Функциональный анализ в квантовой механике

[physicsworks]

Alex-Yu, ну это конечно да, но я все же имел ввиду доказательство спектральной теоремы как математической теоремы. А применительно к квантовой механике вы все верно пишите, только боюсь математикам такая физическая точка зрения не очень понравится.

[g______d]

Alex-Yu в сообщении #1462216 писал(а):

Чисто физическое требование, математика вообще ни при чем.

Ну я поэтому и сформулировал это как "часть формализации".

Тем не менее, мне кажется, что утверждения "в реальных физических системах спектральная теорема верна" может быть недостаточно. На самом простом примере: предположим, что мы ищем зоны проводимости какого-то кристалла (в одноэлектронном приближении сильной связи). Мы знаем, что реальный кристалл конечен, все волновые функции локализованы, просто потому что гамильтониан является эрмитовой матрицей размера $(10^{23})^3\times (10^{23})^3$ (разумеется, это тоже идеализация). Но толку с этого? Не будете же Вы диагонализовывать эту матрицу. Скорее всего, в первом приближении будет рассматриваться бесконечный кристалл, для которого есть теорема Блоха и т. п., для которого есть простые и ясные собственные функции (не локализованные), а дальше уже рассматриваться соответствие этой модели реальности.

Но это относительно простая модель. Думаю (ну то есть знаю), что есть модели, в которых "идеализированный" гамильтониан в бесконечном объёме пишется легко и хочется работать именно с ним, спектральная теорема для него тоже верна из общей теории, но прямого способа доказательства этой теоремы нет. И спектральная мера может быть очень экзотической. Тем не менее, какие-то качественные описания спектра возможны, и следствия этих описаний могут быть физически проверяемы.

[Alex-Yu]

g______d в сообщении #1462205 писал(а):

Достижение фон Неймана в доказательстве общей спектральной теоремы для самосопряжённых операторов (которую он называет разложением единицы).

Это, конечно же, действительно большое математическое (!) достижение фон Неймана. Но к КМ и вообще к физике имеющее разве что крайне косвенное отношение.

-- Ср май 13, 2020 07:18:55 --

g______d в сообщении #1462219 писал(а):

Скорее всего, в первом приближении будет рассматриваться бесконечный кристалл, для которого есть теорема Блоха

Теорема Блоха ни в коем случае не связана с бесконечностью кристалла. Возьмите конечный и наложите периодические гранусловия. И все получится.

-- Ср май 13, 2020 07:20:33 --

g______d в сообщении #1462219 писал(а):

спектральная теорема для него тоже верна из общей теории, но прямого способа доказательства этой теоремы нет.

А в таком доказательстве нет нужды. Запишите нужный оператор через спектральное разложение (верное априори) и готово!

-- Ср май 13, 2020 07:22:24 --

g______d в сообщении #1462219 писал(а):

в бесконечном объёме пишется легко и хочется работать именно с ним,

Во-первых, в бесконечном объеме операторы пишутся сложнее всегда. Во-вторых, "хочется" -- не аргумент.

[g______d]

Alex-Yu в сообщении #1462220 писал(а):

Возьмите конечный и наложите периодические гранусловия. И все получится.

Да, я знаю про этот факт, но предпочитаю не называть его теоремой Блоха. В данном конкретном примере всё получается. Периодические граничные условия в каком-то смысле и описывают бесконечный кристалл, дискретизируя квазиимпульс.

Но более сложные объекты (квазикристаллы) таким образом изучать не получится: специальных выделенных граничных условий нет.

-- Вт, 12 май 2020 17:23:48 --

Alex-Yu в сообщении #1462220 писал(а):

Запишите нужный оператор через спектральное разложение (верное априори) и готово!

Я не понимаю, что значат эти слова. Есть какая-то сложная система из многих частиц с очень сложным гамильтонианом, у которого, допустим, теоретически известно, что есть система из $2^{10^{23}}$ собственных функций (спиновая цепочка), которую в принципе невозможно вычислить. В качестве упрощённой модели выписывается какой-то эффективный гамильтониан (путём махания руками или пренебрежением какими-то членами). Теперь что-то хочется сказать про собственные функции нового гамильтониана, которые а приори не даны.

-- Вт, 12 май 2020 17:25:53 --

Alex-Yu в сообщении #1462220 писал(а):

Во-первых, в бесконечном объеме операторы пишутся сложнее всегда.

Не согласен. Если у меня есть трансляционно инвариантный оператор в бесконечном объёме, я достаточно легко его диагонализую с помощью теоремы Блоха. Если Вы сузите его на коробку, размеры и граничные условия которой не согласованы с периодичностью -- уже намного сложнее, появятся поверхностные моды и т. п.

[Alex-Yu]

g______d в сообщении #1462221 писал(а):

Я не понимаю, что значат эти слова.

Что такое спектральный проектор понимаете? Вот через него и запишите оператор. По определению. В физике обычно, апроксимируя спектр дискретным, это вообще записывают просто:

$$ \hat{A} = \sum_n |n\rangle A_n \langle n | $$

Это определение любого квантовомеханического оператора наблюдаемой $\hat{A}$. При таком определении спектральная теорема тривиальна. Разве что смысл суммы требует уточнения при наличии непрерывного спектра. Но всегда систему можно загнать в ящик и не париться.

[g______d]

Alex-Yu в сообщении #1462222 писал(а):

Вот через него и запишите оператор.

Так а как я найду этот спектральный проектор? Мне дан гамильтониан. Изначально не диагонализованный.

[Alex-Yu]

g______d в сообщении #1462223 писал(а):

Мне дан гамильтониан

Кем дан? Г. Богом????

[g______d]

Alex-Yu в сообщении #1462222 писал(а):

Разве что смысл суммы требует уточнения при наличии непрерывного спектра.

А для сингулярно непрерывного ещё сложнее.

Alex-Yu в сообщении #1462222 писал(а):

Но всегда систему можно загнать в ящик и не париться.

Не всегда.

Alex-Yu в сообщении #1462224 писал(а):

Кем дан? Г. Богом????

Физиками.

[Alex-Yu]

g______d в сообщении #1462221 писал(а):

, размеры и граничные условия которой не согласованы с периодичностью

И кто ж заставляет брать несогласованную...

-- Ср май 13, 2020 07:40:52 --

g______d в сообщении #1462225 писал(а):

Физиками.

Т.е. вы вообще не физик? А-а-а-а... Ничего не имею против занятий чистой математикой. Отношусь к таким занятиям с глубочайшим почтением. Только с физикой эти занятия не надо смешивать.

[g______d]

Alex-Yu в сообщении #1462226 писал(а):

И кто ж заставляет брать несогласованную...

Если система и так периодическая, то, на мой взгляд, проще работать сразу в бесконечном объёме.

А если не периодическая, то согласованной может вообще не быть. Возьмите, например, модель Андерсона.

-- Вт, 12 май 2020 17:46:43 --

Alex-Yu в сообщении #1462226 писал(а):

Т.е. вы вообще не физик?

По факту, видимо, нет (без иронии). Но достаточно много экзаменов по физике сдавал в университете. К работающим физикам себя, разумеется, не причисляю, но довольно часто с ними что-то обсуждаю.

-- Вт, 12 май 2020 17:56:56 --

Alex-Yu в сообщении #1462226 писал(а):

Отношусь к таким занятиям с глубочайшим почтением. Только с физикой эти занятия не надо смешивать.

Я стараюсь разделять. Но грань немного размывается. Мне казалось, что даже физики иногда изучают идеализированные гамильтонианы в бесконечном объёме. Хотя бы в учебниках по КМ и ФТТ.

Поскольку ничего бесконечного в природе не бывает, возникает естественный вопрос, а удовлетворяют ли эти идеализированные гамильтонианы основным положениям КМ (или её математической формализации). Какие-то вещи для них может быть посчитать сложнее, а какие-то проще, поэтому они могут быть полезными.

-- Вт, 12 май 2020 18:10:16 --

Alex-Yu

Вообще, я не планировал сильно углубляться в этот спор. Ясно же, что решать, нужна ли лично Вам спектральная теорема, лично Вам. Я скорее не согласен с "blanket statements" про математиков, всю жизнь решающих одночастичное УШ. Мода уже поменялась, хотя от реальной физики она как отставала, так и будет отставать.

По поводу общей полезности формализации -- я не вижу принципиальной разницы между классической и квантовой механикой. Классическая механика сильно выиграла от формализации на языке симплектических многообразий и т. п. до уровня теорем. У КТП формализации на этом уровне нет. Но у квантовой механики-то есть. Почему бы не воспользоваться тем, что фон Нейман придумал, бесплатно?

[Eule_A]

Извините, я вклинюсь в этот интересный разговор. Сначала просто с просьбой не понижать уровень

g______d в сообщении #1462227 писал(а):

Классическая механика сильно выиграла от формализации на языке симплектических многообразий и т. п. до уровня теорем. У КТП формализации на этом уровне нет. Но у квантовой механики-то есть. Почему бы не воспользоваться тем, что фон Нейман придумал, бесплатно?

Я коротко выскажу своё мнение по этому поводу. Наверное, классическая механика выиграла. Физика часто обогащалась, когда в неё приходили со своим знанием математики. Но лично я вижу большую проблему в том, что книги по механике, например, сейчас скорее выглядят, как книги по математике. Хотя механика - это часть физики (я знаю, что есть и другая точка зрения, но, пожалуй, не встречал её ни у одного физика). Всегда приятно знать, что некоторое утверждение приобрело прочный математический фундамент. Однако было бы неплохо, если бы берущиеся за эти дела математики - раз уж они взялись за это - доводили свои рассуждения до того, что можно было бы "потрогать руками". Ну, элементарно привести несколько конкретных примеров того, как работает та или иная теорема.

Так это механика классическая. Применительно к квантовой теории всё это ещё страшнее выглядит. Понятно, что для занятий теоретической физикой определённый уровень математической культуры необходим. Но всё-таки физик (даже теоретик) - это не профессиональный математик. И требовать, чтобы он думал, как математик, и свои результаты формулировал, как математик - это по меньшей мере странно. Равно как противоестественно, на мой взгляд, читать учебник по квантовой механике, который можно издали перепутать с учебником функционального анализа. Опять-таки, мера должна быть. Скажем, я бы предпочёл видеть такую последовательность: "Есть вот такое-то утверждение <детальное физическое описание>. С точки зрения математики - это вот то-то <пара страниц мелкого шрифта>. На основе этих утверждений имеем <набор физических следствий>".

[pogulyat_vyshel]

Eule_A в сообщении #1462230 писал(а):

Однако было бы неплохо, если бы берущиеся за эти дела математики - раз уж они взялись за это - доводили свои рассуждения до того, что можно было бы "потрогать руками". Ну, элементарно привести несколько конкретных примеров того, как работает та или иная теорема.

назовите пожалуйста книги по механике,в которых этого не делается , две три хотя бы ,раз вы во множественном числе говорите

[Alex-Yu]

Eule_A в сообщении #1462230 писал(а):

Но лично я вижу большую проблему в том, что книги по механике, например, сейчас скорее выглядят, как книги по математике. Хотя механика - это часть физики (я знаю, что есть и другая точка зрения, но, пожалуй, не встречал её ни у одного физика).

Одного такого физика я могу вам предоставить, это я Конечно, формально классическая механика -- часть физики. Но по нынешним временам это физически бессодержательная часть физики. Все там понятно, никаких хоть сколь-нибудь нерешенных физических проблем там нет. Математики занимаются всякими симплектическими многообразиями и, быть может, еще чем, ну и хорошо, наверное им, математикам, это зачем-то надо. Мое искреннее почтение и я даже может быть при случае этим поинтересуюсь. Если свободное время будет. Для работы же у меня с классической механико, если частиц не очень много (ну, скажем, не более нескольких тысяч), дело обстоит так. Все без проблем сводится к системе ОДУ. В компьютер ее и по Рунге-Куту! И нечего тут голову ломать, просто ни зачем это не надо! Нет, бывают экзотические эффекты вроде Джанибекова. Но это некий курьез, игрушка, не более того. Кстати, тоже можно в компьютер. Поэтому если и можно что-то содержательное говорить о классической механике (исключая механику сплошной среды, быть может), то только как о разделе математики, как раздел физики она тривиальна. При этом от того, что кто-то к этой механике притянул, например, симплектическую геометрию, с физической точки зрения не изменилось вообще ничего. С математической точки зрения, быть может, это интересно. С физической -- нет. В общем физику достаточно того, что написано в тоненьком первом томе ЛЛ. Остальное полезно для общего развития, как элемент общей культуры, примерно также полезно, как, например, теория музыки, но ни чуть-чуть не обязательно.

-- Ср май 13, 2020 14:38:58 --

g______d в сообщении #1462227 писал(а):

а удовлетворяют ли эти идеализированные гамильтонианы основным положениям КМ

В принципе да, могу согласиться. Только вопрос стоит совсем наоборот, не так, как обычно в математике: не какие спектральные свойства этого оператора, а являются ли эти свойства такими, какие должны быть. Не являются? Тогда в топку такой гамильтониан, он не стОит того, чтобы чернила на него тратить. Точнее это вообще не гамильтониан. Если патология возникла из-за бесконечного объема, то в топку бесконечный объем. Всегда можно обойтись конечным. Ну и т.д. в том же духе. Ели у гамильтониана плохие свойства, то надо заменить гамильтониан. А не "биться" с проблемой, что делать с таким оператором, с этими плохими свойствами.

[Eule_A]

Alex-Yu в сообщении #1462246 писал(а):

Одного такого физика я могу вам предоставить, это я

Хорошо, буду иметь в виду Хотя думаю, что мы не так уж сильно расходимся.

Alex-Yu в сообщении #1462246 писал(а):

Поэтому если и можно что-то содержательное говорить о классической механике (исключая механику сплошной среды, быть может), то только как о разделе математики

Тогда это нужно и называть по-другому. "Математические основы теоретической механики" - вроде как у Арнольда. Чтобы не вводить в заблуждение почтенных граждан. Хотелось бы сразу понимать, когда ещё только берёшь книгу в руки: это книга по физике или по математике.

Я не соглашусь с тем, что механика физически бессодержательна. Механика по определению, как мне представляется, не может быть физически бессодержательной - в её обычном понимании (вот а-ля ЛЛ-1). Таковой она скорее становится (уже стала?) сейчас...

(Оффтоп)

Alex-Yu в сообщении #1462246 писал(а):

В общем физику достаточно того, что написано в тоненьком первом томе ЛЛ.

Один из моих преподавателей институтских говорил, что в курсе Ландау на первом томе сэкономили, что он мог бы быть потолще Но это уже отдельный вопрос.

[Alex-Yu]

Eule_A в сообщении #1462248 писал(а):

Я не соглашусь с тем, что механика физически бессодержательна.

Это в смысле тривиальности. Да, точнее сказать физически тривиальна. Так же как тривиальна, например, таблица умножения.

-- Ср май 13, 2020 14:51:21 --

g______d в сообщении #1462227 писал(а):

Почему бы не воспользоваться тем, что фон Нейман придумал, бесплатно?

Потому что жизнь коротка. И у физиков есть более важные с физической точки зрения дела, чем возня с доказательствами самосопряженности операторов.