2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.
 
 Корень vs. степень: область определения
Сообщение09.11.2011, 21:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27204
Знаю две точки зрения на область определения функции $x \mapsto x^{1/3}$: $[0; +\infty)$ и $(-\infty; +\infty)$. Меня вконец так запутали, что интересно хотя бы посмотреть, кто имеет какое мнение и что считает правильным.

Прошу с пояснениями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение09.11.2011, 21:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
$\mathbb{C}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение09.11.2011, 21:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27204
А. Оплошность моя. Если рассматривать сужение на подмножество $\mathbb R$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение09.11.2011, 21:52 


19/05/10

3940
Россия
>= нуля
все числа, если это не степень а корень

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение09.11.2011, 21:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27204
mihailm в сообщении #501744 писал(а):
>= нуля
все числа, если это не степень а корень
А пояснение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение09.11.2011, 21:57 


19/05/10

3940
Россия
Maple и учебник Колмогорова (для 10-11 классов)

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение09.11.2011, 21:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27204
А ссылку? [На Maple уповать как-то не лепо. :| ]

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение09.11.2011, 22:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
arseniiv в сообщении #501743 писал(а):
А. Оплошность моя. Если рассматривать сужение на подмножество $\mathbb R$.

Тогда на какое хотите подмножество, на то и сужаете. В том числе, и на всё $\mathbb{R}.$

Стоит заметить, разве что, что на лучах $(-\infty,0)$ и $(0,+\infty)$ действительные значения находятся на разных листах комплексной функции, но в нуле они гладко стыкуются.

-- 09.11.2011 23:04:08 --

mihailm
Ну да, Maple у нас авторитет, а не счётная машинка со своими недостатками :-)

-- 09.11.2011 23:07:39 --

Munin в сообщении #501755 писал(а):
но в нуле они гладко стыкуются.

Хм. Призадумался, а гладко ли. Вроде, гладко, но доказать не могу.

-- 09.11.2011 23:15:23 --

Нет, не похоже, чтобы гладко...

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение09.11.2011, 22:15 


19/05/10

3940
Россия
arseniiv в сообщении #501753 писал(а):
А ссылку? [На Maple уповать как-то не лепо. :| ]


Главным основанием служат правила работы со степенями и корнями
Пришлось скачать учебник Колмогорова, параграф 9
А про мепл зря вы так, проверьте как действуют функции x^(1/3) и surd(x,3)

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение09.11.2011, 22:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
mihailm в сообщении #501761 писал(а):
Пришлось скачать учебник Колмогорова, параграф 9

Уточните название и год издания.

-- 09.11.2011 23:28:15 --

mihailm в сообщении #501761 писал(а):
А про мепл зря вы так, проверьте как действуют функции x^(1/3) и surd(x,3)

А мепл знает, что 1/3 - рациональное число, или считает его произвольным вещественным?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение09.11.2011, 22:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27204
Я нашёл упомянутый учебник. После определения рациональной степени для оснований, не меньших нуля, приводится Замечание 3, говорящее:
Цитата:
При $a < 0$ рациональная степень числа $a$ не определяется, и это не случайно. Если бы мы сочли верной формулу (1) [$a^{\frac mn} = \sqrt[n]{a^m}$ — прим. меня] и для $a < 0$, то, например, значение $(-8)^\frac13$ равнялось бы $\sqrt[3]{-2}$, т. е. $-2$. Но, с другой стороны, $\frac13 = \frac26$, и поэтому должно выполняться равенство $-2 = (-8)^{\frac13} = (-8)^{\frac26} = \sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{8^2} = 2$.
По-моему, весьма неосторожное заявление. (А определение вообще некорректное — где гарантия, что $a^{3/7} = a^{6/14}$? А по вышеуказанному определению эти две записи, в сущности, раскрываются по-разному, хотя $3/7 \equiv 6/14$. Они не должны зависеть от способа записи моего любимого числа из $\mathbb Q$.)
Если определить $a^q = \sqrt[\mathsf Dq]{a^{\mathsf Nq}}$, где $\mathsf Nq$ и $\mathsf Dq$ — числитель и знаменатель представления $q$ примитивной дробью. (Не знаю, нужно ли их определять по-особому для нуля, доделать определение всё равно просто.) Данное мной определение при возможности распространяется на всё $\mathbb R$. Тоже это можно оговорить в самом нём, глядя на $\mathsf Dq$.

-- Чт ноя 10, 2011 01:32:03 --

Munin в сообщении #501764 писал(а):
А мепл знает, что 1/3 - рациональное число, или считает его произвольным вещественным?
Должен.

-- Чт ноя 10, 2011 01:36:23 --

Mathematica 8 вообще считает значением обоих выражений $\sqrt[3]{-8}$ и $(-2)^{1/3}$ следующую вещь: $2(-1)^{1/3}$ (т. е. уходит в комплексные числа; берутся только главные значения многозначных функций).

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение09.11.2011, 22:46 
Аватара пользователя


05/11/09
90
arseniiv в сообщении #501770 писал(а):
(А определение вообще некорректное — где гарантия, что $a^{3/7} = a^{6/14}$? А по вышеуказанному определению эти две записи, в сущности, раскрываются по-разному, хотя $3/7 \equiv 6/14$. Они не должны зависеть от способа записи моего любимого числа из $\mathbb Q$.)


Определение корректное, но его корректность надо обосновывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение09.11.2011, 22:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27204
Корректность, конечно, видна через несколько шагов. Но не лучше ли сделать её сразу? :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение09.11.2011, 22:58 


19/05/10

3940
Россия
Munin в сообщении #501764 писал(а):
Уточните название и год издания.
...

Алгебра и начала математического анализа , 2008 год, 17-е издание

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение09.11.2011, 23:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
mihailm
Спасибо. В дореволюционных изданиях совсем другие главы и параграфы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 99 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group