2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение03.12.2018, 01:22 
Аватара пользователя


17/03/17
563
Львів
misha.physics в сообщении #1358348 писал(а):
Конечно, иначе просто невозможно. Просто я пока ничего интереснее математики и физики для себя не находил. Так что я лучше махну рукой на какие-то другие радости жизни :)

Кроме этого, так уж случилось, что до 10 класса вообще ничего не интересовало, математика и физика вообще были непонятны, задачи только по шаблону с подстановкой цифр, формула для дискриминанта квадратного уравнения - непонятная магия, синус и косинус тоже, теорема Пифагора непонятно откуда взялась, а настоящее понимание любви к красоте математики и физики вообще появилось где-то на 3-м курсе физического факультета, когда уравнения Максвелла проходили в электродинамике или формулу Планка на оптике.

-- 03 дек 2018, 01:12 --

misha.physics в сообщении #1358348 писал(а):
и если $\varepsilon^{012}=+3$ и $F_{ik}=-F_{ki}$, то $F_{12}=\frac{1}{6}x^0$. А если взять $\varepsilon^{012}=+1$, то получим $F_{12}=\frac{1}{2}x^0$. И условие $F_{ik}=-F_{ki}$ вроде никак не изменить. Можно ли это как-то обойти, или обязательно брать $\varepsilon^{012}=+1$, или это просто соглашение? Мне кажется, что просто соглашение и его просто нужно всюду соблюдать (или потом пересчитывать)

Если мы в формуле связи тензора электромагнитного поля с потенциалом напишем множитель $\frac{1}{2}$, то это не должно вроде отразится на уравнениях Максвелла. Как получается, что физический результат не будет зависить от соглашений антисимметризации? Происходит что-то вроде сокращения левой и правой части уравнения на общий множитель, образно говоря? И на каком этапе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение03.12.2018, 12:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27204
Или такое, или просто некоторые величины будут в два раза больше, что в принципе ничего страшного не сделает, потому что отношения этих величин к тем, которые не стали в два раза больше, должны будут оказываться все размерными. (Или что-то подобного рода.)

-- Пн дек 03, 2018 15:26:53 --

Хм, я почему-то про антисимметризацию подумал. Видимо, на фоне поста пианист. Кстати я бы аргументировал делить, потому что тогда уже и так антисимметричные тензоры переходят в себя, а если не делить, не переходят. Аналогично, если мы будем рассматривать тензоры с точностью до приравнивания всевозможных $\vec v\otimes\vec v$ к нулю (как обычно определяют внешнюю алгебру через тензорную; $\otimes$ на таких классах ведёт себя ровно как $\wedge$), антисимметризация не будет выводить из класса эквивалентности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение03.12.2018, 13:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
misha.physics в сообщении #1358348 писал(а):
Случай $n=3$ разобрал. И нулевой и ненулевой случаи. Понял. Красиво. Удобно. Случай $n=2$ тривиальный. И нулевой и ненулевой. А в каком смысле можно (если можно) говорить об антисимметричном тензоре 1-го ранга? Там же индексы не переставить. Тот же вопрос и к случаю $n=1$. Там ещё проще, одно уравнение. Скаляр. Инвариант.

Ну, там не всё так тривиально.
$n=1$ - одномерная прямая:
    $a\stackrel{*}{\to}b^i.$ Замечали ли вы, например, что производная от скалярной функции одной переменной - на самом деле вектор? (Это видно по тому, как она реагирует на отражение прямой.) А вторую производную можно понимать как дивергенцию этого вектора.

$n=2$ - плоскость:
    $a_i\stackrel{*}{\to}b^j$ - один вектор дуален другому вектору, но не самому себе. Что это за новый вектор? Если расписать по компонентам, то он - повёрнутый на $\pi/2$ исходный вектор. Здесь можно заметить, что $(*)^2=(-1)$ (на самом деле, это зависит от размерности пространства).
    $a\stackrel{*}{\to}b^{ij}$ - скаляр дуален антисимметричному тензору 2 ранга, у которого всего один компонент. Как понимать этот тензор? Поскольку он возникает как результат дивергенции, то он является "плотностью" (как например, $\operatorname{div}\mathbf{E}=\rho$). Плотность - не истинный скаляр, она должна пересчитываться при масштабировании системы координат. Пример истинного скаляра - температура в точке. Или цвет :-)

$n=3$ - трёхмерное пространство:
    $a_i\stackrel{*}{\to}b^{jk}$ - вектор дуален антисимметричному тензору 2 ранга, у которого 3 независимых компонента. Это описано в ЛЛ-2: например, векторное произведение даёт на самом деле такой тензор, который мы представляем себе как вектор (и поэтому векторное произведение уникально для $n=3,$ а в других размерностях возникают другие аналогичные операции).
    $a\stackrel{*}{\to}b^{ijk}$ - скаляр дуален... опять плотности. Антисимметричный тензор ранга $n$ - всегда плотность.
    Старые знакомые операции дифференцирования понимаются так:
    $$\operatorname{grad}\varphi=\dfrac{\partial}{\partial x^i}\varphi\quad,\quad\operatorname{rot}\mathbf{v}=\dfrac{\partial}{\partial x^{[i}}v_{j]}\quad,\quad\operatorname{div}\mathbf{v}=\dfrac{\partial}{\partial x^i}v^i\stackrel{*}{=}\dfrac{\partial}{\partial x^{[i}}v^{*}_{jk]}$$

$n=4$: три дуальности
    $a_{ij}\stackrel{*}{\to}b^{kl}$ - а.с. тензор 2 ранга дуален другому тензору того же типа. Наглядно изобразить это сложно, но на самом деле они тоже по отношению друг к другу "повёрнуты на $\pi/2$".
    $a_i\stackrel{*}{\to}b^{jkl}$
    $a\stackrel{*}{\to}b^{ijkl}$
    В 4-мерном пространстве есть такие же градиент и дивергенция, как и в 3-мерном, а вот ротора нет - по той же причине, по какой нет и векторного произведения, ведь $\operatorname{rot}\mathbf{v}=[\nabla\mathbf{v}].$ Всего для полностью антисимметричных тензоров возникает четыре операции дифференцирования (а тензорная производная, надо помнить, применима к любым тензорам любого ранга):
    $$(\operatorname{grad})\quad\dfrac{\partial}{\partial x^i}\varphi\quad,\quad\dfrac{\partial}{\partial x^{[i}}v_{j]}\quad,\quad\dfrac{\partial}{\partial x^{[i}}v_{jk]}\quad,\quad(\operatorname{div})\quad\dfrac{\partial}{\partial x^i}v^i\stackrel{*}{=}\dfrac{\partial}{\partial x^{[i}}v^{*}_{jkl]}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение03.12.2018, 17:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
misha.physics в сообщении #1358348 писал(а):
Под "площадью" вы понимаете модуль вектора $d\vec{S}$? И что его можно представить как елемент (векторного пространства) натянутый на 2 вектора (типа как площадь параллелограмма)? А в каком смысле от векторов взять объём?

Да. Извините, я "площадь" и "объём" подразумевал как взаимозаменяемые понятия: $k$-мерный объём (площадь) параллелепипеда, натянутого на $k$ векторов в $n$-мерном пространстве.

Когда $k=n-1,$ такой площади можно приписать направление в виде вектора, перпендикулярного всем образующим. По сути, это дуальность: $v^k=(x^i y^j\ldots)^*.$
Когда $1<k<n-1,$ такой площади приходится приписывать "гипернаправление", которое можно задать или исходными $k$ векторами, образовав из них тензор ранга $k$ (полностью антисимметричный), или дуальным ему тензором ранга $n-k.$

misha.physics в сообщении #1358348 писал(а):
Munin в сообщении #1358021 писал(а):
По сути, они все исчерпываются вот такими: $A_{ikl}=-A_{kil},\quad A_{ikl}=-A_{ilk},$

Да, и ещё $A_{ikl}=-A_{lki}$ :)

А вот и нет! Это уравнение не независимо от двух мной выписанных. Вы можете сами из этих двух получить все остальные:
$$A_{ikl}=-A_{ilk}=A_{kli}=-A_{kil}=A_{lik}=-A_{lki}.$$ Тут всего 5 равенств, то есть даже из выписанных мной одно избыточно (на 6 элементах мои два соотношения дают 6 равенств).

misha.physics в сообщении #1358348 писал(а):
А, это мне очевидно, будет всего 4 независимые компоненты и такие, что не все индексы у них равны

Точнее, все различны. Да, это хорошо, что очевидно, как окончательный факт. Но вот как он возникает из соотношений антисимметрии (и что ещё возникает попутно) - хорошо бы разобраться.

misha.physics в сообщении #1358348 писал(а):
Или просто лень больше начала ощущатся.

Понятно. Ну что ж, тут могу пожелать изучать то, что интересно, и в том темпе, в котором оно не становится неинтересным. (В будущем оно может стать основой для профессии... а может и не стать.)

-- 03.12.2018 17:11:21 --

arseniiv
«Давайте уменьшим поля вдвое!»

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение03.12.2018, 17:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27204

(Оффтоп)

Я так понял, что $\partial_i A_j$ — в некотором смысле просто неподходящая для антисимметризации величина. Потому что действительно $dA$ естественнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение03.12.2018, 18:49 


17/04/18
143
misha.physics в сообщении #1357926 писал(а):
Т. е. можно ли взяв полностью (это обязательно, да?) антисимметричный тензор любой размерности и любого ранга соотнести ему дуальный тензор?

Имея $k$-вектор $\omega \in \bigwedge^k V$ и форму объема $\operatorname{det}$ на $V$, можно канонически построоить $n-k$-форму $\operatorname{det}(\omega \wedge ?) \in (\bigwedge^{n-k} V)^*$. Имея вдобавок к этому метрику $g$ на $V$, которая индуцирует изоморфизмы $\sharp : V^* \to V$ и $\sharp : (\wedge^k V)^* = \wedge^k V^* \to \wedge^k V$, мы можем построить соответствие $\star : \omega \mapsto \sharp \operatorname{det}(\omega \wedge ?)$ имеющее тип $\star : \bigwedge^k V \to \bigwedge^{n-k} V$. Как видно из определения, универсальное свойство этого соответствия в том, что $\operatorname{det} (\omega \wedge \star \omega) = 1$, это всё в сто раз проще и понятнее чем вычисления в каких-то антисимметризованных индексах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение03.12.2018, 20:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
nya в сообщении #1358514 писал(а):
это всё в сто раз проще и понятнее чем вычисления в каких-то антисимметризованных индексах.

При наличии опыта. В том числе, опыта этих самых вычислений в антисимметризованных индексах :-) А без опыта вычислений, от одних определений в голове образуется "абстрактная чепуха", как у того мальчика из анекдота, который $2+3$ сложить не мог.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение03.12.2018, 21:20 
Аватара пользователя


13/08/13
03/10/20
4141
nya
Просто кому-то нравятся дифференциальные формы, а кому-то (как Munin) ближе антисимметризированные индексы :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение03.12.2018, 21:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27204

(Оффтоп)

Скорее, просто подавляющее большинство людей в отвлечённом разговоре любят писать крайности, которым они в конкретных ситуациях обычно не следуют до точки. Всё ведь сложнее, и рационализировать своё отношение мы не умеем абсолютно точно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение03.12.2018, 21:39 


17/04/18
143
arseniiv
Мудрая мысль... Поразмышляю над ней на досуге...

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение03.12.2018, 21:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Sicker

(Оффтоп)

Когда вы перестанете лезть куда не просят, с враньём, отсебятиной, и глупыми наездами? Вы совсем не можете по-другому вести себя на форуме? Не способны сказать ничего содержательного?


nya
Я люблю формы, но считаю, что до них нужно дозреть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение03.12.2018, 22:02 


17/04/18
143
Формы гораздо более геометричны чем тензоры, в том смысле что их можно иллюстрировать как "ориентированные площадки", поэтому если до чего-то и дозревать, то до общих тензоров, как до более абстрактной концепции с меньшим количеством структуры. Но я вообще не хотел вступать в обсуждение программы по линейной алгебре перового курса, после которой человек должен знать и о формах и о тензорах, о которых, вообще говоря, зачастую рассказывают одновременно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение03.12.2018, 22:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
nya в сообщении #1358595 писал(а):
Формы гораздо более геометричны чем тензоры, в том смысле что их можно иллюстрировать как "ориентированные площадки"

Можно, но вот легко ли с ними работать, узнав только это? Как, например, решить $\star d(\star d\,\varphi)=\delta(\mathbf{r})$ в $n$-мерном пространстве?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение03.12.2018, 23:08 
Аватара пользователя


13/08/13
03/10/20
4141

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1358592 писал(а):
Когда вы перестанете лезть куда не просят, с враньём, отсебятиной, и глупыми наездами? Вы совсем не можете по-другому вести себя на форуме? Не способны сказать ничего содержательного?

Просто вы сами неоднократно писали, что вам больше нравится работать с антисимметричными тензорами, чем с формами, и упрекали одного человека, который начал с форм. Вот мы с nya и пытаемся сказать, что можно и по другому :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение03.12.2018, 23:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27204

(Sicker)

Sicker в сообщении #1358619 писал(а):
мы с nya
Кхм… :mrgreen:

Давайте подумаем, чего мы ещё misha.physics не рассказали. Тензорные плотности?

(Оффтоп)

Я пошутил.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 113 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group