счетность множества действительных чисел

[Алексей К.]

ZVS в сообщении #138157 писал(а):

Отсутствие собственных мыслей при невнимательном прочтении чужих, даже на фоне хорошо заученных уроков,весьма посредственная база для математика и не только математика..

Хорошо заученные уроки --- нормальная база. Если математику пользуешь, чтобы авторутик спроектировать, БАК запустить (мы тут на днях пару протончиков туда впарили, и они долетели куда надо), озоновую дырочку поисследовать, да и кучу других дел насущных сделать. Достаточно производную-интегральчик уметь взять, и конечно, знать, когда это уместно.

Ну, если математику двигаешь, то может и маловато. А так, жизнь жить --- нормальная база. Мне хватает. Без собственных мыслей. Ну, кроме как, "а давайте мысли Фурье на это напустим!"

Это у Вас колоколенка невысокая, наверное. Мало видите.

[ZVS]

Пора замахнуться на самое святое для нормального математика.Конечно, это не конституция,однако ближе к делу.
Рассмотрим как полагается, некоторое множество элементов, про которых в самом общем случае известно, что они есть,то есть существуют. Можно видеть, что элементы его должны обладать неким признаком принадлежности именно этому множеству.То есть иметь общий для всех элементов признак.А также, они должны как либо отличаться друг от друга, если это не один и тот же элемент.
Итак, оно обладает как совокупность элементов, неким одним и тем же для всех элементов признаком общности. Но, также еще оно обладает всеми теми признаками его отдельных элементов, которые в том числе,определяют и отличие элементов между собой ,поскольку они принадлежат ему со всеми своими свойствами.
Это простейший вариант примера проявления правила перехода количества в качество.
К чему приводит игнорирование разных свойств элемента и совокупности элементов?
Рассмотрим это на примере одной, не побоюсь этого слова, классической леммы.А именно, на теме возник вопрос о единственности вещественного(иррационального,точнее ) числа на интервале между двумя рациональными числами, одно из которых строго больше другого.
Итак Фихтенгольц «Основы мат.анализа» том 1 гл. 1. «вещественные числа» лемма 2 :
Пусть даны два вещественных числа A и B.Если какое бы не взять рациональное число
E больше нуля ,числа A и B могут быть заключены между одними и теми же рац.границами разность которых меньше E, то числа A и B необходимо равны.

Пока достаточно.Итак изначально рассматриваются два числа(два элемента), которые в силу этого необходимо должны иметь признак отличия одного числа от другого.То есть если их два, но они не отличаются ничем, дальше нечего и доказывать.Это одно и тоже число(элемент множества).Если они разные, тогда сразу ясно, что они не равны.Значит, на самом деле мы рассматриваем некоторое множество чисел, с только одним признаком общности, что они вещественные, то есть признак различия между собой, не учитывается.А ведь он должен быть!Причем изначально!
Я не слишком нудно разжевываю?
А вот число E сразу неявно рассматривается, как некоторое множество чисел, с только одним признаком, а именно, что все они больше нуля.Мы рассматриваем число, которое в тот же самый момент, имеет возможность быть одним из многих. А ведь все кстати, в один и тот же момент вне времени рассматривается.То есть перемены в принципе не возможны.
Есть ещё возможность обьявить символы записи некими переменными,конечно.Ну просто забыли,бывает.Но, для переменных понятие равенства и неравенства всегда ситуативно. «Здесь играем, здесь не играем, а тут рыбу заворачивали». В общем при правильном подходе оказывается, что доказывать равенство чисел(тождество элементов)просто глупость.На самом деле здесь протаскивается замаскированная попытка ввести различие для элементов(иррациональных чисел), по способу их задания не имеющих признака отличия одного от другого.То есть, сам способ задания через сечения изначально ущербный.
Это во первых.
Во вторых ,сколько можно обьяснять что ежели мы рассматриваем элемент или множество, то необходимо четко это различать, особенно в силу идеальности,вневременности, обьектов анализа.
Если говорим, что некое число больше нуля без уточнений,то только нормальный математик решит, что это одно и тоже число, а не множество чисел..

[MaximKat]

Ну пожалуйста, скажите, что это такой толстый-претолстый тролль. Пожалуйста!

[Someone]

Captious в сообщении #138097 писал(а):

Хорошее занятие для "профессионалов" - обсуждать чужие глупости!
А может быть дать г-дам "троллям" возможность самим разобраться со своими "глупостями"?
Кто знает, может быть тогда они уложились бы не в 16, а, например, в 3 страницы? Ась?

Ну, вам же скучно было бы втроём. Вы ведь явились сюда поразвлечься за счёт других участников форума. Чего же теперь обижаетесь, что кое-кто нашёл способ развлечься за ваш счёт? Вы цитируете стандартные доказательства и предъявляете глупые и абсурдные претензии. Я считаю себя вправе цитировать Ваши глупости и предъявлять Вам не менее глупые и абсурдные претензии (но отнюдь не все мои претензии к Вам являются глупыми или абсурдными). Таким же правом обладают и другие участники дискуссии, которым тоже хочется развлечься за Ваш счёт. Чем Вы недовольны и почему злитесь? Если Вы предполагали нормальную дискуссию, могли бы разъяснить свою позицию, чтобы можно было понять, в чём состоит, по Вашему мнению, ошибка. Поскольку Вы этого не хотите, я буду считать себя в праве развлекаться за Ваш счёт, даже если Вы будете меня игнорировать. Если Вы будете игнорировать всех, Вам не с кем будет разговаривать.

Captious в сообщении #138125 писал(а):

Может теперь мне уже запрещено исправлять неточности и грамматические ошибки в своих же постах?

Стали бы Вы из-за опечатки так беспокоиться:

Captious в сообщении #138108 писал(а):

Зря вы поверили цитате "рассеянного профессионала" ewert , который "не заметил" , мои редакторские правки...

Кстати, не дадите ли ссылку на свои "редакторские правки" по этому вопросу? Я напомню, что речь шла об аксиоме Дедекинда в геометрии.

Captious писал(а):

ewert писал(а):

Вот Вы тут накатали:

Captious писал(а):

Множ-во таких границ счетно, но между любыми двумя границами, как бы близки они ни были, всегда найдутся новые элементы.

Ну и какое это имеет отношение к счётности/несчётности?

Самое прямое, г-н ... хороший. :wink:

ewert писал(а):

и действительно ли отсюда мн-во рациональных чисел несчётно(ибо ... ?

:? :shock: :lol:

ewert писал(а):

(ибо к ним сиё глубокомысленное рассуждение точно не относится)

Вот тут я с вами полностью солидарен: сие ( ваше!) "глубокомысленное" рассуждение не относится не только ко множ-ву Q, но и вообще к теме несчетности множ-ва!

Очень примечательно. После первой цитаты Вы пишете, что указанное свойство действительных чисел (то есть, что между любыми двумя границами всегда имеются действительные числа) имеет "самое прямое" отношение к несчётности множества действительных чисел. Г-н ewert вполне резонно замечает, что множество рациональных чисел обладает точно таким же свойством (то есть, между любыми двумя границами всегда имеются рациональные числа) и, следовательно, тоже должно быть несчётным. И что Вы ему отвечаете? Правильно. Вы отвечаете, что "его" (а на самом деле - целиком Ваше) рассуждение не имеет отношения ни к множеству рациональных чисел (это неправда, потому что это множество заявленным Вами свойством обладает), ни к несчётности (а это прямо противоречит тому, что Вы сказали после первой цитаты). Если не нравится множество рациональных чисел, можно взять множество алгебраических чисел (с тем же неблагоприятным для Вас результатом).
Противоречить самому себе в пределах текста, состоящего из пары фраз, и не замечать этого - это высокое искусство.

У нас незаконченное обсуждение доказательства, которое Вы привели на странице 12. Напомню суть дела.

Captious в сообщении #137527 писал(а):

Здесь нет построения некого "нового" вещ-го числа, не входящего в список.

Someone в сообщении #137678 писал(а):

Как это нет? Это и есть построение числа $x_0$, не входящего в список, только десятичная запись не используется.

Captious писал(а):

Someone писал(а):

Это и есть построение числа $x_0$, не входящего в список, только десятичная запись не используется.

Как мне надоели эти "нефилософы с математическим уклоном" и с ВО - сил больше нет!

Это - ответ не по существу.

Someone в сообщении #137902 писал(а):

Здесь есть построение числа $x_0$, не входящего в список. Поэтому это доказательство ничем существенным не отличается от тех, которые Вы критикуете.

Captious в сообщении #137967 писал(а):

А нам тоже начхать, какими знаками обозначаются концы отрезка...
Воэьмём отрезок [A,B]. Док-во не изменится, но зато моментально исчезнет повод для словоблудия о "числах"...

Повод для "словоблудия" не исчезнет, поскольку, как бы ни понимать $[A,B]$ в том случае, когда $A$ и $B$ - не числа, доказываем-то мы теорему о несчётности множества действительных чисел. Поэтому необходим переход от "нечисел" к числам, которого в приведённом Вами доказательстве нет и, следовательно, в таком случае доказательства тоже нет.

Кроме того, такая нечисловая интерпретация теоремы ничего не меняет по существу вопроса: в доказательстве есть построение элемента $x_0$, не входящего в список, независимо от того, как мы этот элемент интерпретируем. А когда мы начнём применять теорему к множеству чисел, $x_0$ автоматически станет числом, и мы снова получим построение числа $x_0$, не входящего в список.

Вопрос о переводе доказательства на цифровой язык оставим пока в стороне. Если оно Вам ещё нужно, я его напишу, когда будет свободное время, хотя, если Вы считаете себя столь "крутым", чтобы ругать профессионалов, то могли бы справиться с этим и сами.

И не питайте иллюзий. Имея в виду предупреждение модератора, я Вас откровенно провоцирую. Ругань или ответ не по существу (пример такого ответа - выше) приведут к бану, а если промолчите, то тогда Вам лучше и дальше молчать.

Добавлено спустя 46 секунд:

MaximKat в сообщении #138281 писал(а):

Ну пожалуйста, скажите, что это такой толстый-претолстый тролль. Пожалуйста!

А кто же ещё? Он самый.

[Captious]

Someone писал(а):

И не питайте иллюзий. Имея в виду предупреждение модератора, я Вас откровенно провоцирую. Ругань или ответ не по существу (пример такого ответа - выше) приведут к бану, а если промолчите, то тогда Вам лучше и дальше молчать.

Получается,что у меня вообще нет выбора!
Во-первых, на любой мой ответ, как и всегда, последует обвинение в "хамстве" и в отсутствии чего-нибудь существенного: ведь определять, что считать "существенным", а что "руганью" будет единолично автор вопроса.
Во-вторых. Если я даже полностью буду игнорировать провокации, то они будут с завидной настойчивостью повторяться вновь и вновь, c постепенным наращиванием "мелких неточностей", до полного отхода от "оригинала", который уже никто не будет читать и разбираться, где правда, а где ложь... Разбор "неточностей" займет еще ... дцать страниц "вопросов и ответов", и далее ... см. "во-первых"!
Надо будет проконсультироваться с модератором, имею ли я право выбирать себе собеседника по своему усмотрению или уже не имею...
По моему, это в правилах не запрещено. А пока я выбираю п.2 (как и для г-на ewert)

[Алексей К.]

Вау! И правда, без хамства сумел обойтись! Но как трудно было, наверное!

[нг]

Captious в сообщении #138320 писал(а):

Надо будет проконсультироваться с модератором, имею ли я право выбирать себе собеседника по своему усмотрению или уже не имею..

В любой момент. В ЛС (личное сообщение: )

По человечески предупреждаю, что здесь это — оффтоп.

[Jnrty]

Captious в сообщении #138320 писал(а):

Получается,что у меня вообще нет выбора!

Выбор есть. Вы можете вести нормальную дискуссию, адекватно реагируя на вопросы и замечания, либо покинуть форум, если предъявляемые требования для Вас неприемлемы.

Captious в сообщении #138320 писал(а):

имею ли я право выбирать себе собеседника по своему усмотрению или уже не имею...

Имеете. Выберите себе собеседника и переписывайтесь с ним личными сообщениями или другим способом, если он захочет. Если же Вы помещаете свои сообщения в публичном месте (на форуме), то каждый участник форума имеет право участвовать в обсуждении.

[Captious]

Когда модератор выступает в качестве полноправного участника обсуждения, то предполагается, что он должен получать ответы наравне с остальными. Если это не так, то вы спокойно можете удалить мое сообщение.

Jnrty писал(а):

Выберите себе собеседника и переписывайтесь с ним личными сообщениями или другим способом, если он захочет. Если же Вы помещаете свои сообщения в публичном месте (на форуме), то каждый участник форума имеет право участвовать в обсуждении.

Это т.сказать, банальности, которые должен знать любой, решивший вступить в обсуждение. Речь идет совсем о другом.
Имеет ли право любой участник вообще не отвечать(публично!) на те сообщения, содержание которых по его мнению ( подчеркиваю- именно по его собственному мнению!):
а) не соответствует смыслу сказанного им;
б) является искажением( сознательным или "бессознательным") смысла сказанного;
в) говорит о полном непонимании участником обсуждаемого вопроса ( т.е. ответ требует долгой предварительной "просветительской работы", уводящей в сторону от обсуждаемой темы и мешающей другим участникам обсуждать интересующие их вопросы...);
г) является прямой провокацией ( "психической" атакой...);
д) попыткой "без напряга" получить общедоступную информацию (поскольку ппоненту самому искать её " в лом");
е) вообще не является вопросом, т.е. другой участник просто высказал своё мнение?

Ну и достаточно.
P.S. Думаю, ваши ответы будут весьма полезны для всех участников этого топика...

Jnrty:

!

[Jnrty]

Captious писал(а):

Когда модератор выступает в качестве полноправного участника обсуждения, то предполагается, что он должен получать ответы наравне с остальными. Если это не так, то вы спокойно можете удалить мое сообщение.

Jnrty:

Вы заблуждаетесь. Поскольку моё сообщение никак не касается обсуждаемых в данной теме вопросов, а посвящено правилам общения на форуме, оно является типичным модераторским сообщением. Его обсуждение здесь является offtopicом. Поскольку супермодератор нг Вас об этом только что (неофициально) предупреждал, получаете официальное предупреждение.

Captious писал(а):

Имеет ли право любой участник вообще не отвечать(публично!) на те сообщения, содержание которых по его мнению ( подчеркиваю- именно по его собственному мнению!):
а) не соответствует смыслу сказанного им;
б) является искажением( сознательным или "бессознательным") смысла сказанного;
в) говорит о полном непонимании участником обсуждаемого вопроса ( т.е. ответ требует долгой предварительной "просветительской работы", уводящей в сторону от обсуждаемой темы и мешающей другим участникам обсуждать интересующие их вопросы...);
г) является прямой провокацией ( "психической" атакой...);
д) попыткой "без напряга" получить общедоступную информацию (поскольку ппоненту самому искать её " в лом");
е) вообще не является вопросом, т.е. другой участник просто высказал своё мнение?

Советую внимательно перечитать эту тему и поискать участника, которому Вы захотели бы ответить. Вы практически всех обругали недоумками. Если Вы будете придерживаться заявленных Вами правил, то у Вас вообще не будет собеседников, и Ваше присутствие на форуме будет бессмысленным.

В общем, Вы претендуете на роль Великого Учителя, с презрением относящегося к недостойным и глупым ученикам. Нам здесь такие Великие Учителя не нужны. Мы привыкли к тому, что само по себе мнение одного участника равно мнению другого участника, и вопрос о том, кто прав, решается аргументацией, которую Вы предъявить не можете, и потому выговариваете себе право не отвечать на любые замечания.

[Captious]

Как мы помним, попытка автора топика "пересчитать" множество действительных чисел т. сказать, по мере их возникновения или обнаружения с треском провалилась, что, собственно говоря, и следовало ожидать. В рамках темы, созданной г-ном Sla_sh , была также предпринята попытка отыскать причину появления несчетности бесконечных множеств вообще.
Анализ двух общеизвестных доказательств несчетности (множ-ва действительных чисел и точек континуума ) позволил выдвинуть гипотезу о том, что причина появления несчетности состоит в принципиальной невозможности "охватить" все элементы некоторых видов множеств сразу. Это обстоятельство в док-ве, использующем представление вещ-х чисел бесконечными дробями, слегка замаскировано так назыв. диагональной процедурой построения "нового" вещ-го числа.
Более нагляден пример док-ва несчетности множ-ва точек отрезка $[ 0,1]$ (см. стр.12).
В нем получено 1-1 соответствие между числами множ-ва $N$ и отрезками
последовательности $\Delta_1, \Delta_2,..., \Delta_n, ... $ , вложенных друг в друга отрезков, длины которых стремятся к нулю.
Каждый из отрезков $ \Delta_n$ по способу выбора не должен содержать соответствующей ему (занумерованной) точки $x_n$ множ-ва $[ 0,1]$.
Но оказывается, что в силу известной геометрической теоремы, существует точка $x_0$ этого множ-ва, принадлежащая всем отрезкам . Мы сумели "подсчитать" только границы, но не сами элементы, находящиеся за этими границами.Таким образом, любая счетная "сеть", наброшенная на несчетное множ-во, не способна захватить ВСЕ его элементы, как бы ни были малы размеры её ячеек.
Перспективность такого взгляда на несчетность косвенно подтверждается его сходством с подходом чешского математика П.Вопенки.
В альтернативной теории множеств (AST), а точнее, теории полумножеств П.Вопенки, континуум рассматривается как след класса элементов, ушедших за горизонт ( "горизонт различимости"). Но это уже совсем другая тема и совсем другой разговор...

[ewert]

Captious писал(а):

и отрезками
последовательности $\Delta_1, \Delta_2,..., \Delta_n, ... $ , вложенных друг в друга отрезков, длины которых стремятся к нулю.
Каждый из отрезков $ \Delta_n$ по способу выбора не должен содержать соответствующей ему (занумерованной) точки $x_n$ множ-ва $[ 0,1]$.
Но оказывается, что в силу известной геометрической теоремы, существует точка $x_0$ этого множ-ва, принадлежащая всем отрезкам .

Эта теорема не является геометрической. Это -- всего лишь элементарное следствие аксиомы (или теоремы, уж как угодно, не имеет значения) полноты множества вещественных чисел. Если Вам кажется, что эта теорема (или аксиома) гораздо проще доказывается из неких таинственных сугубо геометрических соображений -- флаг в руки, доказывайте.

[Really]

Captious писал(а):

Мы сумели "подсчитать" только границы, но не сами элементы, находящиеся за этими границами.Таким образом, любая счетная "сеть", наброшенная на несчетное множ-во, не способна захватить ВСЕ его элементы, как бы ни были малы размеры её ячеек.

Вы сами себе противоречите. Если вы говорите о сети и размерах ячеек,
то ваше "геометрическое" доказательство есть построение последовательности
$\displaystyle \frac{1}{3^n}$ - сетей (причем конечных, заметьте). Если же вы говорите о
попытке занумеровать точки отрезка (а не приблизить точками сети) счетным множеством,
то ваша фраза вообще "масло масляное" - вы сами употребляете словосочетание
"несчетное множество".

Captious писал(а):

Перспективность такого взгляда на несчетность...

Какого такого? Если вы об этом

Captious писал(а):

...позволил выдвинуть гипотезу о том, что причина появления несчетности состоит в принципиальной невозможности "охватить" все элементы некоторых видов множеств сразу.

То в том случае, если ваше "охватить", означает "построить биективное отображение
из некоторого множества во множество $\mathbb N$", то это никакой не взгляд,
а определение неравномощности.

[Captious]

Really писал(а):

Captious писал(а):

Мы сумели "подсчитать" только границы, но не сами элементы, находящиеся за этими границами.Таким образом, любая счетная "сеть", наброшенная на несчетное множ-во, не способна захватить ВСЕ его элементы, как бы ни были малы размеры её ячеек.

Вы сами себе противоречите. Если вы говорите о сети и размерах ячеек,
то ваше "геометрическое" доказательство есть построение последовательности
$\displaystyle \frac{1}{3^n}$ - сетей (причем конечных, заметьте).

Во-первых, это "геометрическое" доказательство не моё , а взято из учебника.
Во-вторых, последовательность отрезков ( ячеек "сети") счетная, а не конечная - улавливаете (большую) разницу?
В-третьих. Никакого "противоречия вы увы, не нашли, поскольку не показали, что наряду с утверждением о том, что любая счетная сеть не способна охватить все элементы несчетного множ-ва, у меня есть совершенно противоположное утверждение.

Really писал(а):

Если же вы говорите о попытке занумеровать точки отрезка (а не приблизить точками сети) счетным множеством, о ваша фраза вообще "масло масляное" - вы сами употребляете словосочетание "несчетное множество".

Употребление слова "несчетность" и выяснение причины появления несчетности - это совершенно разные "вещи"...

Really писал(а):

Captious писал(а):

Перспективность такого взгляда на несчетность...

Какого такого? Если вы об этом

Captious писал(а):

...позволил выдвинуть гипотезу о том, что причина появления несчетности состоит в принципиальной невозможности "охватить" все элементы некоторых видов множеств сразу.

То в том случае, если ваше "охватить", означает "построить биективное отображение из некоторого множества во множество $\mathbb N$", то это никакой не взгляд, а определение неравномощности.

Ежу понятно, что "охватить" - это в данном случае значит построить 1-1 соответствие между элементами множ-ва натуральных чисел $\mathbb N$ и элементами другого множ-ва ( в данном конкретном случае - точками множ-ва
$[ 0,1]$ ).
Отсутствие такого биективного отображения означает неравномощность множ-ва
$\mathbb N$ и множ-ва точек P = $[ 0,1]$, которое поэтому и называется несчетным.
Но всё это не имеет отношения к существу поднятого мною вопроса т. е. к выяснению самих причин появления несчетности, то бишь, почему, по какой причине невозможно "охватить" .
Назвать множ-во несчетным или счетным - это вовсе не означает раскрыть сущность феноменов "счетность-несчетность". Не так ли, уважаемый?
Если просто взять и еще раз перечитать то, что вы "недочитали", то ответ на ваш "недоуменный вопрос" появляется как бы сам собой...

Captious писал(а):

Мы сумели "подсчитать" только границы, но не сами элементы, находящиеся за этими границами. Таким образом, любая счетная "сеть", наброшенная на несчетное множ-во, не способна захватить ВСЕ его элементы, как бы ни были малы размеры её ячеек.
Перспективность такого взгляда на несчетность косвенно подтверждается его сходством с подходом чешского математика П.Вопенки.
В альтернативной теории множеств (AST), а точнее, теории полумножеств П.Вопенки, континуум рассматривается как след класса элементов, ушедших за горизонт ( "горизонт различимости").

Также на стр.12 Captious писал(а):

... сразу видно, что мы не можем установить 1-1 соответствие между элементами множ-ва N и элементами несчетного множ-ва P= [0,1], а можем только лишь пронумеровать границы, в пределах которых находятся элементы несчетного множества.
Множ-во таких границ счетно, но между любыми двумя границами, как бы близки они ни были, всегда найдутся новые элементы. (...)
Вот если бы мы всегда могли четко выделять элементы любых множеств, то все бесконечные множества были бы только счетными.

Даже ничего не зная о работах П.Вопенки, легко догадаться, что "такой взгляд на несчетность..." причину появления несчетности видит в том, что несчетность наблюдается только тогда, когда 1-1 соответствие можно установить между элементами множ-ва $\mathbb N$ и некими "ячейками" выделенными во втором множ-ве, но не самими его элементами, которые в силу этого обстоятельства, остаются за "горизонтом различимости".
У П.Вопенки взгляд, направленный на некий класс, когда вместо этого класса мы видим континуум называется "медиальным взглядом".
Элементы рассматриваемого класса уже не находятся перед горизонтом. Континуум, который мы видим, является лишь следом, который этот класс оставил за собой на горизонте. Этот континуум позволяет заключить, что рассматриваемый класс и все его элементы всё ещё имеются, хотя бы где-то за горизонтом, т.е. этот класс всего-навсего ушел за горизонт ( различимости).
Такие вот дела...

[Someone]

Captious в сообщении #139085 писал(а):

Во-первых, это "геометрическое" доказательство не моё , а взято из учебника.

Во-первых, это доказательство нисколько не геометрическое, о чём Вам уже говорилость. Речь идёт о числовых отрезках и только о числовых, никакой геометрии в доказательстве не упоминается. Цитирую его, чтобы далеко не искать.

Captious писал(а):

Теорема(Кантора).
Множ-во P точек отрезка [0,1] неэквивалентно множ-ву натуральных чисел N.
Док-во. Допустим, что множ-во P=[0,1] счетно, т.е. что точки множ-ва можно занумеровать в последовательность
$x_1, x_2, ... , x_n, ... $ (1)
Разделим отрезок [0,1] на три равных отрезка. Тогда по крайней мере один из этих отрезков не будет содержать точки $x_1$ ( точка $x_1$ может принадлежать либо одному частичному отрезку, либо двум, являясь их общим концом). Отрезок $\Delta_1$, не содержащий точки $x_1$, снова разделим на три равных отрезка. По крайней мере один из них, $\Delta_2$, не будет содержать точки $x_2$. Отрезок $\Delta_2$ второго деления. не содержащий точки $x_2$, снова разделим на три равных отрезка и т.д.
Получим последовательность отрезков $\Delta_1, \Delta_2,..., \Delta_n, ... $ , вложенных друг в друга, длины которых стремятся к нулю.
Пусть $x_0$ - точка принадлежащая всем этим отрезкам .
Тогда, с одной стороны,точка$x_0\in [0,1]$ и, след-но, совпадает с одной из точек послед-ти (1).
С другой стороны, точка $x_0$, не может совпадать ни с одной точкой $x_n$ послед-ти (1) так так точка $x_n \notin \Delta_n$, а точка $x_0$ входит в этот отрезок. Полученное противоречие доказывает, что предположение об эквивалентности P и N неверно.

Я помню, что обещал "перевести" это доказательство на язык цифр, если Вы выскажете такое пожелание.

Captious в сообщении #139085 писал(а):

Во-вторых, последовательность отрезков ( ячеек "сети") счетная, а не конечная - улавливаете (большую) разницу?

Во-вторых, надо внимательно читать, что Вам пишут.

Really в сообщении #138874 писал(а):

Если вы говорите о сети и размерах ячеек, то ваше "геометрическое" доказательство есть построение последовательности $\frac 1{3^n}$-сетей (причем конечных, заметьте).

Здесь имеется бесконечная последовательность "сетей", но каждая "сеть" - конечная ($n$-ная "сеть" содержит $3^n$ отрезков-"ячеек" или $3^n+1$ их концевых точек - в зависимости от того, как понимать "сеть").

Captious в сообщении #139085 писал(а):

В-третьих. Никакого "противоречия вы увы, не нашли, поскольку не показали, что наряду с утверждением о том, что любая счетная сеть не способна охватить все элементы несчетного множ-ва, у меня есть совершенно противоположное утверждение.

Captious в сообщении #138856 писал(а):

Таким образом, любая счетная "сеть", наброшенная на несчетное множ-во, не способна захватить ВСЕ его элементы, как бы ни были малы размеры её ячеек.

В-третьих, эта фраза без дополнительных пояснений непонятна. Что значит - "не способна захватить ВСЕ его элементы"? Да, множество концов отрезков ("ячеек"), составляющих рассмотренные "сети", счётно, поэтому не каждое действительное число отрезка $[0,1]$ совпадает с одним из этих концов - по определению несчётного множества. Но такая цель в доказательстве и не ставилась. Однако каждое действительное число отрезка $[0,1]$ является пересечением последовательности вложенных "ячеек" этих сетей, так что в этом смысле последовательность "сетей" "захватывает" все элементы отрезка $[0,1]$.

Какое толкование этой фразы имеете в виду Вы?

Captious в сообщении #139085 писал(а):

Даже ничего не зная о работах П.Вопенки, легко догадаться, что "такой взгляд на несчетность..." причину появления несчетности видит в том, что несчетность наблюдается только тогда, когда 1-1 соответствие можно установить между элементами множ-ва и некими "ячейками" выделенными во втором множ-ве, но не самими его элементами, которые в силу этого обстоятельства, остаются за "горизонтом различимости".

Мы ведь обсуждаем не теорию Вопенки, а классические теории множеств. Может быть, всё это имеет какой-то смысл в теории Вопенки. Но в классических теориях множеств это полный бред.

Вообще, "альтернативная теория множеств" Вопенки даже не аксиоматизирована в сколько-нибудь полном виде, автор развивает её, исходя в основном из неких "содержательных" представлений, позволяя себе добавлять нужные ему предположения по ходу дела. Это соответствует, в лучшем случае, уровню XIX века, и пример канторовской теории множеств, основанной именно на "содержательных" представлениях, показывает, что этот путь может привести к внутренне противоречивой теории.

Возможно, теория Вопенки со временем окажется более приемлемой, чем распространённые теперь теории, но пока это не очевидно. И в любом случае не следует путать разные теории, ничего хорошего из этого не получится.