Разумеется, если речь идет о замыкании в
(области то плотны в
).
ОК. Вроде этого достаточно для физической осмысленности КМ. Хотя я еще подумаю. Теперь бы понять, что такое оператор импульса на конечном отрезке.
(с учетом расширения области определения)? Не очевидно! Отнюдь. А потом, даже если так, то какой из семейства?
И все же интуитивно это странно. Берем множество функций. Добавляем в него дополнительные функции. А замыкание от такой добавки не меняется. В некотором смысле получается, что мы вообще ничего не добавили. Так может быть только если мы добавили предельные точки исходного множества. А зачем их тогда добавлять... Несимпатично это все как-то, есть в этом какое-то излишество
Может лучше как-нибудь иначе? Например, самосопряженность чем-нибудь другим заменить?
Между прочем, если гамильтониан
еще можно (предположительно) определить не на всем пространстве состояний, а только на плотном в нем множестве, то
должен быть определен именно на всем пространстве. Иначе будут состояния, у которых не определена динамика. Что физически есть нонсенс. Это кстати означает, что экспоненту нельзя определять через ряд. У ряда, очевидно, такая же область определения как у гамильтониана.