2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение26.01.2019, 11:23 
Аватара пользователя


26/05/12
1011
приходит весна?
GAA в сообщении #1371910 писал(а):
nthroot

Спасибо! Никогда не приходилось пользоваться, но даже в моём 2008 он есть.

-- 26.01.2019, 12:01 --

GAA в сообщении #1371910 писал(а):
В этой теме ссылки на пакеты — не аргумент.

Тогда предлагаю полюбоваться на действительную часть кубического корня на комплексной плоскости во всём его многообразии Изображение:

Изображение

Мнимая часть выглядит точно так же, только повёрнута на угол $\pi/2$ по часовой стрелке, если смотреть на картинку сверху.

Наглядная демонстрация цитаты из первой страницы:
Munin в сообщении #501755 писал(а):
Стоит заметить, разве что, что на лучах $(-\infty,0)$ и $(0,+\infty)$ действительные значения находятся на разных листах комплексной функции, но в нуле они гладко стыкуются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение26.01.2019, 13:09 


16/08/05
999
Самые интересные случаи в этой связи возникают при суммировании радикалов, например $\sqrt[3]{g(x)}+\sqrt[5]{h(x)}$, когда и $g(x)$ и $h(x)$ отрицательны на заданной действительной области определения $x$. Могут возникать ситуации, когда комплексные значения "алгебраически" посчитанных радикалов будут схлопываться в их сумме в действительное число, а "арифметически" посчитанная сумма даст совсем другое действительное значение. И как быть, какое действительное значение считать правильным?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение26.01.2019, 13:27 
Экс-модератор


12/07/07
3751
Донецк, Украина
Приведите, пожалуйста, пример (с легко вычисляемыми значениями).

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение26.01.2019, 18:06 


16/08/05
999
GAA

Сходу хороший пример с идеальным обнулением мнимых частей не удалось подобрать, но не сомневаюсь, что такие примеры есть.

Но вот например функция

$$f(x)=\sqrt[5]{x^2+7x+1}-\sqrt[3]{5+2x}$$

в точке около $x=-3.1639$ мнимые части "алгебраически" вычисленной функции обнуляются, но действительная "алгебраическая" часть не равна "арифметическому" вычислению в этой точке:

ИзображениеИзображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение26.01.2019, 18:39 
Аватара пользователя


26/05/12
1011
приходит весна?
GAA в сообщении #1371949 писал(а):
Приведите, пожалуйста, пример


Можно поиграться с различными кубическими многочленами с целыми корнями/коэффициентами и с формулой Кардано. Я, помнится, натыкался на очень забавные случаи, но за давностью не помню конкретные значения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение26.01.2019, 18:52 
Экс-модератор


12/07/07
3751
Донецк, Украина
dmd, спасибо. Я думал у Вас какой-то красивый пример есть.
А так мне не понятно, почему отрицательность подкоренных выражений Вам важна? Разве для положительных подкоренных значений подобный пример нельзя построить? Разве корень $n$-ой степени из положительного числа не имеет $n$ различных значений?

-- Sat 26.01.2019 17:55:49 --

Что в случае положительных подкоренных выражений мешает подобрать функции так, чтобы мнимые части корней сократились?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение26.01.2019, 19:04 


16/08/05
999
GAA
так "главное значение" радикала с положительным подкоренным выражением совпадает со значением Surd

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение26.01.2019, 19:09 
Экс-модератор


12/07/07
3751
Донецк, Украина
dmd, т.е. всё сводится к умению пользоваться пакетами? Или я что-то тонкое пропускаю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение26.01.2019, 19:13 
Аватара пользователя


22/06/12
1440
GAA в сообщении #1372043 писал(а):
Что в случае положительных подкоренных выражений мешает подобрать функции так, чтобы мнимые части корней сократились?

Может быть, речь идёт о следующей процедуре "сложения":
$$
\sqrt[3] 1 + \sqrt[3] 1 = \exp \left( \frac{2 i \pi}{3} \right) + \exp \left( \frac{4 i \pi}{3} \right) = -1
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение26.01.2019, 21:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
5769
dmd в сообщении #1371898 писал(а):
построить некий простейший наглядный физический опыт, в котором динамика протекает как $x^{1/3}$, и демонстрирующий при выходе аргумента в отрицательную область, что сама Природа выбирает "главное значение" комплексных ветвей
Боюсь, Природа не в курсе, что ей следует выбирать именно главное значение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение26.01.2019, 22:00 


16/08/05
999
warlock66613
Логическая связность присутствует в теории с "главным значением" комплексных ветвей. И наоборот, в теории с "арифметическим" корнем присутствует логическая безсвязность. Только на этом строю предположение, что именно покажет опыт. Посмотрим вобщем, надо дождаться опыта.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение26.01.2019, 22:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71845
dmd в сообщении #1372097 писал(а):
Логическая связность присутствует в теории с "главным значением" комплексных ветвей.

Вообще-то нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение27.01.2019, 14:06 
Экс-модератор


12/07/07
3751
Донецк, Украина
project15 в сообщении #1371578 писал(а):
И ладно бы арифметический корень (имеется в виду с любым показателем) был бы всегда определен только для положительных чисел (как у Фихтенгольца например).
project15 в сообщении #1371712 писал(а):
Я видел литературу, в которой используется как первый подход (изучаются только арифметические корни и только положительные основания дробных степеней, например, трехтомник Фихтенгольца 2003 г)
Издания 2003 г. у меня нет. Но существенных изменений в поздних изданиях быть не должно. В первом томе «Курса дифференциального и интегрального исчисления» (1947, 1962) п. 48
Цитата:
Степенная функция.
Так называется функция вида
$y=x^{\mu},$
где $\mu$ — любое постоянное вещественное число. При целом $\mu$ получается рациональная функция. При $\mu$ дробном мы имеем радикал. Например, пусть $m$ — натуральное число и
$y=x^{\frac 1 m} = \root m \of x;$
эта функция определена для всех значений $x$, если $m$ — нечётное, и лишь для неотрицательных значений — при $m$ четном (в этом случае мы имеем в виду арифметическое значение радикала.) Наконец, если $\mu$ — иррациональное число, мы будем предполагать $x > 0$ ($x=0$ допускается лишь при $mu >0$).
Условие положительности основания при иррациональном показателе принято во всех известных мне курсах начал анализа. Также во всех известных мне курсах при нечетном $m$ область определения радикала — все действительные числа. Дробные степени с положительным основанием нужны при определении показательной функции. Поэтому они также есть в любом подробном курсе начал анализа. Дробные степени с отрицательным основанием — по вкусу: можно использовать суперпозицию корня и степени. Но включение дробных степеней для отрицательных значений много к объёму материала не добавляет. (Это важно только на экзаменах, но тут просто надо не ловить на мелочах студентов. bot в post54001.html#p54001 в этом духе писал. Ну, мелочи это всё. )


project15 в сообщении #1371721 писал(а):
Более того, в первой теме даже понятие уравнения трактуется по разному.
Бор в сообщении #53707 писал(а):
Пусть дано ур-е $x^{x+4}=4$ . Если следовать правилам равносильности и идти через
$x>0$, $x\ne 1$, то получаем корень между 1 и 2. Однако, это уравнение имеет и корень $x=-2$, так как по определению корня он превращает ур-е в верное равенство. Как быть с такой "равносильностью". Может быть это в институте проходят?
Имхо, решение уравнения с одним неизвестным — число, которое при подстановке в уравнение вместо неизвестной величины превращает уравнение в (верное) равенство. В данном случае действительное число. При $x=0$ входящие в уравнение операции (функции) определены (опечатка). При $x=-2$ входящие в уравнение операции (функции) определены. Следовательно, $x=-2$ — решение уравнения. Как-то так. Никогда не задумывался над формализацией, может быть что-то тонкое не вижу.
bot в сообщении #54001 писал(а):
Левая часть является степеннопоказательной функцией и по определению её основание положительно.
Для иррациональных показателей положительно. (Предполагаю, в связи с тем, что на первом курсе в большинстве заданий по анализу основание положительно, многие на автомате скажут, что $x >0$.)

StaticZero в сообщении #1372050 писал(а):
Может быть, речь идёт о следующей процедуре "сложения":
До такого варианта я не додумался. :) Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение27.01.2019, 14:49 


16/08/05
999
StaticZero в сообщении #1372050 писал(а):
$$
\sqrt[3] 1 + \sqrt[3] 1 = \exp \left( \frac{2 i \pi}{3} \right) + \exp \left( \frac{4 i \pi}{3} \right) = -1
$$

Что это? У Вас $2=-1$???

Если опять и здесь про многозначность. Втысячепервыйраз: люди, вы не к месту многозначность применяете!

$a=x^3$ - эта зависимость диктует многозначность $x$, да.

Но $\sqrt[3]{1}=1$ - строго однозначно.

Также как $\sqrt[3]{-1}$ - однозначно. Но есть две трактовки этой однозначности: либо "алгебраическая" $\sqrt[3]{-1}=0.5+0.8660254 i$, либо "арифметическая" $\sqrt[3]{-1}=-1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение27.01.2019, 14:58 
Аватара пользователя


22/06/12
1440
dmd в сообщении #1372237 писал(а):
Что это? У Вас $2=-1$???

Ага. Все числа на самом деле нули.

dmd в сообщении #1372237 писал(а):
Также как $\sqrt[3]{-1}$ - однозначно. Но есть две трактовки этой однозначности: либо "алгебраическая" $\sqrt[3]{-1}=0.5+0.8660254 i$, либо "арифметическая" $\sqrt[3]{-1}=-1$.

У однозначности несколько трактовок однозначности, исключающих друг друга. Хорошая такая однозначность :mrgreen:

-- 27.01.2019 в 14:59 --

Кстати, а где третья трактовка однозначности потерялась?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 99 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group