствует A005867.

угу.
Когда уже знаешь ответ, то сразу понятно, что это функция Эйлера для праймориалов. Элементарно.

А как сбивает с толку минус единица.

-- 18.03.2021, 15:38 --

vicvolf в сообщении #1509861 писал(а):

Наверняка есть другие применения.

Здорово.
А для вычисления функции Якобсталя, или разностей между взаимно простыми на каких-то интервалах - никак нельзя применить?

[Dmitriy40]

Я не знал. Просто взял и проверил числа на $1$ больше. Не нашёл бы — проверил бы и на $1$ меньше. Может даже и на $\pm 2$. Мало ли кто как именно что считает, кто-то с нуля, кто-то с единицы, плюс поведение на границах могут учитывать по разному.

[Yury_rsn]

Dmitriy40 в сообщении #1509879 писал(а):

Я не знал. Просто взял и проверил числа на $1$ больше. Не нашёл бы — проверил бы и на $1$ меньше. Может даже и на $\pm 2$. Мало ли кто как именно что считает, кто-то с нуля, кто-то с единицы, плюс поведение на границах могут учитывать по разному.

Это у вас опыт работы с OEIS сказывается.

Нельзя вас попросить продолжить эти расчеты, хотя бы до 47# - 59# (сколько возможно)?
Потому что именно на этих значениях функция Якобсталя начинает расти быстрее $p_{r+1}-1$

[Dmitriy40]

Yury_rsn
Нет, мне времени жалко, а писать на нормальном языке нет желания.
Как можете видеть даже 29# не стал считать, хотя это порядка получаса (UPD: таки посчитал 29# и 31#, считалось больше 20ч), а следующие соответственно минимум в $p$ раз дольше.
И для 47# Вы так влёгкую предлагаете перебрать $47\#\approx6\cdot10^{17}$ чисел и для каждого посчитать gcd()?! Даже после хорошей оптимизации, на которую уйдёт не один день, скорость явно не превысит $10^8$ в секунду, а значит $6\cdot10^9$ секунд на всё или более 190 лет. Про 59# с его полумиллионом лет лучше вообще молчать.
А не тупой перебор надо ещё придумать и отладить.
Вы как-то соизмеряйте возможности ... Перебрать все числа в праймориале вовсе не то же самое что перемножить несколько тысяч простых чисел.

-- 18.03.2021, 15:27 --

Кстати, оценка $10^8$ в секунду достаточно близка к истине, на первой странице уже занимался этим же самым, перебор тогда до $37\#$ занял порядка 7ч или $3\cdot10^8$ в секунду. Всего втрое быстрее оценки. Но 60 лет вместо 190 всё равно никак не радуют.

[Yury_rsn]

Dmitriy40 в сообщении #1509884 писал(а):

Yury_rsn
Нет, мне времени жалко,

Ой, извините!
Ни фига себе сколько времени

Просто даже в голову не пришло, какие это напряги

[Yury_rsn]

Yury_rsn в сообщении #1509827 писал(а):

Dmitriy40 в сообщении #1509747 писал(а):

Используется синтаксис Text

3#: n=1: 4=1
5#: n=7: 2=2, 4=3, 6=2
7#: n=47: 2=14, 4=15, 6=14, 8=2, 10=2
11#: n=479: 2=134, 4=135, 6=142, 8=28, 10=30, 12=8, 14=2
13#: n=5759: 2=1484, 4=1485, 6=1690, 8=394, 10=438, 12=188, 14=58, 16=12, 18=8, 22=2
17#: n=92159: 2=22274, 4=22275, 6=26630, 8=6812, 10=7734, 12=4096, 14=1406, 16=432, 18=376, 20=24, 22=78, 24=20, 26=2
19#: n=1658879: 2=378674, 4=378675, 6=470630, 8=128810, 10=148530, 12=90124, 14=33206, 16=12372, 18=12424, 20=1440, 22=2622, 24=1136, 26=142, 28=72, 30=20, 34=2
23#: n=36495359: 2=7952174, 4=7952175, 6=10169950, 8=2918020, 10=3401790, 12=2255792, 14=871318, 16=362376, 18=396872, 20=61560, 22=88614, 24=48868, 26=7682, 28=5664, 30=2164, 32=72, 34=198, 36=56, 38=2, 40=12

Праймориал, суммарное количество всех разностей, список из разности и сколько раз она встретилась.

Скорее всего количество чисел с разностями 2 и 4 на самом деле равно.
Об этом же написано в A059861

Для 6 - A271564
8 - A271565
10 -A285298