Корень vs. степень: область определения

[project15]

GAA
Прочитал обе темы. Ни в одной из них участники не пришли к консенсусу относительно определений. Более того, в первой теме даже понятие уравнения трактуется по разному. Согласен, что спорить об одном и том же несколько раз не очень осмысленно, но я думаю, что надо все же поставить точку в этом вопросе. После прочтения обеих тем, во всяком случае у меня, остается ощущение недосказанности. Я уверен, что найдется немало абитуриентов и студентов, которые мучаются с этими понятиями и хотят во всем разобраться. Я думаю эти вопросы рано считать закрытыми.

[GAA]

Как мы по-разному прочитали обе темы. :)
Я вот понял однозначно:

GAA в сообщении #1371718 писал(а):

Степень (вещественная) с рациональным показателем определена для положительных оснований, но может быть доопределена в некоторых случаях для отрицательных и нуля. Эти случаи требуют отдельного рассмотрения и они должны отдельно оговариваться в тексте статьи (если не очевидно).

Что я понял не так?
Да, я знаю, в статьях для компактности вместо корней часто используют степени (особенно, если формула не на отдельной строке). Но если из контекста не ясно, то автор должен указать, что основание степени может быть отрицательным. На все случаи не придумать обозначений. Как-то так.
Если я понял неправильно, то, пожалуйста, укажите конкретное место.

[StaticZero]

(Оффтоп)

project15 в сообщении #1371697 писал(а):

фразы наподобие "корень третьей степени из числа (-8)" сразу пресекать на месте и говорить, что они не имеют смысл

Надо всё время говорить, что корня три и спрашивать "а ви таки какой имеете в виду?". Имхо. Вдруг мыслительный процесс начнётся.

[GAA]

На всякий случай. Частенько в текстах встречается $x^{3/5}$ и т.п., где $x$ может иметь отрицательные значения. Если из контекста ясно, что

$x^{3/5} = \begin{cases} x^{3/5}, & x \ge 0;\\ - (-x)^{3/5}, & x < 0,\\ \end {cases}$

то, понятно, что расписывать — это загромождать записи. Если не ясно, то хорошо бы указать.

[novichok2018]

Меня учили, что арифметический корень и запрет на корни из отрицательных чисел - это единственный путь для школы, если хочется сохранить хотя бы школьную строгость и не получить ошибочности основных тождеств для корней и степеней. При этом умным детям надо объяснять, что странность, при которой уравнение $x^3+8=0$ можно решать разложением на множители, но нельзя извлечением корня - это расплата за отсутствие ошибок в школьных тождествах. Нужно потерпеть до корней из комплексных чисел и простейших многозначных функций, чтобы узнать, "как всё есть на самом деле". Не думаю, что есть другой подход.

[project15]

GAA

Сначала возьмем вторую тему (она покороче и не такая жаркая как первая)
Первая точка зрения:

mihailm в сообщении #501744 писал(а):

>= нуля
все числа, если это не степень а корень

bot в сообщении #501948 писал(а):

arseniiv в сообщении #501736 писал(а):

Знаю две точки зрения на область определения функции

Я считаю, что нефиг нам иметь два обозначения для одной и той же функции, есть и другие соображения в поддержку различия.
Вот не далее, как сегодня на лекции разъяснял, что $\sqrt[n]{\ }$ - это обратная функция для возведения в степень с максимально возможной для данного правила областью определения, а степенная запись определяется только для аргумента строго положительного и не равного 1. Это, так сказать, конвенция такая. Другое дело, что сколько конвенций не заключай, Паниковские всегда найдутся.

Вторая точка зрения:

Munin в сообщении #501984 писал(а):

bot
По вашей конвенции, записи с радикалом и со степенью неэквивалентны, когда могли бы быть. Неудобная конвенция. Получается, переход от одного к другому столь же "небезопасен", сколь умножение обеих частей равенства на знаменатель. Запоминать лишние правила, бояться их нарушить... ради чего?

Имхо, самое естественное - "максимально возможная область определения" для любых записей для любых случаев.

Честно говоря, я не вижу сейчас большую необходимость вытаскивать цитаты из этих двух тем. Моя цель - систематизировать (хотя бы частично) существующие подходы к определению понятия степени, проанализировать их, выделить + и - обоих подходов и определить стратегию, объем и порядок изложения этого вопроса (корни и степени) в стандартном курсе матанализа (собственно для этого я и продолжил эту тему, нужны советы более опытных людей).

Цитаты я привел для того, чтобы показать вам, что положение дел во второй теме не очень похоже на консенсус.

(Оффтоп)

Этот вопрос мне напоминает определение предела функции в предельной точке по проколотой окрестности (Фихтенгольц) и в точке прикосновения множества определения функции (Кудрявцев). Эти два определения, вообще говоря, неэквивалентны. Мне определение Фихтенгольца нравится больше, оно вроде и исторически было таким же. Позиция Кудрявцева (что такое определение упрощает жизнь студентам, т.к. на одно условие x $\ne$ x0 меньше) мне не понятна.

-- 25.01.2019, 17:08 --

GAA в сообщении #1371729 писал(а):

На всякий случай. Частенько в текстах встречается $x^{3/5}$ и т.п., где $x$ может иметь отрицательные значения. Если из контекста ясно, что

$x^{3/5} = \begin{cases} x^{3/5}, & x \ge 0;\\ - (-x)^{3/5}, & x < 0,\\ \end {cases}$

то, понятно, что расписывать — это загромождать записи. Если не ясно, то хорошо бы указать.

Вот об этом и речь. Дробную степень подразумевают в таком смысле, но свойства (произведение/частное степеней с одинаковым основанием, степень в степени, произведение/частное в степени) используют обычным образом. Для положительного основания эти свойства справедливы, но где гарантия (а ее и нету на самом деле), что эти свойства останутся справедливы при таком определении, как вы привели. Проверять все возможные комбинации показателей и оснований, на мой взгляд, чрезвычайно трудоемко и бессмысленно.

[GAA]

В первой теме я вижу позицию mihailm, bot, ewert. Во второй RIP (он, правда, для корней использует запись $a^{1/n}$, но это именно запись), а с ним не соглашается Руст. В общем случае $f(x)^{g(x)} = \exp(g(x)\ln f(x))$ и тут всё понятно. Если целые показатели, то тоже понятно. Наконец, «Рациональные степени, когда знаменатель нечётен так же определяются». Я же и написал, «но может быть доопределена в некоторых случаях для отрицательных и нуля.». Если нужно, то доопределяют.
Именно в стандартном курсе анализа: рассматриваются степени с положительным основанием и рациональным показателем, затем вводится показательная функция, и обратная к ней логарифмическая, после (вещественная) степень с положительным основанием и вещественным показателем (через экспоненту и логарифм). [После введения степени с положительным основанием и рациональным показателем указывается иногда возможность доопределить для отрицательных оснований. См. Ильин, Позняк «Основы математического анализа. Ч I.»]

-- Fri 25.01.2019 15:20:56 --

project15 в сообщении #1371735 писал(а):

Вот об этом и речь. ... Проверять все возможные комбинации показателей и оснований, на мой взгляд, чрезвычайно трудоемко и бессмысленно.

Раньше было 4 лекционных часа и 2 семинарских на все элементарные функции. После урезания, часов стало меньше. Поэтому вопрос мне не понятен. Ну в СРС впишите... :)

[Munin]

project15 в сообщении #1371712 писал(а):

Речь идет о том, какое определение корня (и степеней) выбрать (т.е. позволять ли корню нечетной степени принимать отрицательные значения/позволять ли основаниям степеней с дробным несократимым показателем с нечетным знаменателем принимать отрицательные значения). Я видел литературу, в которой используется как первый подход (изучаются только арифметические корни и только положительные основания дробных степеней, например, трехтомник Фихтенгольца 2003 г), так и второй (Бермант, см. выше).

Это некорректно. Приведённый вами Бермант - это 1959 год, и сегодня он давно устарел. По нему не преподают. И значит, преподавательская система давно сделала свой выбор. В пользу "корни - одно, дробные показатели - другое".

project15 в сообщении #1371712 писал(а):

Я считаю, что наиболее целесообразное определение, в котором все корни арифметические, а все дробные степени имеют положительное основание, т.к. из этого определения вытекает ряд следствий (свойств), которые относительно легко вывести, которые легко применять и которые достаточно (хоть и не максимально) общие.

В том-то и дело, что недостаточно общие. Например, для решения кубического уравнения необходимо брать три комплексных значения кубического корня, а не один "арифметический корень".

GAA в сообщении #1371729 писал(а):

На всякий случай. Частенько в текстах встречается $x^{3/5}$ и т.п., где $x$ может иметь отрицательные значения.

Мне не часто встречается. В достаточно аккуратных текстах говорится примерно так: "рассмотрим кривую $y^5=x^3$".

-- 25.01.2019 16:24:14 --

project15 в сообщении #1371735 писал(а):

Моя цель - систематизировать (хотя бы частично) существующие подходы к определению понятия степени, проанализировать их, выделить + и - обоих подходов и определить стратегию, объем и порядок изложения этого вопроса (корни и степени) в стандартном курсе матанализа (собственно для этого я и продолжил эту тему, нужны советы более опытных людей).

Это надо было с самого начала сказать. И тему заводить в "Вопросах преподавания".

[GAA]

Munin, я там убрал (при редактировании) у кого в текстах это встречается. От флейма подальше.

[Munin]

Если "у физиков", то от них никто не ждёт математической строгости. Физик читает формулу типа $x^{3/5}$ не как последовательность значков, а с учётом известного ему смысла этого выражения в широком контексте, и догадается, что туда можно или нельзя подставлять, и какое значение корня выбрать. Разумеется, часто это то же самое, что математик записал бы как $\sqrt[5]{x^3}$ или $(\sqrt[5]{x}\,)^3,$ просто физикам лень со значком радикала возиться.

[project15]

Еще раз благодарю всех, кто принял участие в обсуждении этого вопроса. Я получил все ответы. Тему можно считать закрытой.

[dmd]

Обратите внимание: W.Mathematica, W.Alpha, Pari/GP, Octave, Scilab считают, что ∛-1=0.5+0.8660254i; Geogebra, Maxima, Magma что ∛-1=-1.
Копья ещё долго будут ломаться на этом вопросе, пока в школе не введут в курсе комплексных чисел понятие "главное значение" комплексных ветвей отрицательного числа в дробной степени. Самый простой способ окончательно оставить арифметический корень историкам - построить некий простейший наглядный физический опыт, в котором динамика протекает как $x^{1/3}$, и демонстрирующий при выходе аргумента в отрицательную область, что сама Природа выбирает "главное значение" комплексных ветвей.

[GAA]

dmd в сообщении #1371898 писал(а):

Обратите внимание: W.Mathematica, W.Alpha, Pari/GP, Octave, Scilab считают, что ∛-1=0.5+0.8660254i; Geogebra, Maxima, Magma что ∛-1=-1.

Они возвращают главное значение. Вообще СКА, если явно не уточнено, работают с комплексными числами. В Мaple можно попросить не главное значение

> surd(-8,3);
                              -2

И об этом уже писал mihailm.

Темы соединены. Может теперь будет меньше повторов.

В сообщении post1371741.html#p1371741 я был крайне небрежен (там столько ляпов можно насчитать!), но так как проблема туманна, то стараться не хочется.

На мой взгляд, небольшими пояснениями можно уйти от недоразумений.

[Мне лично интересны конкретные затруднения и ошибки.]

[B@R5uk]

dmd в сообщении #1371898 писал(а):

Обратите внимание: W.Mathematica, W.Alpha, Pari/GP, Octave, Scilab считают, что ∛-1=0.5+0.8660254i; Geogebra, Maxima, Magma что ∛-1=-1.

А в MATLAB'е вообще нет кубического корня или корня произвольной степени. Единственный способ посчитать это значение — это возвести -1 в дробную степень, которая, очевидно, будет уже произвольным рациональным числом и её компьютерное представление будет содержать ошибку в связи с ограниченной точностью числа с плавающей точкой.
>> (-1)^(1/3)
ans =
0.5000 + 0.8660i

[GAA]

B@R5uk, Matlab 2013 (достаточно древний)

>> nthroot(-8, 3)
ans =
     -2 
>> nthroot(-1, 3)
ans =
     -1

В этой теме ссылки на пакеты — не аргумент.

Обсуждение корней и степеней в компьютерных пакетов, СКА, и т.п. в теме: О степени и корнях в различных пакетах.