Пространство-время ОТО

[realeugene]

Geen в сообщении #1393422 писал(а):

Задан гомеоморфизм в область в $R^n$ (как часть карты). И для получения нужной функции нужно эту область в $R^n$ как-то спроецировать.

Ну а что такое $R^n$, строго говоря?

[Geen]

Munin в сообщении #1393386 писал(а):

Хотя обычно это само собой разумеется, в чём легко убедиться, заглянув в учебники.

Не помню ни одного учебника, где бы была фраза "градиент координаты" (кроме, может быть Фока) - так что для меня лучше тоже проговаривать...

-- 16.05.2019, 19:09 --

realeugene в сообщении #1393424 писал(а):

Geen в сообщении #1393422 писал(а):

Задан гомеоморфизм в область в $R^n$ (как часть карты). И для получения нужной функции нужно эту область в $R^n$ как-то спроецировать.

Ну а что такое $R^n$, строго говоря?

Обратите внимание в Вашей же цитате на слова "относительно координатного отображения"....
В итоге, получается примерно такое "зададим на многообразии функцию относительно координатного отображения"...

-- 16.05.2019, 19:11 --

Меня, кстати, долгое время вгоняли в ступор "гармонические координаты".
И по мне, "градиент координаты" примерно как "релятивистская масса".

[realeugene]

Geen в сообщении #1393428 писал(а):

В итоге, получается примерно такое "зададим на многообразии функцию относительно координатного отображения"...

Определение координатного отображения в учебнике чуть выше. И это было определение для области $C\subset R^n$, но координаты на областях метрического пространства авторы вводят аналогично, да, используя гомеоморфизм области многообразия в $R^n$, но не понимаю, зачем взятие $k$-го элемента кортежа (из которых и состоит $R^n$, формально говоря) при этом называть гордым словом "проекция"? Это, конечно, тоже проекция, но совершенно тривиальная. И даёт в результате ту самую функцию $x^k(P)$, которая упомянута в определении "координатного отображения".

[Munin]

Geen в сообщении #1393428 писал(а):

Не помню ни одного учебника, где бы была фраза "градиент координаты"

А "дифференциал координаты"?

[Guvertod]

Geen в сообщении #1393422 писал(а):

Строго говоря - нет.

Делать строгое различие между гомеоморфизмом из области в $R^n$ и набором соответствующих $n$ функций, отображающих из области в $R$ это уже как-то совсем... В любом случае, встречаются учебники и с тем и с другим.

Geen в сообщении #1393422 писал(а):

А другие "координаты"

Пока (ну, по крайней мере у меня в голове) речь шла про то, что координаты есть функции на области многообразия.
Для того, чтобы говорить про какое-то координатное представление тех или иных функций надо еще какие-то формальные слова сказать. Это второй вопрос.

Geen в сообщении #1393428 писал(а):

Не помню ни одного учебника, где бы была фраза "градиент координаты" (кроме, может быть Фока) - так что для меня лучше тоже проговаривать...

Это третий вопрос, тоже требующий определение градиента как минимум.

[Geen]

Guvertod в сообщении #1393455 писал(а):

В любом случае, встречаются учебники и с тем и с другим.

Я предпочитаю более строгие в математическом плане учебники (и более современные, к слову - "релятивистская масса"...) - наверное я просто тупой, и люблю когда мне всё проговаривают явно

Guvertod в сообщении #1393455 писал(а):

Делать строгое различие между гомеоморфизмом из области в $R^n$ и набором соответствующих $n$ функций, отображающих из области в $R$ это уже как-то совсем...

Для набора функций, вообще говоря, не определена топология. Так что разница есть ("непрерывность", "гладкость" - как бы не просто слова - вспомнить монстров из "топологических многообразий").

Guvertod в сообщении #1393455 писал(а):

Пока (ну, по крайней мере у меня в голове) речь шла про то, что координаты есть функции на области многообразия.
Для того, чтобы говорить про какое-то координатное представление тех или иных функций надо еще какие-то формальные слова сказать.

Наоборот. Не упоминая "координатное отображение" (конкретную карту, включающую вполне конкретный гомеоморфизм) нельзя назвать координату функцией на многообразии. (А ещё бы надо как-то эту "функцию" продолжить на всё многообразие за пределы карты - скажите мне долготу северного полюса).

-- 17.05.2019, 00:39 --

Munin в сообщении #1393433 писал(а):

Geen в сообщении #1393428 писал(а):

Не помню ни одного учебника, где бы была фраза "градиент координаты"

А "дифференциал координаты"?

Скорее всего нет...

[Guvertod]

Geen в сообщении #1393515 писал(а):

Так что разница есть

Все необходимые определения можно нужным образом ввести,ну не мешает ничто точку из $\mathbb{R}^n$ также считать набором $n$ чисел из $\mathbb{R}$.

Geen в сообщении #1393515 писал(а):

Не упоминая "координатное отображение" (конкретную карту, включающую вполне конкретный гомеоморфизм) нельзя назвать координату функцией на многообразии.

Я говорил про введение второго координатного отображения и запись функции в новых координатах.

Geen в сообщении #1393515 писал(а):

А ещё бы надо как-то эту "функцию" продолжить на всё многообразие за пределы карты

Вот это из всего этого формалистического спора единственный важный факт - координата она функция , вообще говоря, не на всем многообразии, в отличие от "скалярной функции на многообразии". Но достаточно и работать в этой области, если надо.

[Munin]

Geen в сообщении #1393515 писал(а):

Скорее всего нет...

Хорошо, а как в известных вам учебниках называлась 1-форма $dx^i$?

-- 17.05.2019 01:05:42 --

Guvertod
Нельзя ли всё-таки различать действительные числа $\mathbb{R}$ или $\mathbf{R},$ и произвольное кольцо $R$? В принципе, понятно, но глаз царапает.

[Geen]

Guvertod в сообщении #1393523 писал(а):

Все необходимые определения можно нужным образом ввести

Можно. Если это сделать явно (зачем-то).

Guvertod в сообщении #1393523 писал(а):

Я говорил про введение второго координатного отображения и запись функции в новых координатах.

Мы ещё и с одними координатами не разобрались толком...
А всякое "другое координатное отображение" это просто другая карта со всеми вытекающими из определения многообразия требованиями (не меньше, но и не больше).

Guvertod в сообщении #1393523 писал(а):

Но достаточно и работать в области, если надо.

А если надо вне - всё плохо? Так может ну её, такую функцию? И уж тем более не говорить "всё же очевидно" исходя из презумпции очень понятливого и очень дорожелательного "читателя" (многие учебники физики, кстати, этим грешат)?

[Guvertod]

Munin
Вообще, $dx^i(X)=X(x^i)$, а для вектора $X$ можно много разных определений, не только с координатным разложением по частным производным, математики выкрутятся.

[Geen]

Munin в сообщении #1393526 писал(а):

Хорошо, а как в известных вам учебниках называлась 1-форма $dx^i$?

Ну, если не путаю, в ЛЛ это даже 1-формой не называлось...
Не помню, в общем... и поиск по сканам не работает, увы...

Munin в сообщении #1393526 писал(а):

Нельзя ли всё-таки различать действительные числа $\mathbb{R}$ или $\mathbf{R},$ и произвольное кольцо $R$? В принципе, понятно, но глаз царапает.

Да, прошу прощения.

[Guvertod]

Geen в сообщении #1393530 писал(а):

Мы ещё и с одними координатами не разобрались толком

Ну так я про то же. Я высказался, чтобы хотя бы обсуждались конкретные определения. Но оказалось, что тут тоже есть какие-то "предпочтения" и это не помогает. Тогда просто не вижу смысл спорить, да и в этой теме ПРР ...

Geen в сообщении #1393530 писал(а):

Так может ну её, такую функцию?

Пишут же физики как-то

$$\tilde{A^1}=\frac{\partial \tilde{x}^1(x^i)}{\partial x^i}A^i$$

...

[realeugene]

Guvertod в сообщении #1393523 писал(а):

ну не мешает ничто точку из $\mathbb{R}^n$ также считать набором $n$ чисел из $\mathbb{R}$.

А как иначе? Как упорядоченную пару из числа и точки $\mathbb{R}^{n-1}$? Так это набор чисел длиной $n$ и будет.

-- 17.05.2019, 01:31 --

Geen в сообщении #1393530 писал(а):

А если надо вне - всё плохо?

Ну доопределите нулём.

[Guvertod]

(Оффтоп)

realeugene в сообщении #1393537 писал(а):

А как иначе?

Это все к формалистам, думаю, можно и не такое.

[Munin]

Geen в сообщении #1393533 писал(а):

Ну, если не путаю, в ЛЛ это даже 1-формой не называлось... :-)

Ну разумеется, мы не про учебники уровня ЛЛ.