В Математическом Марафоне была
задача ММ183, обобщения которой привели к добавлению двух последовательностей в OEIS:
А сейчас, пожалуйста:
A231074 и
A231085.
yadryara прав в том, что такого рода последовательности предполагают и обобщение на иное число слагаемых.
То бишь надо сразу сосчитать несколько первых членов для тройных сумм и тоже их занести в OEIS.
В связи с недавним
вопросом на MO, хочу реанимировать обсуждение обобщений ММ183 и вышеупомянутых последовательностей в OEIS.
Вкратце вопрос на MO касается подсчёта классов эквивалентности весовых функций, определённых на множестве
размера
(т.е. функции из
в
) и распространённых по аддитивности на подмножества этого множества.
Весовые функции
называются эквивалентными, если
для всех
.
Если мы в определении эквивалентности ограничимся случаем
, то получается почти
A231074. Дело в том, что всякий класс эквивалентности весовых функций задаёт некоторый нестрогий порядок на подмножествах размера 2, но этот порядок, похоже, может быть неединственным. А именно, если в классе все функции говорят, что веса
и
равны, то эти два множества могут идти друг за другом в любом порядке. И похоже, что такие классы существуют.
Другими словами, если обозначить через
количество таких классов эквивалентности, то
, и, скорее всего, неравенство становится строгим с ростом
.
Предлагаю:
- доказать, что для достаточно больших (каких?) ;
- вычислить для маленьких и добавить как новую последовательность в OEIS.
P.S. A231074 также требует, чтобы веса всех элементов
были различны, что может не выполняться в общем случае.