Корень vs. степень: область определения

[project15]

Нет, это не для школьников. Это лично для меня. Можете предлагать самые разнообразные варианты. Считайте вещественные числа и все их свойства определенными.

Дело вот в чем. Меня немного смущает само понятие корня.
Взять хотя бы существование аж двух корней - арифметического и алгебраического (обозначения которых, насколько я знаю, совпадают). И ладно бы арифметический корень (имеется в виду с любым показателем) был бы всегда определен только для положительных чисел (как у Фихтенгольца например). Доказать свойства таких корней было бы относительно не трудоемко. Тогда фраза "корень третьей степени из числа (-8)" не имела бы смысла. Но ведь нет же! Корни с нечетными показателями доопределяют и для отрицательных чисел. И по хорошему, доказывая свойства корней, приходится всякий раз оговаривать, для какого корня мы это свойство доказываем - для арифметического или для алгебраического. Некоторые свойства для арифметических будут являться следствиями свойств, доказанных для алгебраических корней. Далее приходится постоянно перебирать кучу вариантов, связанных с четностью/нечетностью показателей корней. А ведь еще и речи не было про дробные показатели степеней (которые к тому же некоторые определяют для отрицательных чисел, когда знаменатель дроби является нечетным числом) . Все это наводит меня на мысль о том, что понятие корня надо бы как то обойти.

[mihaild]

Можно идти разными путями. Например, можно определить $\ln x$ как $\int\limits_{1}^x \frac{1}{x}\, dx$. Или $\exp(x)$ как, на выбор:
-предел $\lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n$
-$\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$
-решение диффура $f\prime(x) = f(x), f(0) = 1$
-(наверняка еще как-то)
После того, как у нас есть экспонента или логарифм - определяем оставшееся как обратное предыдущему, и получаем $a^b = \exp(b \ln a)$ для положительно $a$ и вещественного $b$.

[project15]

А есть вообще хоть какой-то смысл определять дробные степени для отрицательных чисел? Или все тексты, где такое определение присутствует, следует игнорировать?

[StaticZero]

project15 в сообщении #1371578 писал(а):

Корни с нечетными показателями доопределяют и для отрицательных чисел.

А, вот где собака порылась. Замечу тогда, что кубических корней из $-8$ целых три штуки, а тот, про который все думают, лишь один из них, который формально получается решением уравнения $-8 = x^3$ (решение действительно существует и единственно в $\mathbb R$).

В общем серебряная пуля для разрешения ваших вопросов, наверное, выход в $\mathbb C$, но эта пуля довольно дорогая. Подешевле будет определить положительные степени через экспоненту с логарифмом, а для отрицательных говорить об уравнении $x^n = a$, которое либо имеет, либо не имеет решений. Потом рассмотреть уравнение $y^n = ab$ и сказать, что одно из решений есть $x_1 x_2$, где $x_1^n = a$, $x_2^n = b$, а других и нет.

[project15]

А не возникнет ли порочный круг при определении логарифмической функции, если само понятие логарифма мы пока не определили? То же относится и к экспоненте.

[StaticZero]

project15, с чего бы? Ну вот можно воспользоваться, например, таким способом:

$$ \ln x = \int \limits_1^x \frac{\mathrm dt}{t}. $$

[mihaild]

project15 в сообщении #1371582 писал(а):

А есть вообще хоть какой-то смысл определять дробные степени для отрицательных чисел?

"На самом деле" дробные степени живут в комплексной плоскости. Попытки их использовать, особенно с отрицательными числами, оставаясь на вещественной прямой - странная идея.
Но нужно учитывать, что на комплексной плоскости все эти функции устроены сильно интереснее, чем на прямой. Скажем $\exp(z)$ получается периодической, соответственно $\ln z$ многозначной, как и $z^a$ при нецелом $a$.

StaticZero в сообщении #1371584 писал(а):

Потом рассмотреть уравнение $y^n = ab$ и сказать, что одно из решений есть $x_1 x_2$, где $x_1^n = a$, $x_2^n = b$,

Ну вот одно из следствий того, что дробные вещественные степени отрицательных чисел - неестественная штука. Подставьте $n = 2, a = b = -1$.

project15 в сообщении #1371588 писал(а):

А не возникнет ли порочный круг при определении логарифмической функции, если само понятие логарифма мы пока не определили? То же относится и к экспоненте.

Можно определить $\ln$ как обратную к $\exp$ функцию.

[StaticZero]

mihaild в сообщении #1371598 писал(а):

Ну вот одно из следствий того, что дробные вещественные степени отрицательных чисел - неестественная штука. Подставьте $n = 2, a = b = -1$.

Я там может криво написал. Там в другую сторону читать надо. То есть если уравнения $x^n_1 = a, x^n_2 = b$ решаются, то решится и уравнение $y^n = ab$, причем решение будет такое, как написано.

[Munin]

project15 в сообщении #1371578 писал(а):

Нет, это не для школьников. Это лично для меня.

Проблема в том, что операция возведения в степень - вообще "какая-то нехорошая".

$\mathbb{N}.$ Натуральные числа легко возводить в натуральную степень. Но натуральные числа не замкнуты относительно вычитания - куда более базовой операции.

$\mathbb{Z}.$ Целые числа в целую степень? Уже не получается, требуются рациональные числа, чтобы выразить результат.

$\mathbb{Q}.$ Рациональные числа в рациональную степень. Это как раз в точности корни. Они во-первых, иррациональные. Во-вторых, часто комплексные. А в-третьих, теряется даже однозначность операции возведения в степень. $2=\tfrac{2}{1}=\tfrac{4}{2},$ так что можно подумать, что $2^2=\sqrt[2]{2^4}=\pm 4$ (???). (На самом деле, так думать не стоит.) В школе и для практических целей можно выкрутиться, беря каждый раз действительное положительное значение корня, но для математики это не годится.

Дальше идут действительные числа, алгебраические, комплексные.

$\mathbb{R}.$ Как определить операцию возведения в действительное число? Мы можем возвести $2$ в степень $1$; $1{,}4$; $1{,}5$; $1{,}41$; $1{,}42$; $1{,}414$... но это всё не даст нам возведения в степень $\sqrt{2}.$ Раньше мы обходились алгебраическими свойствами степени, но теперь они не помогут. Можно доопределить результат по непрерывности: мы говорим, что хотим, чтобы график функции $y=2^x$ рисовался непрерывной линией. Поскольку он уже проведён в рациональных точках, и уже складывается в линию. Так сделать можно, и так определяют показательную функцию $x^y,$ но увы - только для положительных оснований.

$\mathbb{C}.$ С комплексными числами ситуация не легче. Опять, можно возвести комплексное число в целую степень, но уже даже в рациональную - получается много корней. Пока мы явно держим перед собой корень - мы можем пересчитать хотя бы множество значений. Но сделать из операции корня операцию возведения в рациональную степень - не получается, потому что исчезает критерий, который я упоминал выше: "взять действительное положительное значение". Например, у $\sqrt[3]{i}$ три значения, и все комплексные. Можно определить операцию возведения действительного положительного числа в комплексную степень - опять же, по непрерывности. Но на этом всё.

$\mathbb{A}.$ С алгебраическими всё настолько же плохо, как с рациональными, и настолько же плохо, как с комплексными. Алгебраическое число в алгебраической (но не рациональной) степени - как правило, не алгебраическое число. И вот выбирать "арифметический корень" нельзя - нет критерия (потому что алгебраические числа, на самом деле, живут в комплексной плоскости). То есть, тот же пример с $\sqrt[3]{i}$ и в алгебраических числах имеет три значения. Никакие соображения по непрерывности для алгебраических чисел не работают.

Есть ещё одно (как минимум) применение операции возведения в степень. Оно относится к неотрицательным целым числам. Их можно понимать как мощности множеств (кардинальные числа), и тогда $m^n$ - мощность множества всевозможных отображений (функций) из множества мощности $n$ в множество мощности $m$ (например, из множества $\{1,\ldots,n\}$ в множество $\{1,\ldots,m\}$). Так определённую операцию можно обобщить на мощности бесконечных множеств, и рассматривать, например, равенства типа $|\mathbb{N}|^2=|\mathbb{N}|,$ $|\mathbb{N}|^{|\mathbb{N}|}=2^{|\mathbb{N}|}.$

[project15]

Благодарю всех, кто принял (и может быть еще и примет) участие в обсуждении этого вопроса. Я получил все необходимые ответы. Не хочу создавать новую тему в вопросах преподавания. Хочу для будущих читателей этой темы (и для себя в т.ч.) подвести некоторые итоги, касающиеся методической части. Собственно 2 вопроса.

1. Как вы считаете, с методической точки зрения (для школьников/студентов 1-курс) стоит ли доопределять корни нечетных степеней до отрицательных подкоренных выражений, или же фразы наподобие "корень третьей степени из числа (-8)" сразу пресекать на месте и говорить, что они не имеют смысл (т.е. ограничиться изучением только арифметических корней)?

2. Стоит ли определять степень с дробным показателем для отрицательных оснований (когда показатель - несократимая дробь с нечетным основанием)?

Мое мнение заключается в том, что ни корни, ни степени доопределять не надо, т.к.
- усложнится вывод свойств (интересно, кто-нибудь проверял все свойства корней, перебирая все комбинации четных/нечетных показателей и положительных/неотрицательных/отрицательных подкоренных выражений).
- усложнится практическое применение, т.к. придется постоянно контролировать четность/нечетность/сократимость/несократимость/ОДЗ/.../
- половина свойств вообще перестанут работать (при механическом применении)

P.S. Хочу понять мотивацию авторов, которые такие доопределения делают (книги, где встречаются такие доопределения, я видел достаточно часто, тот же курс анализа Берманта А.Ф. 1959 г. в двух томах, например).

[Dmitriy40]

Такой мотив как не потерять некоторые возможные решения Вас не устраивает? Далеко не все физические характеристики измеряются исключительно неотрицательными числами, наверняка при анализе (не)устойчивостей можно наткнуться на такие возможные решения и тогда ограничение лишь положительной областью может привести к разрушению конструкции (смена знака обратной связи и вместо подавления резонанса его возбуждение) ... Разве это недостаточный мотив? Или во всех таких случаях обязательно выходить в комплексные числа и потом отдельно отбирать физически осмысленные решения?
PS. Пример привести не могу, даже не уверен есть ли он вообще.

[project15]

К сожалению не знаком с данным физическим явлением (да что уж греха таить, физику я знаю крайне плохо). Но идею вашего комментария я кажется уловил. Я бы в такой ситуации стал бы выводить свойства именно тех корней, которые нужны при решении данной задачи. Пользоваться механически знакомыми свойствами корней я бы не стал, т.к. если мы допускаем отрицательные подкоренные выражения, то некоторые свойства перестают работать.

В учебниках математики, как мне кажется, надо излагать материал (как минимум этот) с такой точки зрения, в которой меньше всего ограничений, которая предполагает самые сильные методы, которая наиболее общая, если так можно выразиться в данном случае. Возможность не думать ни о чем, кроме "циферок над радикалами" ("циферок в показателе") - очень сильная. Но такая возможность есть только при использовании положительных подкоренных выражений (оснований).

Если задача сильно упрощается при применении иного определения корня (например, позволим корню нечетной степени иметь любое вещественное подкоренное выражение и самому быть любого знака), то это несомненно замечательно. Но в таком случае свойства этого "нового" корня будут немного другие. Благо, для конкретной задачи маловероятно, что потребуются все свойства такого корня. А те немногочисленные, которые все же будут нужны, можно вывести "на ходу", во время решения этой конкретной задачи. Но для учебника математики, такое определение корня (на мой взгляд) не годится.

[Dmitriy40]

Чтобы вывести нужные свойства надо: а) знать что они есть/бывают; б) уметь их выводить. Вы предлагаете ни то ни другое в учебниках не упоминать и будущим инженерам не говорить и не учить их этому, так? Тогда у меня сомнения что они все (кому это реально понадобится) смогут это сделать и вообще задумаются о необходимости этого.
Возможно лучше будет промежуточный подход: в основной теории не использовать, но давать сноску типа "вот тут возможны хитрые случаи, подробнее смотреть в тех-то и тех-то учебниках/справочниках".

[project15]

Dmitriy40,
Вы меня похоже неправильно поняли (или я неточно выразился). Я не предлагаю убирать корни и степени из программы обучения математиков или инженеров! Речь идет о том, какое определение корня (и степеней) выбрать (т.е. позволять ли корню нечетной степени принимать отрицательные значения/позволять ли основаниям степеней с дробным несократимым показателем с нечетным знаменателем принимать отрицательные значения). Я видел литературу, в которой используется как первый подход (изучаются только арифметические корни и только положительные основания дробных степеней, например, трехтомник Фихтенгольца 2003 г), так и второй (Бермант, см. выше). Я считаю, что наиболее целесообразное определение, в котором все корни арифметические, а все дробные степени имеют положительное основание, т.к. из этого определения вытекает ряд следствий (свойств), которые относительно легко вывести, которые легко применять и которые достаточно (хоть и не максимально) общие. При втором варианте определения корней и степеней возникают трудности и при выводе свойств, и при использовании (нужно контролировать много всего: ОДЗ/четность/нечетность/сократимость/.../положительное/отрицательное/подкоренное/основание и т.д., сумбурно, но думаю вам понятно, что я имею в виду). Если вы смогли вывести свойства для арифметических корней (степеней с положительным основанием), то свойства для "нового" корня (и "новой" степени) вы сможете вывести без труда (если, конечно, такой "новый" корень ("новая" степень) вам когда-нибудь потребуется). Но повторюсь, это лишь мое мнение. Я не исключаю, что могу ошибаться. Надеюсь, что более опытные участники форума, чем я, помогут мне в этом.

[GAA]

Как бы уже обсуждали:
«Рациональные степени (определения, терминология)», «Корень vs. степень: область определения».
[Степень (вещественная) с рациональным показателем определена для положительных оснований, но может быть доопределена в некоторых случаях для отрицательных и нуля. Эти случаи требуют отдельного рассмотрения и они должны отдельно оговариваться в тексте статьи (если не очевидно).]
Или есть что-то новое?