2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение09.11.2011, 23:18 


19/05/10

3940
Россия
Munin в сообщении #501800 писал(а):
mihailm
Спасибо. В дореволюционных изданиях совсем другие главы и параграфы.


(Оффтоп)

И даже название)

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение09.11.2011, 23:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71846
arseniiv
Я понял, откуда разночтения. $x^{1/3}$ можно определить как функцию, обратную $y^3,$ тогда получается и отрицательная ветка параболы. Но степеней, с которыми можно провернуть этот фокус, очень немного.

В школьном учебнике Мордковича даны иные опеределения, чем в Колмогорове, в частности,
    Корнем нечётной степени $n$ из отрицательного числа $a$ называют такое отрицательное число, которое, будучи возведено в степень $n,$ даёт в результате число $a.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение09.11.2011, 23:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
26396
Насчёт корня сомнений-то и нет. (Надо было, наверно, в первом сообщении написать.) А вот степень с чего так… :roll:

Корень и в вышеупомянутом имеет смысл для отрицательных значений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение09.11.2011, 23:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71846
Нет, у Колмогорова (в указанном издании):
    Арифметическим корнем $n$-й степени из числа $a$ называют неотрицательное число, $n$-я степень которого равна $a.$
Дальше степень с рациональным показателем определяется через арифметический корень.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение09.11.2011, 23:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
26396
Там где-то позже дополняется на отрицательные. Не понял, как это они так без форматирования текста даже. Прям в тексте через страницу. Издание, которое у меня, уже лень смотреть, закрыл файл; но явно не очень новое. В общем, я ничего не говорил. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение10.11.2011, 00:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71846
А, действительно. Неудобочитаемо :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение10.11.2011, 07:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5668
Новосибирск
arseniiv в сообщении #501736 писал(а):
Знаю две точки зрения на область определения функции

Я считаю, что нефиг нам иметь два обозначения для одной и той же функции, есть и другие соображения в поддержку различия.
Вот не далее, как сегодня на лекции разъяснял, что $\sqrt[n]{\ }$ - это обратная функция для возведения в степень с максимально возможной для данного правила областью определения, а степенная запись определяется только для аргумента строго положительного и не равного 1. Это, так сказать, конвенция такая. Другое дело, что сколько конвенций не заключай, Паниковские всегда найдутся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение10.11.2011, 10:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71846
bot
По вашей конвенции, записи с радикалом и со степенью неэквивалентны, когда могли бы быть. Неудобная конвенция. Получается, переход от одного к другому столь же "небезопасен", сколь умножение обеих частей равенства на знаменатель. Запоминать лишние правила, бояться их нарушить... ради чего?

Имхо, самое естественное - "максимально возможная область определения" для любых записей для любых случаев.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение10.11.2011, 10:47 
Заслуженный участник


11/05/08
31882
Munin в сообщении #501984 писал(а):
Запоминать лишние правила, бояться их нарушить... ради чего?

На то есть веские эстетические (но лишь сугубо эстетические) основания, они где-то тут уже высказывались. Запись $x^{1/3}$ формально эквивалентна записи $x^{2/6}$, которая может интерпретироваться как $\sqrt[6]{x^2}$ (и тогда для отрицательных иксов результат неверен) или как $(\sqrt[6]x)^2$ (и тогда это просто некорректно). Этой коллизии можно избежать, сделав соответствующие оговорки насчёт определения степени, но это долго и неэстетично. На практике, тем не менее, никто этими вопросами не заморачивается и считают записи $x^{1/3}$ и $\sqrt[3]x$ просто синонимами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение10.11.2011, 11:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5668
Новосибирск
ewert в сообщении #501989 писал(а):
На практике, тем не менее, никто этими вопросами не заморачивается

Если бы не нарушали другую конвенцию, в которой прямо указывается, что при задании функции необходимо указывать область, в которой гуляет аргумент, то и заморачиваться бы не пришлось. А задачи на нахождение области определения функции были бы просто некорректными.
А заморачиваться порой приходится, к примеру, лектору, приступающему к определению показательной функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение10.11.2011, 20:13 
Заслуженный участник


11/05/08
31882

(Оффтоп)

bot в сообщении #502006 писал(а):
А заморачиваться порой приходится, к примеру, лектору, приступающему к определению показательной функции.

Вот что это за лектор такой, которому приходится приступать к её определению?... По моим представлениям, это даже для математиков невозможно. Категорически не хватит никакого времени -- точные определения всех элементарных функций перебрать. Придётся так или иначе произносить заклинания типа "ну, об этом вы ещё со школы имеете некоторое представление, и мамой клянусь -- всё это можно оправдать аккуратно!".

 Профиль  
                  
 
 Вопрос про степень с дробным показателем.
Сообщение24.01.2019, 23:39 


24/01/19
54
Всегда полагал, что понятие степени числа - нечто более общее, чем понятие корня из числа (здесь и далее речь о действительных числах). В моей картине мира корни - частный случай степени (когда показатель дробный и равен $1/n$). Стандартный порядок изложения данного вопроса следующий. Сначала определяют понятие корня из числа, далее с помощью корня вводят определение степени с дробным показателем. Все свойства дробных степеней доказывают через свойства корней. В связи с этим вопрос: можно ли каким-то образом определить степень числа сразу, без корней, доказать свойства степеней (произведение, частное, степень в степени, произведение в степени, частное в степени), а потом невзначай "заметить", что корень - это просто степень с показателем $1/n$, а раз свойства для степеней мы доказали, то свойства корней доказывать не надо, т.к. они напрямую вытекают из доказанных ранее свойств степеней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про степень с дробным показателем.
Сообщение24.01.2019, 23:44 
Аватара пользователя


22/06/12
1440
project15, приведите попытки решения :mrgreen:

Например, рассмотрите такое "определение"
$$
x^\alpha \equiv e^{\alpha \ln x}
$$
Удовлетворит ли оно вас?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про степень с дробным показателем.
Сообщение24.01.2019, 23:51 


24/01/19
54
Не понимаю, как вы используете степень числа e, учитывая что у нас пока нету не то что вещественных, а даже дробных степеней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос про степень с дробным показателем.
Сообщение24.01.2019, 23:58 
Аватара пользователя


22/06/12
1440
project15, ну хорошо, замените $e^x$ на другое обозначение: $\exp(x)$. Можно тогда задать $\ln x$ как-нибудь хорошо, а $\exp(x)$ рассмотреть как обратную. Потом показать, что у неё есть хорошие свойства, из которых такие же свойства будут следовать для всего зоопарка степеней положительных чисел.

Если же это для совсем-совсем школьников, то я тогда заткнусь лучше, потому как научить логарифмической науке до вещественных чисел я не представляю как.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 99 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group