===========ММ246===============ММ246 (7 баллов)
Сколько (с точностью до подобия) существует разносторонних треугольников, разрезаемых на два равнобедренных более чем одним способом?
РешениеПривожу решения Константина Шамсутдинова, Виктора Филимоненкова и авторское.
Обсуждение ММ246 оказалась трудным орешком. Половина конкурсантов потеряли нужные (нашли лишние) треугольники.
Особенно странным оказалось именно приобретение лишних решений. Ведь, в отличие от потери нужных, эта ошибка легко проверяется.
Правда, за один (наиболее удививший меня) лишний треугольник я не стал штрафовать нашедшего его участника. Речь идет о прямоугольном равнобедренном треугольнике, который, в силу своей равнобедренности, в ответ включен не был, но в остальном, по мнению приведшего его участника, удовлетворял условию (?!).
Кстати, требование разносторонности треугольника попало в условие только на основании того, что я так и не смог решить считать ли, например, биссектрисы углов при основании треугольника с углами 36, 72, 72 градуса разными разрезами.
Мне представляется, что задача становится проще, а перебор прозрачнее, если сразу договориться об упорядочивании углов исходного треугольника.
К моему удивлению этим путем пошли менее половины участников. Тем не менее, некоторые из тех, кто не упорядочивал углы исходного треугольника, добрались до верного ответа
Любопытно, что в ответ пошло два треугольника, где требуемые разрезы выходят из разных вершин, и один с разрезами,исходящими из одной вершины.
К вопросу о красоте.
ММ246, с моей точки зрения, одна из лучших в текущем конкурсе. Но с этим мнением согласны не все. Что ж, как говорится, о вкусах не спорят.
Спорить не буду, но попробую проаргументировать свои предпочтения.
Часто наличие нескольких, а не одного решения - безусловный минус задачи. Так было бы, например, с ММ244. И я был бы согласен с теми, кто поставил мне в вину наличие нескольких решений, если бы решений на самом деле было больше одного.
Но для ММ246 наличие трех решений кажется украшением, а не дефектом задачи. Ведь они - принципиально разные.
Например, два равнобедренных треугольника с углами 36, 72, 72 (градусов) и 36, 36, 108 (градусов) - разные, но не принципиально. Каждый из них возникает при разрезании другого на два равнобедренных.
А для разносторонних, попавших в ответ это не так.
Ну и треугольник с наименьшим углом
, IMHO, сам по себе красив в качестве ответа.
Свою позицию я прояснил. Готов выслушать аргументы противоположного толка.
НаградыЗа решение задачи ММ246 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Александр Домашенко - 7;
Анатолий Казмерчук - 7;
Константин Шамсутдинов - 7;
Мераб Левиашвили - 7;
Виктор Филимоненков - 7;
Валентина Колыбасова - 5;
Валентин Пивоваров - 5;
Владислав Франк - 5;
Анна Букина - 5;
Владимир Дорофеев - 4.
Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла
– фиксированное натуральное число. Для натуральных n определим функцию 
и 
.
и какие целые числа могут быть этими значениями? (Целые значения 
целых значениях 
ровно 13 целых чисел.
, для которых рассматриваемая дробь будет целым числом, разумеется, не означает, таких целых чисел для каждого 
ровно один элемент - двойка!
– некоторая перестановка 2020-элементного множества. Может ли уравнение 
иметь ровно 2020 решений?
всегда возвращает количество диагоналей выпуклого многогранника с вектором граней 
. 
