Функциональный анализ в квантовой механике

[amon]

По поводу механики. IMHO, сейчас это, скорее, часть математики, и в таком виде физики ее и употребляют. На первых курсах физических факультетов читается курс теор.меха. Когда я, в качестве хобби, чем-то подобным занимаюсь, я честно объявляю, что прослушав такой курс дети колеса, балки и прочие прикладные конструкции считать будут не в состоянии, и вообще, механики в том смысле, в котором ее читают на мат.мехе знать не будут. Задача такого курса -- построить некий базис для содержательных курсов квантовой механики, электродинамики и проч. С этим связана любовь физиков к 1-му тому ЛЛ при всех его недостатках - он точно попадает в эту задачу.

Я это к тому, что математически отполированный до зеркального блеска курс квантовой механики был бы очень кстати не сам по себе, а в качестве базы для написания короткого хорошего учебника по квантовой механике, не впадающего в математическое занудство, но и не срезающего все углы. Сейчас в стандартных курсах квантовой механики предполагается, что все операторы совершенно замечательны, с нулевыми дефектами и т.п, поэтому учебники напоминают решебники задач. Проблема, IMHO, в том, что математику в механике полировали в 19 - начале 20 века, когда физики и математики изъяснялись еще на одном языке, а к созданию и финишной полировке спектральной теории языки разошлись окончательно, и на изучение их обоих жизни не хватает.

[Eule_A]

amon в сообщении #1462283 писал(а):

Проблема, IMHO, в том, что математику в механике полировали в 19 - начале 20 века, когда физики и математики изъяснялись еще на одном языке

Вот это очень точно по-моему. Наверное, и сейчас можно было бы найти компромисс, который бы позволил построить такую программу изучения математики для физиков, чтобы она и перегруженной не была, и всё-таки давала возможность перейти на новый уровень изложения физических предметов. Ещё бы кто занялся этим...

[amon]

Eule_A в сообщении #1462294 писал(а):

Ещё бы кто занялся этим...

На физ.факе ЛГУ, в свое время, этим занимался В.А. Фок, который, после неудачных попыток найти лекторов по курсу математики на мат.мехе, открыл на физ.факе кафедру математической физики. Боюсь, сейчас личностей таких маловато будет.

[Eule_A]

Как Фок - вероятно, да. Увы. Но тут ещё дело, думается, и в том, что сейчас сама по себе такая цель не ставится. А если и будет поставлена, то поддержки не встретит. Это же эксперимент будет, по сути. А вдруг после этого в каком-нибудь рейтинге провал получится?.. И т.д. и т.п. Это уже оффтоп получится, так что продолжать не буду.

[Alex-Yu]

Eule_A в сообщении #1462294 писал(а):

перейти на новый уровень изложения физических предметов.

А нужно ли это? Вы часто встречаете обсуждение индексов дефекта операторов в физреве? Особенно если это физрев би. Или в апплайд физикс? Или представить себе Квантовую оптику Скалли-Зубайри, где для каждого оператора доказывается его самосопряженность и т.п. штучки.... Даже мелким шрифтом... Бр-р-р-р-р-р, кошмар какой... Такую книгу никто не сможет написать, а если кто-то и сможет, то ее никто не сможет прочитать. А если кто-то и сможет прочитать, то точно ничего физического из нее не поймет.

Познакомить с этими вопросами студентов в рамках общего образования, курса математики -- нет вопросов. Полезно. Для повышения общего уровня культуры. Но толкать это в физические курсы... Ой, кошмар какой... Кошмар-кошмар-кошмар.... Бедные, несчастные студенты, их так жалко...

[Eule_A]

Alex-Yu в сообщении #1462317 писал(а):

А нужно ли это?

Понимаете, я пытаюсь сравнивать ситуацию с тем, как могли бы рассуждать люди несколько раньше. Например, и зачем бедным студентам изучать ряды Фурье или конформные отображения? В своё время они тоже могли казаться чем-то избыточным. Что поделать, если применительно к квантовой механике слова "гильбертово пространство" уже давным-давно не воспринимаются как диковина? Можно ведь попробовать из этого пользу извлечь. Но для этого и нужно то, о чём я выше говорил: не тащить студентам-физикам в образование, для примера говоря, всё подряд про гильбертово пространство. Отобрать некий достаточный минимум, как это принято говорить, "на физическом уровне строгости". Со старым-добрым анализом ведь получилось в своё время - и хорошо получилось. Почему бы и с функциональным анализом не попробовать?.. Только для этого нужен человек, который будет вот только этим делом заниматься и будет одинаково хорошо знать соответствующий материал и из физики, и из математики. Вот осталось только найти такого.

[Alex-Yu]

Eule_A в сообщении #1462320 писал(а):

Можно ведь попробовать из этого пользу извлечь.

Что-то именно пользы я и не вижу. Ладно, если это в рамках ОТДЕЛЬНОГО дополнительного общеобразовательного курса, и это не запихивается в физические курсы, то я не против. Даже за. Но если предполагается соответствующим образом модифицировать физические курсы... То против категорически!!!

В качестве отдельного курса даже могу порекомендовать учебник: двухтомник Рихтмайра (кажется "Математическая физика" называется или что-то вроде) Довольно простенький. Бога ради только не надо это в квантовую механику и т.п. запихивать. Даже мелким шрифтом. Математика (в т.ч. матфизика) -- это отдельная наука, физика (в т.ч. теорфизика) тоже отдельная, другая наука. Ради бога, пользуйтесь результатами функанализа при решении физических задач, если задача такая, что это надо (я, правда, таких задач, где это надо, не знаю). Но только не запихивайте само изложение функанализа в физические курсы.

[amon]

Alex-Yu в сообщении #1462317 писал(а):

Вы часто встречаете обсуждение индексов дефекта операторов в физреве?

Вполне возможно, что происходит это, в том числе, от незнания. Ненулевой индекс дефекта имеют оператор импульса на отрезке [0,1] или любимый нами оператор фазы гармонического осциллятора (фотона). Я, например, с такими операторами конструктивно работать не умею, поскольку для спектральных представлений таких операторов возникают всяческие патологические с точки зрения физика свойства типа

$$\hat{A}=\int_\alpha^\beta da\, a|a\rangle\langle a|,\,\hat{A^2}=\int_\alpha^\beta da\, a^2|a\rangle\langle a|,\,\hat{A}\hat{A}\ne \hat{A^2}$$

Возможно, если бы в детстве я внимательнее слушал Бирмана, я бы этих трудностей не испытывал.

[Red_Herring]

amon в сообщении #1462338 писал(а):

Вполне возможно, что происходит это, в том числе, от незнания. Ненулевой индекс дефекта имеют оператор импульса на отрезке [0,1] или любимый нами оператор фазы гармонического осциллятора (фотона).

Про второй я ничего сказать не могу (т.к. не знаю, что это такое). Что касается первого, то, очевидно, имеется в виду симметрический, но не самосопряженный оператор $-i \partial_x$ с областью определения $\mathfrak{D}=\{ u\colon u'\in L^2,\ u(0)=u(1)=0\}$. Действительно, оба его индекса дефекта $=1$ и поэтому он имеет однопараметрическое семейство самосопряженных расширений с облатями определения $\mathfrak{D}_k=\{ u\colon u'\in L^2,\ u(1)=e^{ik}u(0)\}$, $k\in [0,2\pi)$. И у них то и будут с.з. и с.ф. и все пучком

[Alex-Yu]

amon в сообщении #1462338 писал(а):

Ненулевой индекс дефекта имеют оператор импульса на отрезке [0,1]

Оператор импульса? А в чем проблема?У Рида и Сймона, если правильно помню, именно это пример обсуждается во втором томе. Правда, в представлении оператора импульса оператором дифференцирования. Проблема заключается в том, что надо задать адекватные гранусловия. Если же на спектральном языке, то надо правильно определить скалярные произведения. И спектр, кстати.

О, Red_Herring выше уже написал то, что написано у Рида-Саймона. Причем более толково, чем я.

Я, впрочем, в полной растерянности на счет того, что бы мог означать физически оператор импульса такой, что измеряемые значения импульса заключены в интервале [0,1]. Как вы это собираетесь физически реализовать и зачем это надо? Навыдумывать экзотики можно много. Но зачем это??? В физике зачем? Или это координата на интервале?

А то, что такой наблюдаемой, как фаза, вообще не существует, давно известно и физически осмысленно. Надо использовать экспоненту от фазы -- хороший унитарный оператор. Найдите коротенькую книжку Пайерлса "Сюрпризы в теоретической физике", там есть.

-- Ср май 13, 2020 22:44:44 --

Red_Herring в сообщении #1462342 писал(а):

$\mathfrak{D}=\{ u\colon u'\in L^2,\ u(0)=u(1)=0\}$.

А условия на значения на границе интервала не лишние ли? Как это соотносится с тем, что дальше с $e^{ik}$?

[amon]

Alex-Yu в сообщении #1462344 писал(а):

Я, впрочем, в полной растерянности на счет того, что бы мог означать физически оператор импульса такой, что измеряемые значения импульса заключены в интервале [0,1].

На отрезке [0,1] задана волновая функция (с нулевыми гран. условиями). Для нее определяем оператор импульса как канонически-сопряженный к оператору координаты. Если наивно положить $\hat{p}=\frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial x}$ получим чепуху. Аккуратная процедура приводит к тому самому индексу дефекта.

Alex-Yu в сообщении #1462344 писал(а):

Найдите коротенькую книжку Пайерлса

А у Пайерлса там туфта. Он с задачей не справился, и объявил фазу осциллятора нефизической величиной. Есть слегка устаревший, но забавный обзор Ю.И. Воронцова в УФН 172 N8 стр.907 на эту тему.

[Alex-Yu]

amon в сообщении #1462348 писал(а):

Если наивно положить $\hat{p}=\frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial x}$

Понятно. Вот именно, что наивно. Я, кстати, подумал, и формальное расширение такого оператора, что написано у Рида-Саймона, и что упомянул Red_Herring, мне что-то не нравится. Конечно, можно так построить некий самосопряженный оператор. Но будет ли это оператор импульса??? Будет ли это вообще физически осмысленный оператор? Тем более, что расширений много.

Что это такое физически??? Бесконечно глубокая яма? Тогда, кстати, почти очевидно, что спектр импульса будет дискретный. И чего вы там за интегралы писали? Надо физически построить оператор импульса. Пока не соображу как. А не формально манипулировать с не поймешь что означающим оператором дифференцирования. Причем здесь оператор дифференцирования и его расширения... Может и причем, но это надо бы показать, а не просто так заявлять. Не понятно пока, надо подумать.

[Red_Herring]

Alex-Yu в сообщении #1462344 писал(а):

Я, впрочем, в полной растерянности на счет того, что бы мог означать физически оператор импульса такой, что измеряемые значения импульса заключены в интервале [0,1]. Как вы это собираетесь физически реализовать и зачем это надо? Навыдумывать экзотики можно много. Но зачем это??? В физике зачем? Или это координата на интервале?

Координата на интервале. А значения будут $2\pi n +k$, и с.ф. $e^{(2\pi n+k)ix}$, $k$ в определении $\hat{p}_k$, а $n$ любое целое. Ну и эти операторы отнюдь не экзотика (а вот если рассмотреть многомерный случай, то там расширений будет вагон и маленькая тележка, и только маленькая тележка будет иметь разумные применения).

Цитата:

А условия на значения на границе интервала не лишние ли? Как это соотносится с тем, что дальше с $e^{ik}$?

Вначале действительно лишние, а когда мы берем расширение, т.е. оператор $\hat{p}_k$ с более широкой областью значений $\mathfrak{D}_k$ (одно условие вместо двух), но совпадающий с оригинальным на его области, то тогда и получаются с.з. и с.ф.

[Alex-Yu]

Red_Herring в сообщении #1462353 писал(а):

когда мы берем расширение,

Да, я уже сообразил. Рида-Саймона, увы, помню очень плохо, давно это было... Но что-то вся эта конструкция мне не нравится. Физически не нравится, хотя математически она безупречна. Математическая безупречность никак не означает физической хотя бы осмысленности. Хотя в данном конкретном случае это может и так, просто я пока не сообразил.

Собственно, довольно легко сказать, что именно не нравится. Если это бесконечно глубокая потенциальная яма (меня не интересуют расширения какого-то там оператора дифференцирования, меня физические системы интересуют), то собственные функции Гамильтониана будут нулевыми на границах. Нет? Вроде да. Но тогда получается, что собственных функций импульса (если это и правда импульс) больше, чем собственных функций гамильтониана. Это патология какая-то, так не бывает. Любое состояние должно быть разложимо по собственным функциям любой физической величины. А как разложить по функциям, равным нулю на границе, функцию не равную нулю на этой границе? Гамильтониан это квадрат импульса с той же самой областью определения? Тогда энергетический спектр неправильный. Вот вам и совершенно строгая математика... Был бы от нее еще физический толк...

Далее. Физически довольно, кстати, еще ясно, что гамильтониан не должен коммутировать с импульсом. СФ энергии -- это стоячие волны, а в них импульса два разных. Так что гамильтониан не есть квадрат импульса.

[Red_Herring]

Alex-Yu в сообщении #1462352 писал(а):

Конечно, можно так построить некий самосопряженный оператор. Но будет ли это оператор импульса??? Будет ли это вообще физически осмысленный оператор? Тем более, что расширений много.

В одномерной задаче мало (однопараметрическое семейство), поскольку индексы дефекта $(1,1)$. А в высших размерностях уже много индексы дефекта $(\infty,\infty)$, но вот разумные применения по видимому имеют лишь квазипериодические $\mathfrak{D}_k =\{ u\colon, \nabla u\in L^2,\ u(x+\gamma)= e^{i\langle \gamma, k\rangle}\ \forall x\in \Omega, \gamma \in \Gamma\}$, $k\in \Omega^*$ где $\Gamma$ решетка периодов и т.д.

Тоже самое: если задать оператор Лапласа с областью определения $ H_0^2(X)$, т.е. такие, которые на границе обращаются в $0$ вместе со своим градиентом, то там будет куча расширений, но далеко не все будут интересны "нормальному" математику.

А зачем нужны квазиперодические функции--это нужно для решения осмысленных задач (например изучения спектра из полос).

(Оффтоп)

Я читаю в течение довольно многих лет курс УЧП для нематематиков (включая околоматематиков). Несколько лет назад когдая рассказал быстреньковведение в теорию Блоха, один из студентов-физиков-четверокурсников (хотя курс по идее третьего года) радостно возопил "Наконец-то я понел ту муть, которой меня учили на condensed matter!!" Увы, все это в прошлом. Сейчас количество студентов в курсе выросло раза в 2, и резко изменился состав: подавляющее большинство китайцев, причем не будущих физиков-астрономов-химиков-, а мечтающих поступить на мастера или PhD на финансистов, со слабой математической подготовкой, и со склонностью к жульничеству (но без умения; если б я их сдавал в офис академической честности по доллару за голову, то был бы богат как Безос (почти)).