Асимптотика сумматорных функций простого аргумента

[vicvolf]

Null в сообщении #1465552 писал(а):

Это не выполняется для $f(x)=2^x$, так как $\sum_{k=1}^p b_kf(k)\sim 2\frac{2^k}{\ln k}$

Таким образом, мы проверили в данном случае данное необходимое условие не выполняется, что верно. Но с другой стороны оно выполняется для случае $f(x)=1/x^2$, что не является верным?

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1467025 писал(а):

Но с другой стороны оно выполняется для случае $f(x)=1/x^2$, что не является верным?

Хотя это нормально, так как достаточное условие в данном случае не выполняется.

[vicvolf]

Null в сообщении #1465514 писал(а):

Если
1.$\lim_{n\to\infty}\frac{\int_{1}^nB(t)f'(t)dt}{B(n)f(n)}$ существует и не равен 1(для бесконечного предела тоже все в порядке)
2.$f'(x)\neq 0$, будем считать что $f'(x)$ непрерывна, тогда она еще и знакопостоянна.
3.$\lim_{n\to\infty}\int_{1}^nB(t)f'(t)dt=\pm\infty$- если $f(n)\to\infty$ то это выполняется автоматически.
Тогда $\lim_{n\to\infty}\frac{\int_{1}^nA(t)f'(t)dt}{A(n)f(n)}$ существует и равен $\lim_{n\to\infty}\frac{\int_{1}^nB(t)f'(t)dt}{B(n)f(n)}$(или тоже бесконечен)

При данных достаточных условиях выполняется только асимптотическое равенство: $\sum_{k=1}^n {a_kf(k)} \sim \sum_{k=1}^n {b_kf(k)},$ но в этом случае в асимптотиках сумм совпадают только главные члены разложения, а остаточные члены могут не совпадать?

[Null]

Подставьте $f(x)=1$ и посмотрите.

[vicvolf]

Null в сообщении #1467438 писал(а):

Подставьте $f(x)=1$ и посмотрите.

В этом и вопрос. Получается лучше ГР:)

$\sum_{p \leq n}{1}=\sum_{k=2}^n {\frac {1} {\log(k)}}=\int_2^n {\frac {dt} {\log(t)}}+O(1)$.

$\sum_{p \leq n}{\log(p)}=\sum_{k=2}^n {1}=\int_2^n {dt} + O(1)=n+O(1)$.

С другой стороны, имеются и правильные оценки:

$\sum_{p \leq n} {\frac {1} {p}}=\sum_{k=2}^n {\frac {1} {k\log(k)}}=\int_2^n {\frac {dt} {t\log(t)}}+O(1)=\log\log(n)+O(1)$.

$\sum_{p \leq n} {\frac {\log(p)} {p}}=\sum_{k=2}^n {\frac {1} {k}}=\int_2^n {\frac {dt} {t}}+O(1)=\log(n)+O(1)$.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1467445 писал(а):

$\sum_{p \leq n}{1}=\sum_{k=2}^n {\frac {1} {\log(k)}}=\int_2^n {\frac {dt} {\log(t)}}+O(1)$.

$\sum_{p \leq n}{\log(p)}=\sum_{k=2}^n {1}=\int_2^n {dt} + O(1)=n+O(1)$.

С другой стороны, имеются и правильные оценки:

$\sum_{p \leq n} {\frac {1} {p}}=\sum_{k=2}^n {\frac {1} {k\log(k)}}=\int_2^n {\frac {dt} {t\log(t)}}+O(1)=\log\log(n)+O(1)$.

$\sum_{p \leq n} {\frac {\log(p)} {p}}=\sum_{k=2}^n {\frac {1} {k}}=\int_2^n {\frac {dt} {t}}+O(1)=\log(n)+O(1)$.

Использовал Прахара стр. 422 Теорему 1.5 формулу (1.8) и Примечание 1 на стр. 423.

[vicvolf]

Null в сообщении #1467438 писал(а):

Подставьте $f(x)=1$ и посмотрите.

Я сделал это, но не понял зачем. Итак было ясно, что из эквивалентности следует только равенство главных членов асимптотик, а остальные члены могут не совпадать.

Вот простой пример:

$$\lim_{n \to \infty} {\frac {x^2+x} {x^2+\log(x)}}=1.$$

Таким образом, указанные достаточные условия гарантируют только главный член асимптотики.

[Null]

vicvolf, Не $+O(1)$, а $\cdot (1+O(1))$, если вы используете свое свойство.

[vicvolf]

Null в сообщении #1467594 писал(а):

vicvolf, Не $+O(1)$, а $\cdot (1+O (1))$, если вы используете свое свойство.

Ну во-первых $(1+o(1))$, т.е. о-малое, а иначе это не асимптотика:), а во вторых Вы меня не поняли. Я под $O(1)$ понимал остаточный член в асимптотическом разложении, который получается в данных примерах. Это просто совпадение, что получилось везде $O(1)$.

Если Вы посмотрите материалы в Прахаре, на которые я указал, то увидите 2 случая формулы Эйлера-Маклорена, интересующие меня:

1. Если $f(k)/\log(k) \geq 0$ и монотонно возрастает на интервале $[2,n)$, то асимптотика имеет вид:

$$\sum_{p \leq n} {f(p)}=\sum_{k=2}^n {\frac {f(k)}{\log(k)}}=\int_2^n {\frac {f(t)dt} {\log(t)}}+O(\frac {f(n)}{\log(n)}).$$

2. Если $f(k)/\log(k) \geq 0$, монотонно убывает на интервале $[2,n)$ и $\lim_{n \to \infty} {f(n)/\log(n)}=0$, то асимптотика имеет вид:

$$\sum_{p \leq n} {f(p)}=\sum_{k=2}^n {\frac {f(k)}{\log(k)}}=\int_2^n {\frac {f(t)dt} {\log(t)}}+C+O(\frac {f(n)}{\log(n)}),$$

где $C$ - постоянная.

Отсюда видно, что во втором случае остаточный член всегда равен $C+O(\frac {f(n)}{\log(n)})=O(1)$. К этому случаю относятся 3 указанных примера.

К первому случаю относится только один пример с $f(p)=\log(p)$. В этом случае остаточный член также равен $O(\frac {\log(n)}{\log(n)})=O(1)$. В общем, для первого случая, остаточный член не равен $O(1)$.

Интересно, при каких дополнительных достаточных условиях, справедливы указанные выше формулы? Очевидно для примеров 1 и 2 они не справедливы, а для примеров 3 и 4 справедливы.

[Null]

Вы пишите $\sum_{p \leq n} {f(p)}=\sum_{k=2}^n {\frac {f(k)}{\log(k)}}$, а это не так.

[vicvolf]

Null в сообщении #1467621 писал(а):

Вы пишите $\sum_{p \leq n} {f(p)}=\sum_{k=2}^n {\frac {f(k)}{\log(k)}}$, а это не так.

Верно, я подумаю.

[vicvolf]

Уточним формулу для вероятности натурального числа из интервала $[2.n)$ быть простым:

$$P_{2,x}(f)=d(f,2,x)=\frac {1}{\log(n)}+\frac {1+o(1)} {\log^2(n)}.$$

Поэтому получим:

$$\sum_{p \leq n} {f(p)}=\sum_{k=2}^n {\frac {f(k)} {\log(k)}}+\sum_{k=2}^n {\frac {f(k)} {\log^2(k)}}(1+o(1)).$$

Используем формулу Эйлера-Маклорена:

$$\sum_{p \leq n} {f(p)}=\int_{2}^n {\frac {f(t)dt} {\log(t)}}+\int_{2}^n {\frac {f(t)dt} {\log^2(t)}}(1+o(1)).$$

Первый член асимптотики является главным, а второй - остаточным.


Пусть $f(t) \geq 0$ и $\int_{2}^{\infty} {\frac {f(t)dt} {\log(t)}}= \infty$ (расходится), тогда:

1. Если $\int_{2}^{\infty} {\frac {f(t)dt} {\log^2(t)}}=\infty$ (расходится), то:

$$\sum_{p \leq n} {f(p)}=\int_{2}^n {\frac {f(t)dt} {\log(t)}}+O(\int_{2}^n {\frac {f(t)dt} {\log^2(t)}}).$$

2. Если $\int_{2}^{\infty} {\frac {f(t)dt} {\log^2(t)}}$ - сходится, то:

$$\sum_{p \leq n} {f(p)}=\int_{2}^n {\frac {f(t)dt} {\log(t)}}+C+O(\int_{2}^n {\frac {f(t)dt} {\log^2(t)}})=\int_{2}^n {\frac {f(t)dt} {\log(t)}}+O(1).$$

Примеры первого случая:

$$\sum_{p \leq n} {\log(p)}=\int_{2}^n {dt} +O(\int_{2}^n {\frac {dt} {\log(t)}})=n+O(\int_{2}^n {\frac {dt} {\log(t)}}).$$

$$\sum_{p \leq n} {1}=\int_{2}^n {\frac {dt} {\log(t)}}+O(\int_{2}^n {\frac {dt} {\log^2(t)}}).$$

Пример второго случая:

$$\sum_{p \leq n} {1/p}=\int_{2}^n {\frac {dt} {t\log(t)}}+C+O(\int_{2}^n {\frac {dt} {t\log^2(t)}})=\log\log(n)+O(1).$$

Что неверно?

[vicvolf]

Опечатка:

$$P_{2,n}(f)=d(f,2,n)=\frac {1}{\log(n)}+\frac {1+o(1)} {\log^2(n)}.$$

[Null]

vicvolf в сообщении #1468117 писал(а):

$$\sum_{p \leq n} {f(p)}=\sum_{k=2}^n {\frac {f(k)} {\log(k)}}+\sum_{k=2}^n {\frac {f(k)} {\log^2(k)}}(1+o(1)).$$

А где доказательство?

[vicvolf]

Null в сообщении #1468210 писал(а):

vicvolf в сообщении #1468117 писал(а):

$$\sum_{p \leq n} {f(p)}=\sum_{k=2}^n {\frac {f(k)} {\log(k)}}+\sum_{k=2}^n {\frac {f(k)} {\log^2(k)}}(1+o(1)).$$

А где доказательство?

Это пока только гипотеза, которую я проверяю. Вероятностные гипотезы о простых числах известны и дают хорошие результаты: гипотеза Крамера, гипотеза Харди-Литтлвуда и.т.д.

Во время проверок асимптотик с помощью формулы суммирования Абеля: $\sum_2^x {a_nf(n)}=A(x)f(x)-A(2)f(2)-\int_2^x {A(t)f'(t)dt$, где
$a_n=0$, если $n$ - составное и $a_n=1$, если $n$ - простое, а $A(x)=\frac {x} {\log(x)}(1+o(1))$ обнаружил, что данный вариант не проходит для $f(x)= \frac {\log(x)} {x}$:

$$\sum_2^x {a_nf(n)}=(\frac {x} {\log(x)}\frac {\log(x)} {x}-\frac {2\log(2)} {2\log(2)} -\int_2^x {\frac {t} {\log(t)} \frac {1-\log(t)} {t^2} dt)(1+o(1))=(\log(x)-\int_2^x {\frac {dt} {\log(t)}})(1+o(1))$$

Правильная асимптотика: $\log(x)+O(1)$.

В этом случае не выполняется достаточное условие: $f'(x)= \frac {1-\log(x)} {x^2} \neq 0$.