Пространство-время ОТО

[epros]

warlock66613 в сообщении #1394129 писал(а):

Насколько мне известно, такого решения в ОТО нет.

Плохо Вам известно. А про тараканов я бы предложил воздержаться, в связи с наличием своих.

Раз уж тут ПРР, то вот Вам задача:
Плоскость расположена на $x=0$. Справа и слева от неё координаты Риндлера, сдвинутые так, что ускорение свободного падения около плоскости в направлении к ней равно $g$. Найти ТЭИ на плоскости.

[warlock66613]

epros в сообщении #1394131 писал(а):

Справа и слева от неё координаты Риндлера

Слева и справа от неё, видимо, всё-таки пространство-время с какой-то метрикой. И на плоскости, видимо, тоже. Вы предлагаете описывать многообразие координатами, то есть атласом карт. Ок, это можно. Но во всех виденных мной учебниках утверждается, что карты в атласе должны накладываться друг на друга, иначе он не полон. В предлагаемом вами атласе есть карта области слева от $x=0$ и карта справа от $x=0$. Такой атлас необходимо дополнить связывающей их картой, то есть такой, которая покрывает некоторую область вида $-a < x < a$, $a > 0$ ($a$ может зависеть от $y, z, t$) и преобразованиями координат для областей, где разные карты перекрываются. Без такой карты задача несформулирована.

(Оффтоп)

epros в сообщении #1394131 писал(а):

А про тараканов я бы предложил воздержаться, в связи с наличием своих.

Хотел, чуть-чуть не успел. Но таких тараканов в ПРР, про которые мне было бы известно, что они немейнстримные, у меня нет.

[epros]

warlock66613 в сообщении #1394135 писал(а):

Слева и справа от неё, видимо, всё-таки пространство-время с какой-то метрикой.

Угу, с метрикой Риндлера.

warlock66613 в сообщении #1394135 писал(а):

И на плоскости, видимо, тоже.

Угу. Видимо, с той же самой метрикой, что слева и справа от $x=0$.

warlock66613 в сообщении #1394135 писал(а):

Такой атлас необходимо дополнить связывающей их картой, то есть такой, которая покрывает некоторую область вида $-a < x < a$, $a > 0$ ($a$ может зависеть от $y, z, t$) и преобразованиями координат для областей, где разные карты перекрываются. Без такой карты задача несформулирована.

Как сказано выше, область $x=0$ однозначно дополняется из условия непрерывности метрики.

[warlock66613]

epros, условия принял, буду решать.

[realeugene]

epros в сообщении #1393974 писал(а):

Вовсе нет. Он говорит о том, что вдоль любой мировой линии можно устранить силы тяготения, соответствующим образом выбрав систему отсчёта.

Вдоль любой мировой линии? Наверное, я что-то подзабыл, но ЛЛ2 пишет только про точку пространства-времени. И понятно, что из-за всеобщей непрерывности все символы Кристоффеля будут малы в малой окрестности этой точки. А для взлетающей ракеты, разве, можно их обнулить вдоль её мировой линии выбором общих координат? Ракета в таких координатах будет покоиться, но куда деть возникающие силы инерции, прижимающие космонавта к креслу?

-- 20.05.2019, 12:05 --

epros в сообщении #1394131 писал(а):

Плоскость расположена на $x=0$.

Бесконечно тонкая плоскость с бесконечной плотностью?

[svv]

realeugene, ЛЛ в «Теории поля» говорят о том, что можно обратить в нуль все символы Кристоффеля вдоль заданной мировой линии, в примечании в конце §85, с.326 (8 издание). Они ссылаются на книгу Рашевского «Риманова геометрия и тензорный анализ», 1964, §91.

Очевидно, само по себе равенство нулю $\Gamma^i_{k\ell}$ вдоль кривой не означает, что она геодезическая.

[realeugene]

svv в сообщении #1394146 писал(а):

realeugene, ЛЛ в «Теории поля» говорят о том, что можно обратить в нуль все символы Кристоффеля вдоль заданной мировой линии, в примечании в конце §85, с.326 (8 издание). Они ссылаются на книгу Рашевского «Риманова геометрия и тензорный анализ», 1964, §91.

Да, спасибо, подзабыл. В седьмом издании это примечание на странице 313.

-- 20.05.2019, 12:20 --

svv в сообщении #1394146 писал(а):

Очевидно, само по себе равенство нулю $\Gamma^i_{k\ell}$ вдоль кривой не означает, что она геодезическая.

Т. е. в таких координатах всё же неподвижно свободно падающее на голову космонавта яблоко, а ракета с космонавтом ускоряются?

[epros]

realeugene в сообщении #1394143 писал(а):

А для взлетающей ракеты, разве, можно их обнулить вдоль её мировой линии выбором общих координат? Ракета в таких координатах будет покоиться, но куда деть возникающие силы инерции, прижимающие космонавта к креслу?

Есть теорема, что можно обнулить символы Кристоффеля вдоль любой не замкнутой мировой линии (не только геодезической). Да ещё и метрику здесь привести к Галилеевой форме. Но это не значит, что ракета будет в этих координатах всегда покоиться.

realeugene в сообщении #1394143 писал(а):

Бесконечно тонкая плоскость с бесконечной плотностью?

Если есть желание помучить себя математикой, можно взять слой конечной толщины $a$ и сделать гладкий переход метрики (например, по параболе). В пределе $a \to 0$ получим ту же самую плоскость.

[realeugene]

epros в сообщении #1394151 писал(а):

Если есть желание помучить себя математикой, можно взять слой конечной толщины $a$ и сделать гладкий переход метрики (например, по параболе). В пределе $a \to 0$ получим ту же самую плоскость.

А получим при таком предельном переходе ТЭИ с конечной плотностью энергии?

[svv]

Да, возьмём, например, плоское пространство-время, в нём галилеевы координаты. Возьмём мировую линию ракеты с включёнными двигателями. Кристоффели вдоль мировой линии ракеты равны нулю, и... ничего.

[epros]

realeugene в сообщении #1394152 писал(а):

А получим при таком предельном переходе ТЭИ с конечной плотностью энергии?

Ну, множители $\delta(x)$ там обязательно будут.

[warlock66613]

realeugene в сообщении #1394152 писал(а):

А получим при таком предельном переходе ТЭИ с конечной плотностью энергии?

Вопрос скорее в том, получим ли мы при таком предельном переходе корректное пространство-время. Мне кажется, что нет, и я планирую это доказать - это и будет ответом на задачу. Но может я и ошибаюсь, и такое многообразие есть.

[realeugene]

epros в сообщении #1394155 писал(а):

Ну, множители $\delta(x)$ там обязательно будут.

Обобщённые функции в сильно нелинейных дифференциальных уравнениях в частных производных? Боюсь, боюсь, боюсь... Явно, задача не для ПРР.

[epros]

warlock66613 в сообщении #1394161 писал(а):

корректное пространство-время

Хм. Будет интересно услышать, что это такое. Может быть есть риск нарушить сигнатуру $(-1,+3)$ или что-то в этом роде?

[realeugene]

epros в сообщении #1394131 писал(а):

Раз уж тут ПРР, то вот Вам задача:
Плоскость расположена на $x=0$. Справа и слева от неё координаты Риндлера, сдвинутые так, что ускорение свободного падения около плоскости в направлении к ней равно $g$. Найти ТЭИ на плоскости.

А, кстати, раз уж тут ПРР, есть свои попытки решения?