Задача и мощность источника

[Igrickiy(senior)]

Основной параметр задачи $\lambda$ может быть определён следующим образом.
Ток 20 А, при котором момент $\beta I = m g a$, равен половине максимального тока $I_0$, входящего в формулу.
Отсюда находим:

$\lambda = \frac { \beta I_0}{ m g a} = 2$

Решение для скорости подъёма груза примет вид:

$y ( \tau ) = 0, 5 (1 - \exp ( - 2 \tau ))$.

Напомню, что характерный масштаб времени $t_0 = \frac{v_0}{g}$ = 0, 038 c.
Время подъёма груза 50 с.
Поэтому система очень быстро по сравнением с полным временем выходит на асимптотику $y_\infty = 0, 5$

[EUgeneUS]

EUgeneUS в сообщении #1393476 писал(а):

в ентотом альтернативном варианте используется тот же самый механизм, что и в стартовой задаче из Рымкевича

Впрочем, в альтернативном варианте не может использоваться тот же самый механизм - он поднимает более легкий груз за то же самое время на ту же самую высоту.

[Dmitriy40]

EUgeneUS
Согласен с Вами, что 10А и 30А отвечают разным механизмам (параметр $a$ из Ваших формул отличается втрое). У меня баланс моментов при 10А, у Вас при 30А. Как Вы и говорили. И оба имеют право на жизнь и какой из них реализуется на практике зависит от неуказанных в задаче данных. И точка с 30А неустойчива лишь в моём варианте, не в Вашем, я ошибочно определял устойчивость по мощности (чтобы при малом разгоне ротора она падала), а надо по равенству моментов.
Короче тут были правы Вы, не я.

[EUgeneUS]

Igrickiy(senior)
В задаче из стартового поста никаких неопределенностей не возникает.
В том числе, можно оценить характерное время выхода на асимптоту. Что Вы успешно и проделали.
Но интрига в другом. А именно: как Вы будете выбирать ответ 10 А или 30 А в т.н. "альтернативном варианте задачи".

[Igrickiy(senior)]

Осталось рассмотреть последний случай, когда этот же двигатель с этими же параметрами поднимает груз не 1000 кг, а 750 кг.

В этом случае параметр $\lambda = \frac {2}{\mu}$, где $\mu = \frac {m}{m_0}$ , в данном случае $m_0$ = 1000 кг.

$y_\infty = ( 1 - \frac {\mu}{2}) = \frac {5}{8}$.

Если перейти к размерным переменным, сила тока в этом случае будет 25 А. Механическая мощность двигателя 3562, 5 Вт, а скорость подъёма груза 0,1425 м/с.
Время подъёма на 19 м будет 133, 3 с. КПД = 0, 375.

[EUgeneUS]

Dmitriy40 в сообщении #1393486 писал(а):

Согласен с Вами, что 10А и 30А отвечают разным механизмам (параметр $a$ из Ваших формул отличается втрое).

Не сочтите за придирки.
"Ваш" и "мой" механизмы отличаюся отношением $\frac{a}{ b}$, которое в условиях задачи может принимать два различных значения.
$a$ - это электромеханический конструкционный параметр, связывает механические и электрические значения, описывает двигатель
$b$ - это чисто механический конструкционный параметр, связывает момент на валу и силу на тросе. Описывает лебедку.

[wrest]

Igrickiy(senior)
Э... простите, я не очитался, вы написали что если какой-то двигатель поднимает груз массой 1000 кг на какую-то высоту (19 метров) за 50 секунд, то он же, без изменения его механического устройства (другого редуктора и т.п.) и электрического напряжения на нём, поднимет груз массой 750 кг на эту же высоту за 133 секунды?

[EUgeneUS]

Igrickiy(senior) в сообщении #1393491 писал(а):

Время подъёма на 19 м будет 133, 3 с

А) то есть тот же самый механизм более легкий груз будет поднимать дольше?
Б) Вы, в альтернативном варианте, указали время подъёма $50$ сек. для груза $750$ кг. Какой вывод из этого?

Интрига остается - какой ответ нужно выбрать $10$ или $30$ ампер?

[Igrickiy(senior)]

Я ещё раз всё перепроверю и завтра отвечу.
Обязательно.
Устал сегодня.

[Igrickiy(senior)]

Всё перепроверил.
Вот уж верно: поспешишь - людей насмешишь!
Исправляю свои ляпы.
Сосредоточенно и спокойно.

У условиях данной конкретной задачи удобнее работать не с угловой скоростью вращения, которая может быть численно задана только при известном радиусе вала, а с линейной скоростью точек на валу или , что равнозначно, со скоростью подъёма груза.
Поэтому выражение ЭДС индукции примет вид:

$E_i= \gamma v$.

Это не ляп, просто переобозначение.

Характерный масштаб скорости изменяю на другой:

$v_0 = \frac {H} {T}$

где $H$ - высота равномерного подъёма груза за время {T}.

При этом и характерный масштаб времени изменяется на $t_0 = T$.

Это ещё только частичные ляпы, не критические.

Смысл переменных $x$ и $y$ не изменяется.

В безразмерных переменных уравнение закона Ома имеет вид:

$1 = \frac {\gamma v_0}{E}$

По смыслу параметр $\gamma$ однозначно определён для двигателя тем условием, что при максимальных оборотах (нулевом токе):

$E_i = \gamma v_0 = E$

Для заданных исходных параметрах $\gamma = \frac { 380 50}{19} = 1000$ В/(м/с).

Закон Ома имеет прежний вид:

$1= x + y$.

Для механической мощности выражение не изменилось:

$P_m_e_c_h = \frac {E^2}{4 R} y (1 - y) = \frac {E^2}{4 R} x (1 - x) =\frac {E^2}{4 R} x y$

$P_m_a_x = \frac {E^2}{4 R} = 3800$ Вт.

Уравнение движения груза имеет прежний вид:

$x' = \frac {\beta}{a} \frac{I_0}{g m_0 \mu} y -1$

здесь $\mu = \frac {m}{m_0}$ - отношение массы груза к массе груза $m_0 = 1000$ кг, для которогоизвестны все условия подъема.

Находим оставшийся параметр:

$ \frac {\beta}{a} = \frac {2 m_0 g}{I_0} = 500$ Н/А.

При этом уравнение движения принимает вид:

$x' = \frac {2}{\mu} (1 - x) -1$

Его решение есть:

$x ( \tau) = (1 - \frac {\mu}{2}) (1 - \exp ( - \frac{2 \tau}{\mu}))$

$y(\tau) = \frac{\mu}{2} (1 - \exp ( - \frac{2 \tau}{\mu}))$

Здесь был ляп: перепутаны $x$ и $y$.

Вернусь и допишу!

[EUgeneUS]

Igrickiy(senior) в сообщении #1393592 писал(а):

Закон Ома имеет прежний вид:
$1= x + y$.

Igrickiy(senior) в сообщении #1393592 писал(а):

Его решение есть:
$x (\tau) = (1 - \frac {\mu}{2}) (1 - \exp ( - \frac{2 \tau}{\mu}))$
$y(\tau) = \frac{\mu}{2} (1 - \exp ( - \frac{2 \tau}{\mu}))$

$x (\tau) + y(\tau) \ne 1$
либо нарушается закон Ома, либо где-то еще "ляп".

[Snegovik]

Условие устойчивости двигателя постоянного тока.



Пояснения в тексте по ссылке.

Если углубиться, то можно еще это поизучать - двигатель постоянного тока как динамическое звено , а потом, для цельной системы с работающей нагрузкой, применить критерий Найквиста или Михайлова.

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1393601 писал(а):

либо нарушается закон Ома

совсем немношко и только вначале

[Igrickiy(senior)]

EUgeneUS в сообщении #1393601 писал(а):

либо где-то еще "ляп".

(Оффтоп)

Ещё один и далеко не последний. Я ещё потешу уважаемых собеседников.

Исправляю очередной ляп:

$y ( \tau ) = \frac {2}{\mu} + (1 - \frac {2}{\mu}) \exp ( - \frac {2}{\mu} \tau)$

[wrest]

Igrickiy(senior) в сообщении #1393605 писал(а):

Ещё один и далеко не последний. Я ещё потешу уважаемых собеседников.

Ну вот если бы вы писали подробнее, а не пропуская несколько шагов, было бы быстрее и правильнее, на мой взгляд. В качестве примера:

Igrickiy(senior) в сообщении #1393592 писал(а):

В безразмерных переменных уравнение закона Ома имеет вид:
$1 = \frac {\gamma v_0}{E}$

При чем тут закон Ома вообще? Я это понял как то, что напряжение на зажимах источника питания равно напряжению "на зажимах" противо-ЭДС при каких-то (максимальных, когда $v=v_0$) оборотах ротора. Без пояснений следить весьма затруднительно...

P.S. И вообще, если уже видно, что двигатель раскручивается быстро, то зачем анализ переходного процесса? Вы ведь все равно не анализируете (и не собираетесь, видимо) проскакивает ли двигатель через один корень (30А) ко второму (10А) и почему.