Корень vs. степень: область определения

[arseniiv]

Знаю две точки зрения на область определения функции $x \mapsto x^{1/3}$: $[0; +\infty)$ и $(-\infty; +\infty)$. Меня вконец так запутали, что интересно хотя бы посмотреть, кто имеет какое мнение и что считает правильным.

Прошу с пояснениями.

[Munin]

$\mathbb{C}$

[arseniiv]

А. Оплошность моя. Если рассматривать сужение на подмножество $\mathbb R$.

[mihailm]

>= нуля
все числа, если это не степень а корень

[arseniiv]

mihailm в сообщении #501744 писал(а):

>= нуля
все числа, если это не степень а корень

А пояснение?

[mihailm]

Maple и учебник Колмогорова (для 10-11 классов)

[arseniiv]

А ссылку? [На Maple уповать как-то не лепо. ]

[Munin]

arseniiv в сообщении #501743 писал(а):

А. Оплошность моя. Если рассматривать сужение на подмножество $\mathbb R$.

Тогда на какое хотите подмножество, на то и сужаете. В том числе, и на всё $\mathbb{R}.$

Стоит заметить, разве что, что на лучах $(-\infty,0)$ и $(0,+\infty)$ действительные значения находятся на разных листах комплексной функции, но в нуле они гладко стыкуются.

-- 09.11.2011 23:04:08 --

mihailm
Ну да, Maple у нас авторитет, а не счётная машинка со своими недостатками :-)

-- 09.11.2011 23:07:39 --

Munin в сообщении #501755 писал(а):

но в нуле они гладко стыкуются.

Хм. Призадумался, а гладко ли. Вроде, гладко, но доказать не могу.

-- 09.11.2011 23:15:23 --

Нет, не похоже, чтобы гладко...

[mihailm]

arseniiv в сообщении #501753 писал(а):

А ссылку? [На Maple уповать как-то не лепо. ]

Главным основанием служат правила работы со степенями и корнями
Пришлось скачать учебник Колмогорова, параграф 9
А про мепл зря вы так, проверьте как действуют функции x^(1/3) и surd(x,3)

[Munin]

mihailm в сообщении #501761 писал(а):

Пришлось скачать учебник Колмогорова, параграф 9

Уточните название и год издания.

-- 09.11.2011 23:28:15 --

mihailm в сообщении #501761 писал(а):

А про мепл зря вы так, проверьте как действуют функции x^(1/3) и surd(x,3)

А мепл знает, что 1/3 - рациональное число, или считает его произвольным вещественным?

[arseniiv]

Я нашёл упомянутый учебник. После определения рациональной степени для оснований, не меньших нуля, приводится Замечание 3, говорящее:

Цитата:

При $a < 0$ рациональная степень числа $a$ не определяется, и это не случайно. Если бы мы сочли верной формулу (1) [$a^{\frac mn} = \sqrt[n]{a^m}$ — прим. меня] и для $a < 0$, то, например, значение $(-8)^\frac13$ равнялось бы $\sqrt[3]{-2}$, т. е. $-2$. Но, с другой стороны, $\frac13 = \frac26$, и поэтому должно выполняться равенство $-2 = (-8)^{\frac13} = (-8)^{\frac26} = \sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{8^2} = 2$.

По-моему, весьма неосторожное заявление. (А определение вообще некорректное — где гарантия, что $a^{3/7} = a^{6/14}$? А по вышеуказанному определению эти две записи, в сущности, раскрываются по-разному, хотя $3/7 \equiv 6/14$. Они не должны зависеть от способа записи моего любимого числа из $\mathbb Q$.)
Если определить $a^q = \sqrt[\mathsf Dq]{a^{\mathsf Nq}}$, где $\mathsf Nq$ и $\mathsf Dq$ — числитель и знаменатель представления $q$ примитивной дробью. (Не знаю, нужно ли их определять по-особому для нуля, доделать определение всё равно просто.) Данное мной определение при возможности распространяется на всё $\mathbb R$. Тоже это можно оговорить в самом нём, глядя на $\mathsf Dq$.

-- Чт ноя 10, 2011 01:32:03 --

Munin в сообщении #501764 писал(а):

А мепл знает, что 1/3 - рациональное число, или считает его произвольным вещественным?

Должен.

-- Чт ноя 10, 2011 01:36:23 --

Mathematica 8 вообще считает значением обоих выражений $\sqrt[3]{-8}$ и $(-2)^{1/3}$ следующую вещь: $2(-1)^{1/3}$ (т. е. уходит в комплексные числа; берутся только главные значения многозначных функций).

[Quasus]

arseniiv в сообщении #501770 писал(а):

(А определение вообще некорректное — где гарантия, что $a^{3/7} = a^{6/14}$? А по вышеуказанному определению эти две записи, в сущности, раскрываются по-разному, хотя $3/7 \equiv 6/14$. Они не должны зависеть от способа записи моего любимого числа из $\mathbb Q$.)

Определение корректное, но его корректность надо обосновывать.

[arseniiv]

Корректность, конечно, видна через несколько шагов. Но не лучше ли сделать её сразу?

[mihailm]

Munin в сообщении #501764 писал(а):

Уточните название и год издания.
...

Алгебра и начала математического анализа , 2008 год, 17-е издание

[Munin]

mihailm
Спасибо. В дореволюционных изданиях совсем другие главы и параграфы.