Любое состояние должно быть разложимо по собственным функциям любой физической величины. А как разложить по функциям, равным нулю на границе, функцию не равную нулю на этой границе
Вроде нет проблем. Ряд будет сходиться в
(в гильбертовом пространстве) в самом обычном смысле. А поточечной сходимости никто не обещал даже для более простых операторов.
-- Ср, 13 май 2020 15:26:34 --Гамильтониан это квадрат импульса с той же самой областью определения?
Тут тонкий момент (видимо, не равен). Но даже в тех ситуациях, когда гамильтониан равен квадрату импульса, их области определения не будут совпадать.
Но я не знаю, есть ли в этом проблема. Даже в случае самого обычного гамильтониана
он никакому квадрату импульса не равен (иногда можно определить формальный корень из оператора, но он будет нелокален и т. д.).
-- Ср, 13 май 2020 15:59:48 --Про импульс, кстати, интересно, я минут 10 тупил. Очевидно, что мы можем диагонализовать оператор
с условиями Дирихле на
. Его собственные функции будет
с собственными значениями
. Очевидно, что можно ввести формальный корень с теми же собственными функциями и собственными значениями
, он будет самосопряжённым оператором (на естественной области определения). Но ясно, что он не будет оператором
(потому что при дифференцировании синус превратится в косинус). Почему так происходит, и в чём отличие от периодических граничных условий (окружность), на которой импульс будет операторным корнем?
Ответ примерно такой: спектр Лапласа на окружности двукратно вырожден. В каждом собственном подпространстве он действует как
, где
-- единичная матрица
. Если мы ищем корень из Лапласа, коммутирующий с Лапласом, самым простым вариантом был бы
или
, но не далеко не единственным. Например, можно взять
, или
, или даже
. Одна из таких матриц будет нужным оператором
.
С другой стороны, спектр Лапласа на отрезке невырожден. Поэтому в каждом подпространстве у нас намного меньше произвола выбрать корень, и его не достаточно, чтобы переставить синус с косинусом.
Чем-то напоминает ситуацию с оператором Дирака. Если мы просто берём корень из Лапласа, он будет нелокальным оператором со всеми сопутствующими проблемами. А если мы вводим спиновую степень свободы, мы получаем несколько копий Лапласа и дополнительное вырождение спектра, которое позволяет взять в качестве оператора Дирака нетривиальный матричный корень, который будет локальным оператором (дифференциальным). Разумеется, я сильно упрощаю ситуацию, но мне кажется, что явление похожее.