2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение28.01.2019, 23:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
26396

(Оффтоп)

Есть. Как понимаю, их скрывают на страницах наднадразделов, чтобы люди не ходили туда если у них нет специальной цели. Не знаю, насколько это полезно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение29.01.2019, 01:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16959
Москва
project15 в сообщении #1372518 писал(а):
Эквивалентность корней и дробных степеней, на мой взгляд, серьезное преимущество.
Она нафиг не нужна. Тем более — ценой резкого сужения области применения корней. И тем более, что степени с рациональными показателями сами по себе особо и не нужны. Это, в основном, промежуточный этап для введения степеней с действительными показателями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение29.01.2019, 10:42 


24/01/19
54
Someone
project15 в сообщении #1372518 писал(а):
В конце концов все сводится к вопросу - определять ли степени с отрицательным основанием и дробным несократимым нечетным показателем? Я думаю, что не стоит. А что думаете вы?

А по этому поводу что думаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение29.01.2019, 10:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71846
У операции "возведение в степень" нет никаких "несократимых" или "сократимых" показателей. У неё есть два операнда: основание и показатель. И то и другое - число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение29.01.2019, 12:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16959
Москва
Вот именно. И, поскольку $\frac 35=\frac 6{10}$, то функции $x^{\frac 35}$ и $x^{\frac 6{10}}$ должны иметь одинаковые области определения, и во всей области определения должно выполняться равенство $x^{\frac 35}=x^{\frac 6{10}}$.
В то же время различие между $\sqrt[5]{x^3}$ и $\sqrt[10]{x^6}$ является вполне осмысленным. Это ещё одна причина, почему никакой "эквивалентности" между корнями и степенями нет, и не надо её хотеть.

-- Вт янв 29, 2019 13:00:37 --

project15 в сообщении #1372585 писал(а):
Someone
project15 в сообщении #1372518 писал(а):
В конце концов все сводится к вопросу - определять ли степени с отрицательным основанием и дробным несократимым нечетным показателем? Я думаю, что не стоит. А что думаете вы?

А по этому поводу что думаете?
Я думаю, что степени с рациональными показателями следует определять только для неотрицательных оснований.
Причины:
1) уже указанная выше независимость степени от формы записи показателя (определение степени через корни как раз зависит от этой формы);
2) также уже говорилось, что степени с рациональными показателями сами по себе малоинтересны и служат промежуточным этапом для определения степеней с произвольными действительными показателями; при этом нужно иметь в виду, что естественным образом степень с действительным показателем определяется только для неотрицательного основания, а любые возможные продолжения в область отрицательных оснований не согласуются с комплексным анализом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение29.01.2019, 13:20 
Заслуженный участник


20/08/14
6424
Россия, Москва
Someone
Хм, Вы даже меня убедили (хотя я был другого мнения), проще/лучше корень считать отдельной операцией, лишь иногда случайно совпадающей с рациональной степенью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корень vs. степень: область определения
Сообщение12.02.2019, 10:50 


20/09/18
15
Кстати, хорошая тема. Всегда удивляли эти залихватские переходы от корней к степеням в курсе матана при рассмотрении неопределённых интегралов. Вот такого типа:

$$
\int\sqrt[3]{x}dx=\int{x^{\frac{1}{3}}}dx=\frac{3x^\frac{4}{3}}{4}+C=\frac{3\sqrt[3]{x^4}}{4}+C.
$$

Мне кажется, что верное решение будет таким:

$$
\int\sqrt[3]{x}dx = sgn(x)\cdot\int{|x|^{\frac{1}{3}}}dx= \int{|x|^{\frac{1}{3}}}d(|x|)= \frac{3|x|^\frac{4}{3}}{4}+C=\frac{3\sqrt[3]{x^4}}{4}+C
$$

Однако в решебниках мне такое не попадалось.

 Профиль  
                  
 
 Корень vs. степень: область определения
Сообщение12.02.2019, 11:21 
Экс-модератор


12/07/07
3751
Донецк, Украина
Free_Student, нужно просто в разделе «дифференцирование» показать, что производная корня $\sqrt[n] x$ для случая нечётных $n$ и $-\infty <x< 0 \cup 0 <x< +\infty $ имеет тот же вид, что и производная степени $x^\alpha$, $x>0$, если считать, что $\alpha = 1/n$.
[Производная $x^\alpha = \exp(\alpha \ln x)$ выводится при помощи теоремы о производной сложной функции, а также производных экспоненты и логарифма.]
Строка же из таблицы интегралов, уже просто следует из соответствующей строки таблицы производных.

-- Tue 12.02.2019 10:24:26 --

Ну а степени [с «рациональным показателем»] можно понимать как «сокращение» для комбинации корня и [целой] степени.

Upd. Впрочем, при аккуратном изложении $\left(\sqrt [n] x \right)'= \frac 1 n \frac {\sqrt [n] x} x$.

 Профиль  
                  
 
 Корень vs. степень: область определения
Сообщение12.02.2019, 12:56 


20/09/18
15
GAA, полагаю, что вы правы насчёт необходимости обоснования формулы для корней в разделе дифференцирования. Можно вообще оставить готовую формулу для корней, тогда переход к степеням будет в интегралах не нужен. Правда, мне кажется такой подход немного нерациональным, так как добавит лишних обоснований формул, в то время как при аккуратных преобразованиях можно обойтись существующими формулами - просто учитывать, где это нужно, функцию знака. В любом случае, переход от степени к корню обосновывать нужно, а этих обоснований авторы книг делать не спешат. Впрочем, отчего-то в разделах с неопределёнными интегралами допускаются и иные вольности - вынесение из-под корня степени без модуля, например, преобразования такого типа: $\sqrt{1-\frac{1}{t^2}}=\frac{\sqrt{t^2-1}}{t}$ записываются без модуля в знаменателе.

 i  GAA:
Не относящееся к данной теме обсуждение неопределённого интеграла перемещено в тему «Очередная шаурма с неопределенным интегралом».

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 99 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Xaositect


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group