2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 ММ183, A231074 и классы эквивалентности весовых функций
Сообщение04.12.2019, 18:13 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5702
В Математическом Марафоне была задача ММ183, обобщения которой привели к добавлению двух последовательностей в OEIS:

kknop в сообщении #785519 писал(а):
VAL в сообщении #785473 писал(а):
А сейчас, пожалуйста: A231074 и A231085.

yadryara прав в том, что такого рода последовательности предполагают и обобщение на иное число слагаемых.
То бишь надо сразу сосчитать несколько первых членов для тройных сумм и тоже их занести в OEIS.

В связи с недавним вопросом на MO, хочу реанимировать обсуждение обобщений ММ183 и вышеупомянутых последовательностей в OEIS.

Вкратце вопрос на MO касается подсчёта классов эквивалентности весовых функций, определённых на множестве $S$ размера $n$ (т.е. функции из $S$ в $\mathbb{R}$) и распространённых по аддитивности на подмножества этого множества.
Весовые функции $f_1, f_2$ называются эквивалентными, если $f_1(T_1) \leq f_1(T_2) \Longleftrightarrow f_2(T_1) \leq f_2(T_2)$ для всех $T_1, T_2 \subseteq S$.

Если мы в определении эквивалентности ограничимся случаем $|T_1|=|T_2|=2$, то получается почти A231074. Дело в том, что всякий класс эквивалентности весовых функций задаёт некоторый нестрогий порядок на подмножествах размера 2, но этот порядок, похоже, может быть неединственным. А именно, если в классе все функции говорят, что веса $T_1$ и $T_2$ равны, то эти два множества могут идти друг за другом в любом порядке. И похоже, что такие классы существуют.
Другими словами, если обозначить через $e_2(n)$ количество таких классов эквивалентности, то $e_2(n)\leq \texttt{A231074}(n)$, и, скорее всего, неравенство становится строгим с ростом $n$.

Предлагаю:
  • доказать, что $e_2(n) < \texttt{A231074}(n)$ для достаточно больших (каких?) $n$;
  • вычислить $e_2(n)$ для маленьких $n$ и добавить как новую последовательность в OEIS.

P.S. A231074 также требует, чтобы веса всех элементов $S$ были различны, что может не выполняться в общем случае.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group