Обсуждение и разбор марафонских задач

[VAL]

===========ММ241===============

ММ241 (4 балла)

При каких натуральных n множество $\{1, 2, …, n\}$ можно разбить на два подмножества так, что произведение элементов первого подмножества равно сумме элементов второго?

Решение

Привожу решения Александра Домашенко и Валентины Колыбасовой.

Обсуждение

На первую задачу юбилейного Марафонского конкурса поступило 10 решений.
Радует появление сразу троих новых участников. Огорчает исчезновение примерно такого же числа участников предыдущего конкурса. Призываю их подключиться к конкурсу со следующей задачи.

Задача ММ241 не вызвала затруднений у большинства конкурсантов.
Но был один момент, вызвавший разногласия участников. Он касается разрешимости задачи для значений $n=1$ и $n=3$.
Участники разделись на 3 категории:
первые (Константин Шамсутдинов и Владислав Франк) считают, что задача разрешима для каждого из этих $n$;
вторые (их большинство) полагают, что задача разрешима для $n=3$, но не для $n=1$;
наконец Александр Домашенко придерживается мнения, что задача не разрешима для обоих упомянутых $n$.

Александр не проаргументировал свое мнение, что постановка задачи имеет смысл, начиная с $n=4$. Полагаю, он отталкивался от бинарности операций сложения и умножения.
Аргументы Владислава и Константина - произведение элементов пустого множества равно 1, поэтому для $n=1$ можно поместить 1 в первое подмножество, а во второе не помещать ничего.
Я согласен с аргументом про произведение элементов пустого множества, но... В формулировке идет речь о разбиении. А в разбиении по определению участвуют только непустые подмножества.
Поэтому (а вовсе не из конформизма) я склонен присоединиться к большинству. Но при этом не снижал баллы тем, кто придерживается альтернативных мнений.

Дополнительные баллы начислены за успешный поиск разбиений, не попадающих под общее описание (упоминание наличия таких разбиений и прведение единичного примера не учитывались).
Мераб Левиашвили предложил несколько простых вариаций на тему задачи. Уточняю для него и других новичков Марафона, что дополнительными баллами такие предложения оцениваются при условии, что они содержат какие-то продвижения в указанных направлениях (ну, или если покажутся ведущему неожиданными и очень красивыми).

Напоминаю как новичкам, так и некоторым забывчивым старожилам, что я жду от вас эстетических оценок предлагаемых задач.

Награды

За решение задачи ММ241 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Александр Домашенко - 6;
Константин Шамсутдинов - 5;
Анатолий Казмерчук - 4;
Мераб Левиашвили - 4;
Виктор Филимоненков - 4;
Владислав Франк - 4;
Валентина Колыбасова - 4;
Антон Никонов - 4;
Владимир Дорофеев - 4;
Анна Букина - 2.

Эстетическая оценка задачи - 4.5 балла

[VAL]

===========ММ242===============

ММ242 (5 баллов)

На сайте проводится опрос, кого из $m$ номинированных футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует один раз за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста - доля голосов, отданных за него, в процентах, округленных до целого числа. После того, как проголосовали $n$ посетителей, суммарный рейтинг номинантов составил 95%.
a) При каком наименьшем $m$ такое возможно?
b) При каком наименьшем $n$ такое возможно?
c) При каком наименьшем $m+n$ такое возможно?

Решение

Привожу решения Анатолия Казмерчука и Валентины Колыбасовой.

Обсуждение

Судьбу задачи ММ242 решал ответ на 3-й вопрос. Придумав условие, я сразу для себя решил, что если в наименьшем $m+n$ не будут участвовать ни наименьшее $m$, ни наименьшее $n$, то задача будет достаточно интересна, а в противном случае - скучна. О том, что можно будет заменить в условии число 95 (взятое от фонаря) я в тот момент почему-то не думал.

Я был уверен, что наиболее сложен пункт c, и ожидал ошибок именно там. К чести конкурсантов с этим пунктом справились все. Но одному из участников неожиданно не покорился пункт b. Еще более неожиданной для меня были две попытки дать неверный ответ к пункту a, в связи с альтернативной трактовкой термина "округление". Мудрые составители ЕГЭ-шной задачи (коей навеяна ММ242) дали полное определение правил округления прямо в условии, а я был уверен, что у конкурсантов с этим проблем не будет...

Любопытны примеры, приведенные участниками в подтверждение ответа 11 к пункту a. В них встретились следующие значения $n$:
29 - 3 раза;
31 - 2 раза;
67 - 1 раз;
73 - 1 раз;
201 - 2 раза;
10000 - 2 рвза.

Я не стал штрафовать участников ни за неверное утверждение, что минимальное $n$, при котором достигается $m = 11$, равно 31 (ведь в задаче про это не спрашивалось), ни за краткость в обоснованиях, полагая, что ссылка на перебор, с правильным указанием границ перебора является (при наличии верного ответа) достаточным обоснованием.

Я ожидал достаточно массового упоминания того факта, что суммарный рейтинг может быть любым целым числом в пределах от 0 (например, каждый из 201 номинантов получил по 1 голосу) до 200 (например, каждый из 200 номинантов получил по 1 голосу). Однако данное утверждение обнаружилось лишь в одной работе и было поощрено дополнительным баллом.

Награды

За решение задачи ММ242 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 6;
Владимир Дорофеев - 6;
Александр Домашенко - 5;
Константин Шамсутдинов - 5.
Мераб Левиашвили - 5;
Владислав Франк - 5;
Валентина Колыбасова - 5;
Антон Никонов - 5;
Анна Букина - 5;
Валентин Пивоваров - 5;
Виктор Филимоненков - 4.

Эстетическая оценка задачи - 4.5 балла

[VAL]

Никто пока не прокомментировал ММ242.
Тогда, с Вашего позволения, начну я (собирался вставить это в обсуждение, но забыл).
Как вам такая ситуация:
201 один футболист номинирован на звание лучшего игрока года. Вовсю идет голосование, но суммарный рейтинг всех участников - 0.
Но тут одного футболиста исключают из числа номинантов (допинг нашли). И в тот же момент суммарный рейтинг остальных взлетает до 200.
?

[Ariadna H]

VAL в сообщении #1415011 писал(а):

Никто пока не прокомментировал ММ242.
Тогда, с Вашего позволения, начну я (собирался вставить это в обсуждение, но забыл).
Как вам такая ситуация:
201 один футболист номинирован на звание лучшего игрока года. Вовсю идет голосование, но суммарный рейтинг всех участников - 0.
Но тут одного футболиста исключают из числа номинантов (допинг нашли). И в тот же момент суммарный рейтинг остальных взлетает до 200.
?

Это достойно темы отдельной задачи.

[VAL]

===========ММ243===============

ММ243 (5 баллов)

В треугольнике ABC $a<b<c$ и $a\cdot l_a=c\cdot l_c$ Найти угол $\beta$.

Решение

Привожу решения Анатолия Казмерчука, Валентины Колыбасовой и Анны Букиной (только они не поленились сделать чертежи).

Еще одно решение (Виктора Филимоненкова) - пример одного из наиболее кратких решений:

Углы будем обозначать в градусах.
Удвоенная площадь треугольника равна $2S=a\cdot l_a \cdot \sin{\left(180-\left(\beta+\frac{\alpha}2\right)\right)}=a\cdot l_c \cdot \sin{\left(180-\left(\beta+\frac{\gamma}2\right)\right)}$, откуда, учитывая, что $a \cdot l_a=c \cdot l_c$, получаем равенство синусов.
Поскольку $\alpha$ и $\gamma$ разные углы, то равенство синусов возможно только в случае, если углы под синусами дают в сумме развернутый угол: $180-\left(\beta+\frac{\alpha}2\right)+180-\left(\beta+\frac{\alpha}2\right)=180.$
Учитывая, что $\alpha + \gamma = 180 - \beta$, получаем, что $\beta = 60$.

Обсуждение

Задача не вызвала затруднений у конкурсантов.
Зато присланные решения довольно разннобразны.
Тем самым, они оправдали ожидания ведущего, получившего данный результат в качестве побочного продукта при решении более сложной задачи.
Соответственно, и решение ММ243 получилось весьма громоздким. Искать более простые решения ведущий не стал (хотя подозревал, что они есть), доверив это участникам Марафона.

Награды

За решение задачи ММ243 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 6;
Александр Домашенко - 5;
Константин Шамсутдинов - 5;
Мераб Левиашвили - 5;
Владислав Франк - 5;
Валентина Колыбасова - 5;
Анна Букина - 5;
Валентин Пивоваров - 5;
Виктор Филимоненков - 5;
Антон Никонов - 3.

Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла

[VAL]

===========ММ244===============

ММ244 (6 баллов)

Галя предложила Ане, Боре и Васе такую загадку:
- Я задумала три попарно различных ненулевых цифры. Сейчас я по секрету сообщу Ане сумму квадратов, Боре произведение, а Варе сумму задуманных цифр. Попробуйте отгадать эти цифры.
Узнав сумму квадратов произведение и сумму, Аня, Боря и Вася сначала задумались, а затем разговорились:
А: Я не могу определить, что это за цифры.
Б: И я не могу.
В: И я тоже.
A: Тогда я их знаю!
Б: После этой реплики и я их знаю.
Что это за тройка цифр?
Примечание: У Ани, Бори и Васи все хорошо с арифметикой и логикой.

Решение

Привожу решения Анатолия Казмерчука и Константина Шамсутдинова.

Обсуждение

ММ244 оказалась первой задачей юбилейного конкурса, вызвавшей серьезные затруднения у участников. В отличие от большинства трудных задач из предыдущих конкурсов, затруднения не остановили конкурсантов и они прислали решения.
Тем самым, трудности возникли уже у ведущего:
найти ошибку в длинном правдоподобном решении;
разобраться в программе, написанной на неизвестном языке, и присланной вместо решения;
как оценивать логическую ошибку при верной арифметике;
как оценивать арифметическую ошибку при верной логике, не повлиявшую на ответ;
как оценивать арифметическую ошибку при верной логике, повлиявшую на ответ;
наконец, как оценить верный ответ при отсутствии решения.

Отмечу, что перечисленные ситуации (наряду с тему, которые не вызвали вопросов) встречаются в присланных решениях.

Наиболее коварный момент в задаче - второе заявление Бори.
Сразу несколько конкурсантов проигнорировали начало этого заявления... и получили лишние решения. Меня удивило, что это их не удивило (иначе они бы перепроверили свои рассуждения).

Представленные ниже призовые баллы - плод моих мучительных раздумий и рандомных порывов. Так что, не судите строго (как старался делать и я).

На FB можно найти несколько разновидностей ММ244, предложенных Константином Кнопом. Там же есть решение Олега Полубасова (ушедшего в марафонское подполье).

Награды

За решение задачи ММ244 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 7;
Константин Шамсутдинов - 6;
Мераб Левиашвили - 6;
Владислав Франк - 6;
Виктор Филимоненков - 5;
Анна Букина - 4;
Валентин Пивоваров - 4;
Валентина Колыбасова - 3;
Антон Никонов - 3;
Александр Домашенко - 3;
Лев Песин - 3.

Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла

[Masik]

Валентина, соберитесь! Я за Вас болею.

[Ariadna H]

Masik в сообщении #1417964 писал(а):

Валентина, соберитесь! Я за Вас болею.

Спасибо за поддержку! Я постараюсь. Но победит Анатолий Казмерчук.

[Masik]

Не важно, кто победит. Важно, кто получит от этого удовольствие.

[kotenok gav]

VAL в сообщении #1417925 писал(а):

Лев Песин - 3.

Я вообще не решал пока задачи 25 марафона (я не был временно на dxdy)...

[VAL]

kotenok gav в сообщении #1419080 писал(а):

VAL в сообщении #1417925 писал(а):

Лев Песин - 3.

Я вообще не решал пока задачи 25 марафона (я не был временно на dxdy)...

А кто же мне прислал код на Питоне от Вашего имени?

PS: С возвращением!

[kotenok gav]

Забыл тогда, наверное(

-- 04 окт 2019, 20:06 --

Киньте код, постараюсь вспомнить...

[VAL]

kotenok gav в сообщении #1419084 писал(а):

Забыл тогда, наверное(

Киньте код, постараюсь вспомнить...

См. в ЛС

[kotenok gav]

Точно, писал.

[VAL]

===========ММ245===============

ММ245 (5 баллов)

В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH.
Найти отношение площадей треугольников ABH и CBH, если первый из них подобен треугольнику из своих медиан, а второй – треугольнику из своих высот.

Решение

Привожу решения Анатолия Казмерчука, Валентины Колыбасовой (оба, как обычно, подробные, с чертежами) и Виктора Филимоненкова (как обычно, краткое, хотя и не самое краткое).

Обсуждение

ММ245 не вызвала больших затруднений у участников. Изъятые баллы - следствие, скорее, недостаточной аккуратности.
Хотя у меня были сомнения, стоит ли вообще изымать баллы. Ведь в условии сказано просто "найти отношение площадей", а не "найти отношение площади первого к площади второго".

Дополнительный балл добавлен за переформулировку задачи таким образом, чтобы ответ стал единственным.
У меня тоже возникало желание добиться единственности ответа. Но я не стал делать этого, решив отловить тех, кто потеряет один ответ. Капкан не сработал.

Награды

За решение задачи ММ245 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Александр Домашенко - 6;
Анатолий Казмерчук - 5;
Константин Шамсутдинов - 5;
Мераб Левиашвили - 5;
Виктор Филимоненков - 5;
Анна Букина - 5;
Валентина Колыбасова - 5;
Владимир Дорофеев - 5;
Владислав Франк - 4;
Валентин Пивоваров - 4.

Эстетическая оценка задачи - 4.3 балла