2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.
 
 Корень vs. степень: область определения
Сообщение09.11.2011, 21:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
26008
Знаю две точки зрения на область определения функции $x \mapsto x^{1/3}$: $[0; +\infty)$ и $(-\infty; +\infty)$. Меня вконец так запутали, что интересно хотя бы посмотреть, кто имеет какое мнение и что считает правильным.

Прошу с пояснениями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение09.11.2011, 21:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
16/12/19
71277
$\mathbb{C}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение09.11.2011, 21:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
26008
А. Оплошность моя. Если рассматривать сужение на подмножество $\mathbb R$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение09.11.2011, 21:52 


19/05/10

3940
Россия
>= нуля
все числа, если это не степень а корень

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение09.11.2011, 21:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
26008
mihailm в сообщении #501744 писал(а):
>= нуля
все числа, если это не степень а корень
А пояснение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение09.11.2011, 21:57 


19/05/10

3940
Россия
Maple и учебник Колмогорова (для 10-11 классов)

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение09.11.2011, 21:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
26008
А ссылку? [На Maple уповать как-то не лепо. :| ]

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение09.11.2011, 22:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
16/12/19
71277
arseniiv в сообщении #501743 писал(а):
А. Оплошность моя. Если рассматривать сужение на подмножество $\mathbb R$.

Тогда на какое хотите подмножество, на то и сужаете. В том числе, и на всё $\mathbb{R}.$

Стоит заметить, разве что, что на лучах $(-\infty,0)$ и $(0,+\infty)$ действительные значения находятся на разных листах комплексной функции, но в нуле они гладко стыкуются.

-- 09.11.2011 23:04:08 --

mihailm
Ну да, Maple у нас авторитет, а не счётная машинка со своими недостатками :-)

-- 09.11.2011 23:07:39 --

Munin в сообщении #501755 писал(а):
но в нуле они гладко стыкуются.

Хм. Призадумался, а гладко ли. Вроде, гладко, но доказать не могу.

-- 09.11.2011 23:15:23 --

Нет, не похоже, чтобы гладко...

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение09.11.2011, 22:15 


19/05/10

3940
Россия
arseniiv в сообщении #501753 писал(а):
А ссылку? [На Maple уповать как-то не лепо. :| ]


Главным основанием служат правила работы со степенями и корнями
Пришлось скачать учебник Колмогорова, параграф 9
А про мепл зря вы так, проверьте как действуют функции x^(1/3) и surd(x,3)

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение09.11.2011, 22:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
16/12/19
71277
mihailm в сообщении #501761 писал(а):
Пришлось скачать учебник Колмогорова, параграф 9

Уточните название и год издания.

-- 09.11.2011 23:28:15 --

mihailm в сообщении #501761 писал(а):
А про мепл зря вы так, проверьте как действуют функции x^(1/3) и surd(x,3)

А мепл знает, что 1/3 - рациональное число, или считает его произвольным вещественным?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение09.11.2011, 22:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
26008
Я нашёл упомянутый учебник. После определения рациональной степени для оснований, не меньших нуля, приводится Замечание 3, говорящее:
Цитата:
При $a < 0$ рациональная степень числа $a$ не определяется, и это не случайно. Если бы мы сочли верной формулу (1) [$a^{\frac mn} = \sqrt[n]{a^m}$ — прим. меня] и для $a < 0$, то, например, значение $(-8)^\frac13$ равнялось бы $\sqrt[3]{-2}$, т. е. $-2$. Но, с другой стороны, $\frac13 = \frac26$, и поэтому должно выполняться равенство $-2 = (-8)^{\frac13} = (-8)^{\frac26} = \sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{8^2} = 2$.
По-моему, весьма неосторожное заявление. (А определение вообще некорректное — где гарантия, что $a^{3/7} = a^{6/14}$? А по вышеуказанному определению эти две записи, в сущности, раскрываются по-разному, хотя $3/7 \equiv 6/14$. Они не должны зависеть от способа записи моего любимого числа из $\mathbb Q$.)
Если определить $a^q = \sqrt[\mathsf Dq]{a^{\mathsf Nq}}$, где $\mathsf Nq$ и $\mathsf Dq$ — числитель и знаменатель представления $q$ примитивной дробью. (Не знаю, нужно ли их определять по-особому для нуля, доделать определение всё равно просто.) Данное мной определение при возможности распространяется на всё $\mathbb R$. Тоже это можно оговорить в самом нём, глядя на $\mathsf Dq$.

-- Чт ноя 10, 2011 01:32:03 --

Munin в сообщении #501764 писал(а):
А мепл знает, что 1/3 - рациональное число, или считает его произвольным вещественным?
Должен.

-- Чт ноя 10, 2011 01:36:23 --

Mathematica 8 вообще считает значением обоих выражений $\sqrt[3]{-8}$ и $(-2)^{1/3}$ следующую вещь: $2(-1)^{1/3}$ (т. е. уходит в комплексные числа; берутся только главные значения многозначных функций).

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение09.11.2011, 22:46 
Аватара пользователя


05/11/09
90
arseniiv в сообщении #501770 писал(а):
(А определение вообще некорректное — где гарантия, что $a^{3/7} = a^{6/14}$? А по вышеуказанному определению эти две записи, в сущности, раскрываются по-разному, хотя $3/7 \equiv 6/14$. Они не должны зависеть от способа записи моего любимого числа из $\mathbb Q$.)


Определение корректное, но его корректность надо обосновывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение09.11.2011, 22:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
26008
Корректность, конечно, видна через несколько шагов. Но не лучше ли сделать её сразу? :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение09.11.2011, 22:58 


19/05/10

3940
Россия
Munin в сообщении #501764 писал(а):
Уточните название и год издания.
...

Алгебра и начала математического анализа , 2008 год, 17-е издание

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение09.11.2011, 23:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
16/12/19
71277
mihailm
Спасибо. В дореволюционных изданиях совсем другие главы и параграфы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 99 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: oleg.k


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group