Конечно, можно так построить некий самосопряженный оператор. Но будет ли это оператор импульса??? Будет ли это вообще физически осмысленный оператор? Тем более, что расширений много.
В одномерной задаче мало (однопараметрическое семейство), поскольку индексы дефекта
. А в высших размерностях уже много индексы дефекта
, но вот разумные применения по видимому имеют лишь квазипериодические
,
где
решетка периодов и т.д.
Тоже самое: если задать оператор Лапласа с областью определения
, т.е. такие, которые на границе обращаются в
вместе со своим градиентом, то там будет куча расширений, но далеко не все будут интересны "нормальному" математику.
А зачем нужны квазиперодические функции--это нужно для решения осмысленных задач (например изучения спектра из полос).
(Оффтоп)
Я читаю в течение довольно многих лет курс УЧП для нематематиков (включая околоматематиков). Несколько лет назад когдая рассказал быстреньковведение в теорию Блоха, один из студентов-физиков-четверокурсников (хотя курс по идее третьего года) радостно возопил "Наконец-то я понел ту муть, которой меня учили на condensed matter!!" Увы, все это в прошлом. Сейчас количество студентов в курсе выросло раза в 2, и резко изменился состав: подавляющее большинство китайцев, причем не будущих физиков-астрономов-химиков-, а мечтающих поступить на мастера или PhD на финансистов, со слабой математической подготовкой, и со склонностью к жульничеству (но без умения; если б я их сдавал в офис академической честности по доллару за голову, то был бы богат как Безос (почти)).