Обсуждение и разбор марафонских задач

[VAL]

===========ММ259===============

ММ259 (8 баллов)

Может ли треугольник с вершинами в центроиде и центрах вписанной и описанной окружностей некоторого треугольника быть
a) равновелик;
б) подобен;
в) равен
исходному?

Решение

Привожу решения Дениса Овчинникова, Владислава Франка и Анатолия Казмерчука.

Обсуждение

Как обычно, к концу соревнования (или очередного этапа, кому как нравится) марафонцы начали потихоньку уставать и сходить с дистанции.
Зато оставшиеся участники порадовали разнообразием подходов.
Например, Влад Франк прибегнул к комплексной параметризации. Аналогичный прием, примененный при решении ММ157 (см. разбор), привел к короткому изящному решению. Удалось ли добиться такого же эффекта для ММ259, судите сами.

Некоторое расхождение в оценках связано со строгостью обоснования последнего пункта.
За одним исключением. У Виктора Филимоненкова все обосновано строго. Но он почему-то рассмотрел треугольник с вершинами в центрах вписанной и описанной окружностей и в ортоцентре (а не центориде, как было в условии).
Такой треугольник не может быть не только равен, но и подобен исходному.

Для полноты картины замечу, что треугольник с вершинами в центроиде, инцентре и ортоцентре, так же как и треугольник из условия, может быть равновелик и подобен, но не равен исходному.
В параметризации A(-1;0), B(1;0), C(x;y), где $0 \le x<1, (x+1)^2+y^2 \le 4$, единственному треугольнику с вершинами в центроиде, инцентре и ортоцентре, подобному исходному соответствует С(0.6367873395...; 0.5201582408...).
Наконец, треугольника с вершинами в центроиде, ортоцентре и центре описанной окружности не существует, поскольку эти точки лежат на прямой Эйлера.

Любопытно, что, если в указанной параметризации взять C(0.3246129395..., 0.4677703801...), треугольник с вершинами в ортоцентре и двух точках Аполлония (изодинамических центрах) подобен исходному с коэффициентов подобия довольно близким к 1.

Я полагаю, что никакой треугольник не может быть равен треугольнику с вершинами в каких-то трех своих замечательных точках. Но пока проверил не все сочетания замечательных точек из ETC (а там порядка 40000 центров) по три

Награды

За решение задачи ММ259 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 9;
Владислав Франк - 8;
Денис Овчинников - 8;
Константин Шамсутдинов - 7;
Виктор Филимоненков - 5.

Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла

[vlad239]

VAL в сообщении #1490274 писал(а):

Аналогичный прием, примененный при решении ММ257 (см. разбор), привел к короткому изящному решению.

В студию решение этой графской задачи с помощью комплексной геометрии!!!

(вероятно имелось в виду какое-то другое число, не 257)

[nnosipov]

VAL в сообщении #1490274 писал(а):

Удалось ли добиться такого же эффекта для ММ259, судите сами.

Вполне. Очень удачная параметризация. Правда, я бы дальше рассуждал совсем примитивно: подсчитаем квадраты длин сторон для исходного треугольника и затем для другого треугольника; напишем $6=3!$ систем полиномиальных уравнений и с помощью пакета Groebner из Maple аккуратно докажем, что ни одна из этих систем не имеет решений с $|a|=|b|=1$. Возня с результантами хуже, поскольку могут появляться лишние корни, и с ними надо разбираться отдельно.

Upd. Имелся в виду п. в) задачи.

[VAL]

vlad239 в сообщении #1490282 писал(а):

VAL в сообщении #1490274 писал(а):

Аналогичный прием, примененный при решении ММ257 (см. разбор), привел к короткому изящному решению.

В студию решение этой графской задачи с помощью комплексной геометрии!!!

(вероятно имелось в виду какое-то другое число, не 257)

Конечно, 157. Поправил.

[Masik]

VAL в сообщении #1490274 писал(а):

Я полагаю, что никакой треугольник не может быть равен треугольнику с вершинами в каких-то трех своих замечательных точках. Но пока проверил все сочетания замечательных точек из ETC (а там порядка 40000 центров) по три

40000 центров? И Вы проверили все их сочетания по три? Для всех видов треугольников? Не понимаю даже, как возможно написать 40000 формул. Это подвиг!

[VAL]

Masik в сообщении #1490290 писал(а):

VAL в сообщении #1490274 писал(а):

Я полагаю, что никакой треугольник не может быть равен треугольнику с вершинами в каких-то трех своих замечательных точках. Но пока проверил все сочетания замечательных точек из ETC (а там порядка 40000 центров) по три

40000 центров? И Вы проверили все их сочетания по три? Для всех видов треугольников? Не понимаю даже, как возможно написать 40000 формул. Это подвиг!

И этот подвиг поправил.

[vlad239]

nnosipov в сообщении #1490285 писал(а):

Правда, я бы дальше рассуждал совсем примитивно: подсчитаем квадраты длин сторон для исходного треугольника и затем для другого треугольника; напишем $6=3!$ систем полиномиальных уравнений и с помощью пакета Groebner из Maple аккуратно докажем, что ни одна из этих систем не имеет решений с $|a|=|b|=1$.

Дело в том, что я стараюсь минимизировать помощь матпакетов и программизма в своих решениях. И, допустим, посчитать результант размера 6*6 я в принципе готов вручную, а вот крутить вручную шесть базисов Гребнера - не хотел бы.

[VAL]

===========ММ260===============

Задача ММ260 обобщает и развивает ММ231

ММ260 (12 баллов)

Пусть $ABC$ – некоторый треугольник, точки $K, L, M$ лежат соответственно на прямых $AB, BC$ и $AC$, а $s$ – некоторое действительное число, отличное от 0 и 1. Треугольник $KLM$ будем называть подобно-вписанным в треугольник $ABC$, если:
$AK=sAB, BL=sBC, CM=sCA$;
треугольник $KLM$ подобен треугольнику $ABC$.
Сколько подобно вписанных треугольников может быть у произвольного треугольника?

Решение

Привожу решения Дениса Овчинникова, Анатолия Казмерчука и авторское.

Обсуждение

ММ260 - плод присущего ведущему духу противоречия. Это ответ на реакцию ряда марафонцев на ММ231, не усмотревших у этой задачи интересных обобщений.
Судя по тому, что ММ260 конкурсантам понравилась, "месть" удалась.

Некоторые затруднения, возникшие у участников, оказались связаны с исследованием частного случая, когда исходный треугольник равнобедренный, но не равносторонний.
Все марафонцы заметили, что количество подобно-вписанных треугольников для таких треугольников меньше, чем для разносторонних, не все правильно выяснили на сколько меньше.

В то же время, никто не прошел мимо класса автомедианных (см. авторское решение) треугольников. Я столкнулся с этим классом треугольников именно при решении данной задачи. То, что они называются автомедианными я узнал позже, от А. Д. Блинкова (хотя сразу обнаружил, что эти треугольники подобны треугольникам из своих медиан).
Кроме того, мне сразу бросилась в глаза масса замечательных свойств этих треугольников. Часть этих свойств приведена в авторском решении. Позже мы с Ярославом Сысосевым обнаружили еще море свойств (большинство из которых оказались нигде ранее не описаны).
Возможно, они пригодятся для новых марафонских задач. Поэтому я не буду приводить их здесь.

Награды

За решение задачи ММ260 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 13;
Денис Овчинников - 13;
Константин Шамсутдинов - 12;
Владислав Франк - 12;
Виктор Филимоненков - 11.

Эстетическая оценка задачи - 5 баллов

PS: В условие ММ260 на dxdy вкралась загадочная ошибка! (Загадочная, поскольку на других площадках, где публикуются условия, ее не было. Хотя условия просто копировались.)
Второе условие в определении подобно-вписанных треугольников на здешнем форуме выглядело: $AK=sAB, BL=sBC, CM=sAC$. Вместо правильного $AK=sAB, BL=sBC, CM=sCA$.
При такой интерпретации у равнобедренных треугольников действительно будет больше одного подобно-вписанного вписанного (проходит пример, приведенный ниже Владом Франком). Поэтому я вернул Владу ранее изъятые баллы. В то же время, я не стал возвращать балл Виктору, поскольку его упущение не связано с опечаткой в условии (если я опять чего-то не прозевал).

[VAL]

Завершен XXVI конкурс в рамках Математического марафона.

Уверенную победу одержал Анатолий Казмерчук.

Виват победителю и его достойным конкурентам!

Итоговое положение участников в XXVI конкурса в рамках Математического марафона
\begin{tabular}{|l|l|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|} \hline №& Участники& 251 & 252 & 253 & 254 & 255 & 256 & 257 & 258 & 259 & 260 & \Sigma \\ \hline & \textit{Номинал задачи} & \textit{3} & \textit{4} & \textit{5} & \textit{6} & \textit{7} & \textit{8} & \textit{9} & \textit{7} & \textit{8} & \textit{12} & \textit{69} \\ \hline 1.& Анатолий Казмерчук & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 10 & 10 & 8 & 9 & 13 & 80 \\ \hline 2.& Владислав Франк & 3 & 4 & 5 & 7 & 8 & 8 & 9 & 8 & 8 & 12 & 72 \\ \hline 3.& Константин Шамсутдинов & 3 & 4 & 5 & 6 & 10 & 8 & 9 & 7 & 7 & 12 & 71 \\ \hline 4.& Денис Овчинников & - & 5 & 5 & 5 & 8 & 8 & 9 & 7 & 8 & 13 & 69 \\ \hline 5.& Виктор Филимоненков & 3 & 4 & 4 & 6 & 7 & 8 & 9 & 7 & 5 & 11 & 64 \\ \hline 6.& Олег Полубасов & 3 & 5 & 4 & 7 & 9 & 8 & 8 & 8 & - & - & 52 \\ \hline 7.& Валентин Пивоваров & 1 & 1 & 5 & 4 & - & - & - & - & - & - & 11 \\ \hline 8.& Василий Дзюбенко & - & 4 & 5 & - & - & 5 & - & - & - & - & 9 \\ \hline 9.& Анна Букина & 1 & - & - & - & - & - & - & 7 & - & - & 8 \\ \hline 9.& vpb & - & - & - & - & - & 8 & - & - & - & - & 8 \\ \hline 11.& Владимир Дорофеев & 3 & - & - & - & 4 & - & - & - & - & - & 7 \\ \hline \end{tabular}

Еще четверо участников сошли с дистанции после первой задачи.

[vlad239]

Я все-таки чего-то не понимаю.

Вот у Вас написано

У равнобедренного, но не равностороннего треугольника всего один подобно-вписанный –срединный.

Давайте возьмем равнобедренный прямоугольный треугольник с вершинами (0,0), (1,1),(2,0) и разместим у него на сторонах точки (2/3,2/3),(4/3,2/3),(2/3,0). Получим равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом 2/3, разве нет?

[VAL]

vlad239 в сообщении #1492529 писал(а):

Вот у Вас написано

У равнобедренного, но не равностороннего треугольника всего один подобно-вписанный –срединный.

Совершенно верно.

Цитата:

Давайте возьмем равнобедренный прямоугольный треугольник с вершинами (0,0), (1,1),(2,0) и разместим у него на сторонах точки (2/3,2/3),(4/3,2/3),(2/3,0). Получим равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом 2/3, разве нет?

Да, равнобедренный, да, прямоугольный. Но не подобно-вписанный.
Там для двух делящих точек $s=\frac23$, а для одной $s=\frac13$.

Написал вышеизложенное и понял, что сейчас придется опять баллы Вам добавлять.
Таки аукнулась моя загадочная опечатка в условии. Загадочная, потому что попала лишь в одно из трех мест, где дублирую условия конкурсных задач.
Процитирую фрагмент своего письма Анатолию Казмерчуку:

Цитата:

[..] условия марафонских задач публикуются в трех местах. Оказалось, что на dxdy CM=sAС, а остальных двух местах правильное
CM=sCA. Что странно, учитывая, что условия просто копируются.
[..]
Сейчас править на dxdy не буду. Поздновато. А при обсуждении прокомментирую.

Собирался, но забыл

[vpb]

Отмечу, что условие задачи ММ260 было двусмысленным. Что, увы, помешало мне её решать. В самом деле, во-первых, в условии написано "лежат на прямых". Не указано, что эти точки лежат на сторонах, т.е. на отрезках $AB$, $BC$, $AC$. В решении же самого автора написано "лежат на сторонах". Во-вторых, как понимать запись $AK=sAB$ ? Я лично понял так, что это равенство для длин отрезков, т.е. $|AK|=s|AB|$ (где $|XY|$ обозначает длину отрезка $XY$, привет учебнику Колмогорова.). При таком расширенном (а на самом деле буквальном) понимании условия бывают и другие подобно вписанные треугольники, когда, скажем, две точки лежат внутри соответствующих сторон, а одна вовне. И возникает столько разных случаев, что решить потребовало бы слишком много времени. А ежели имелось в виду равенство для ориентированных отрезков, так можно было вверху значок вектора нарисовать (или горизонтальную черту, в крайнем случае).

-- 16.11.2020, 05:38 --

(На самом деле, конечно, оно не было двусмысленным, просто я его понял буквально, а автор имел в виду нечто другое).

[VAL]

vpb в сообщении #1492575 писал(а):

Отмечу, что условие задачи ММ260 было двусмысленным. Что, в частности, помешало мне её решать.

Соглашусь и возражу одновременно.
Согласен, что нужно формулировать аккуратнее. Это мой (и не только) бич.
А возражение заключается в том, что уточняющий вопрос - вполне в традициях Марафона.

Цитата:

В самом деле, во-первых, в условии написано "лежат на прямых".

Да, именно это и имелось в виду.

Цитата:

Не указано, что эти точки лежат на сторонах, т.е. на отрезках $AB$, $BC$, $AC$. В решении же самого автора написано "лежат на сторонах". Во-вторых, как понимать запись $AK=sAB$ ? Я лично понял так, что это равенство для длин отрезков, т.е. $|AK|=s|AB|$ (где $|XY|$ обозначает длину отрезка $XY$, привет учебнику Колмогорова.). При таком расширенном (а на самом деле буквальном) понимании условия бывают и другие подобно вписанные треугольники, когда, скажем, две точки лежат внутри соответствующих сторон, а одна вовне. И возникает столько разных случаев, что решить потребовало бы слишком много времени.

Да, про стороны написано, как минимум, неаккуратно. Но в той же фразе есть отсылка к тому, что коэффициент $s$ может быть любым действительным числом, отличным от 0 и 1, из которой ясно, что равенства типа $AK=sAB$, следует понимать, как равенства направленных отрезков. Повторюсь, согласен, что об этом следовало написать явно.

[vpb]

VAL в сообщении #1492579 писал(а):

из которой ясно, что

Гм. Практика показала, что это ясно не было. А я вроде в нашем городке не самый непонятливый. Бог с ним.

[vpb]

vpb в сообщении #1492581 писал(а):

ясно не было. А я вроде в нашем городке не самый непонятливый.

Сейчас что-то засомневался в себе, примерно как старушка в стихе:

С.Маршак писал(а):

Старушка присела, сама не своя,
И тихо промолвила: "Значит, не я!".

Просмотрел штук десять книжек насчет обозначений. В общем, единственное место, где есть что-то похожее --- это в книжке Ефимова (Краткий курс аналитической геометрии) величина направленного отрезка на прямой с направлением обозначается просто парой букв. Везде в остальных местах $AB$ --- это или сам отрезок $AB$, или, в школьных учебниках, его длина. В общем, я --- это я. Наверное, постоянные участники к используемым обозначениям уже привыкли, поэтому и поняли. А я вот нет.