Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе

[misha.physics]

misha.physics в сообщении #1358348 писал(а):

Конечно, иначе просто невозможно. Просто я пока ничего интереснее математики и физики для себя не находил. Так что я лучше махну рукой на какие-то другие радости жизни :)

Кроме этого, так уж случилось, что до 10 класса вообще ничего не интересовало, математика и физика вообще были непонятны, задачи только по шаблону с подстановкой цифр, формула для дискриминанта квадратного уравнения - непонятная магия, синус и косинус тоже, теорема Пифагора непонятно откуда взялась, а настоящее понимание любви к красоте математики и физики вообще появилось где-то на 3-м курсе физического факультета, когда уравнения Максвелла проходили в электродинамике или формулу Планка на оптике.

-- 03 дек 2018, 01:12 --

misha.physics в сообщении #1358348 писал(а):

и если $\varepsilon^{012}=+3$ и $F_{ik}=-F_{ki}$, то $F_{12}=\frac{1}{6}x^0$. А если взять $\varepsilon^{012}=+1$, то получим $F_{12}=\frac{1}{2}x^0$. И условие $F_{ik}=-F_{ki}$ вроде никак не изменить. Можно ли это как-то обойти, или обязательно брать $\varepsilon^{012}=+1$, или это просто соглашение? Мне кажется, что просто соглашение и его просто нужно всюду соблюдать (или потом пересчитывать)

Если мы в формуле связи тензора электромагнитного поля с потенциалом напишем множитель $\frac{1}{2}$, то это не должно вроде отразится на уравнениях Максвелла. Как получается, что физический результат не будет зависить от соглашений антисимметризации? Происходит что-то вроде сокращения левой и правой части уравнения на общий множитель, образно говоря? И на каком этапе?

[arseniiv]

Или такое, или просто некоторые величины будут в два раза больше, что в принципе ничего страшного не сделает, потому что отношения этих величин к тем, которые не стали в два раза больше, должны будут оказываться все размерными. (Или что-то подобного рода.)

-- Пн дек 03, 2018 15:26:53 --

Хм, я почему-то про антисимметризацию подумал. Видимо, на фоне поста пианист. Кстати я бы аргументировал делить, потому что тогда уже и так антисимметричные тензоры переходят в себя, а если не делить, не переходят. Аналогично, если мы будем рассматривать тензоры с точностью до приравнивания всевозможных $\vec v\otimes\vec v$ к нулю (как обычно определяют внешнюю алгебру через тензорную; $\otimes$ на таких классах ведёт себя ровно как $\wedge$), антисимметризация не будет выводить из класса эквивалентности.

[Munin]

misha.physics в сообщении #1358348 писал(а):

Случай $n=3$ разобрал. И нулевой и ненулевой случаи. Понял. Красиво. Удобно. Случай $n=2$ тривиальный. И нулевой и ненулевой. А в каком смысле можно (если можно) говорить об антисимметричном тензоре 1-го ранга? Там же индексы не переставить. Тот же вопрос и к случаю $n=1$. Там ещё проще, одно уравнение. Скаляр. Инвариант.

Ну, там не всё так тривиально.
$n=1$ - одномерная прямая:

$a\stackrel{*}{\to}b^i.$ Замечали ли вы, например, что производная от скалярной функции одной переменной - на самом деле вектор? (Это видно по тому, как она реагирует на отражение прямой.) А вторую производную можно понимать как дивергенцию этого вектора.

$n=2$ - плоскость:

$a_i\stackrel{*}{\to}b^j$ - один вектор дуален другому вектору, но не самому себе. Что это за новый вектор? Если расписать по компонентам, то он - повёрнутый на $\pi/2$ исходный вектор. Здесь можно заметить, что $(*)^2=(-1)$ (на самом деле, это зависит от размерности пространства).
$a\stackrel{*}{\to}b^{ij}$ - скаляр дуален антисимметричному тензору 2 ранга, у которого всего один компонент. Как понимать этот тензор? Поскольку он возникает как результат дивергенции, то он является "плотностью" (как например, $\operatorname{div}\mathbf{E}=\rho$). Плотность - не истинный скаляр, она должна пересчитываться при масштабировании системы координат. Пример истинного скаляра - температура в точке. Или цвет :-)

$n=3$ - трёхмерное пространство:

$a_i\stackrel{*}{\to}b^{jk}$ - вектор дуален антисимметричному тензору 2 ранга, у которого 3 независимых компонента. Это описано в ЛЛ-2: например, векторное произведение даёт на самом деле такой тензор, который мы представляем себе как вектор (и поэтому векторное произведение уникально для $n=3,$ а в других размерностях возникают другие аналогичные операции).
$a\stackrel{*}{\to}b^{ijk}$ - скаляр дуален... опять плотности. Антисимметричный тензор ранга $n$ - всегда плотность.
Старые знакомые операции дифференцирования понимаются так:

$$\operatorname{grad}\varphi=\dfrac{\partial}{\partial x^i}\varphi\quad,\quad\operatorname{rot}\mathbf{v}=\dfrac{\partial}{\partial x^{[i}}v_{j]}\quad,\quad\operatorname{div}\mathbf{v}=\dfrac{\partial}{\partial x^i}v^i\stackrel{*}{=}\dfrac{\partial}{\partial x^{[i}}v^{*}_{jk]}$$

$n=4$: три дуальности

$a_{ij}\stackrel{*}{\to}b^{kl}$ - а.с. тензор 2 ранга дуален другому тензору того же типа. Наглядно изобразить это сложно, но на самом деле они тоже по отношению друг к другу "повёрнуты на $\pi/2$".
$a_i\stackrel{*}{\to}b^{jkl}$
$a\stackrel{*}{\to}b^{ijkl}$
В 4-мерном пространстве есть такие же градиент и дивергенция, как и в 3-мерном, а вот ротора нет - по той же причине, по какой нет и векторного произведения, ведь $\operatorname{rot}\mathbf{v}=[\nabla\mathbf{v}].$ Всего для полностью антисимметричных тензоров возникает четыре операции дифференцирования (а тензорная производная, надо помнить, применима к любым тензорам любого ранга):

$$(\operatorname{grad})\quad\dfrac{\partial}{\partial x^i}\varphi\quad,\quad\dfrac{\partial}{\partial x^{[i}}v_{j]}\quad,\quad\dfrac{\partial}{\partial x^{[i}}v_{jk]}\quad,\quad(\operatorname{div})\quad\dfrac{\partial}{\partial x^i}v^i\stackrel{*}{=}\dfrac{\partial}{\partial x^{[i}}v^{*}_{jkl]}$$

[Munin]

misha.physics в сообщении #1358348 писал(а):

Под "площадью" вы понимаете модуль вектора $d\vec{S}$? И что его можно представить как елемент (векторного пространства) натянутый на 2 вектора (типа как площадь параллелограмма)? А в каком смысле от векторов взять объём?

Да. Извините, я "площадь" и "объём" подразумевал как взаимозаменяемые понятия: $k$-мерный объём (площадь) параллелепипеда, натянутого на $k$ векторов в $n$-мерном пространстве.

Когда $k=n-1,$ такой площади можно приписать направление в виде вектора, перпендикулярного всем образующим. По сути, это дуальность: $v^k=(x^i y^j\ldots)^*.$
Когда $1<k<n-1,$ такой площади приходится приписывать "гипернаправление", которое можно задать или исходными $k$ векторами, образовав из них тензор ранга $k$ (полностью антисимметричный), или дуальным ему тензором ранга $n-k.$

misha.physics в сообщении #1358348 писал(а):

Munin в сообщении #1358021 писал(а):

По сути, они все исчерпываются вот такими: $A_{ikl}=-A_{kil},\quad A_{ikl}=-A_{ilk},$

Да, и ещё $A_{ikl}=-A_{lki}$ :)

А вот и нет! Это уравнение не независимо от двух мной выписанных. Вы можете сами из этих двух получить все остальные:

$$A_{ikl}=-A_{ilk}=A_{kli}=-A_{kil}=A_{lik}=-A_{lki}.$$

Тут всего 5 равенств, то есть даже из выписанных мной одно избыточно (на 6 элементах мои два соотношения дают 6 равенств).

misha.physics в сообщении #1358348 писал(а):

А, это мне очевидно, будет всего 4 независимые компоненты и такие, что не все индексы у них равны

Точнее, все различны. Да, это хорошо, что очевидно, как окончательный факт. Но вот как он возникает из соотношений антисимметрии (и что ещё возникает попутно) - хорошо бы разобраться.

misha.physics в сообщении #1358348 писал(а):

Или просто лень больше начала ощущатся.

Понятно. Ну что ж, тут могу пожелать изучать то, что интересно, и в том темпе, в котором оно не становится неинтересным. (В будущем оно может стать основой для профессии... а может и не стать.)

-- 03.12.2018 17:11:21 --

arseniiv
«Давайте уменьшим поля вдвое!»

[arseniiv]

(Оффтоп)

Я так понял, что $\partial_i A_j$ — в некотором смысле просто неподходящая для антисимметризации величина. Потому что действительно $dA$ естественнее.

[nya]

misha.physics в сообщении #1357926 писал(а):

Т. е. можно ли взяв полностью (это обязательно, да?) антисимметричный тензор любой размерности и любого ранга соотнести ему дуальный тензор?

Имея $k$-вектор $\omega \in \bigwedge^k V$ и форму объема $\operatorname{det}$ на $V$, можно канонически построоить $n-k$-форму $\operatorname{det}(\omega \wedge ?) \in (\bigwedge^{n-k} V)^*$. Имея вдобавок к этому метрику $g$ на $V$, которая индуцирует изоморфизмы $\sharp : V^* \to V$ и $\sharp : (\wedge^k V)^* = \wedge^k V^* \to \wedge^k V$, мы можем построить соответствие $\star : \omega \mapsto \sharp \operatorname{det}(\omega \wedge ?)$ имеющее тип $\star : \bigwedge^k V \to \bigwedge^{n-k} V$. Как видно из определения, универсальное свойство этого соответствия в том, что $\operatorname{det} (\omega \wedge \star \omega) = 1$, это всё в сто раз проще и понятнее чем вычисления в каких-то антисимметризованных индексах.

[Munin]

nya в сообщении #1358514 писал(а):

это всё в сто раз проще и понятнее чем вычисления в каких-то антисимметризованных индексах.

При наличии опыта. В том числе, опыта этих самых вычислений в антисимметризованных индексах :-) А без опыта вычислений, от одних определений в голове образуется "абстрактная чепуха", как у того мальчика из анекдота, который $2+3$ сложить не мог.

[Sicker]

nya
Просто кому-то нравятся дифференциальные формы, а кому-то (как Munin) ближе антисимметризированные индексы

[arseniiv]

(Оффтоп)

Скорее, просто подавляющее большинство людей в отвлечённом разговоре любят писать крайности, которым они в конкретных ситуациях обычно не следуют до точки. Всё ведь сложнее, и рационализировать своё отношение мы не умеем абсолютно точно.

[nya]

arseniiv
Мудрая мысль... Поразмышляю над ней на досуге...

[Munin]

Sicker

(Оффтоп)

Когда вы перестанете лезть куда не просят, с враньём, отсебятиной, и глупыми наездами? Вы совсем не можете по-другому вести себя на форуме? Не способны сказать ничего содержательного?

nya
Я люблю формы, но считаю, что до них нужно дозреть.

[nya]

Формы гораздо более геометричны чем тензоры, в том смысле что их можно иллюстрировать как "ориентированные площадки", поэтому если до чего-то и дозревать, то до общих тензоров, как до более абстрактной концепции с меньшим количеством структуры. Но я вообще не хотел вступать в обсуждение программы по линейной алгебре перового курса, после которой человек должен знать и о формах и о тензорах, о которых, вообще говоря, зачастую рассказывают одновременно.

[Munin]

nya в сообщении #1358595 писал(а):

Формы гораздо более геометричны чем тензоры, в том смысле что их можно иллюстрировать как "ориентированные площадки"

Можно, но вот легко ли с ними работать, узнав только это? Как, например, решить $\star d(\star d\,\varphi)=\delta(\mathbf{r})$ в $n$-мерном пространстве?

[Sicker]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1358592 писал(а):

Когда вы перестанете лезть куда не просят, с враньём, отсебятиной, и глупыми наездами? Вы совсем не можете по-другому вести себя на форуме? Не способны сказать ничего содержательного?

Просто вы сами неоднократно писали, что вам больше нравится работать с антисимметричными тензорами, чем с формами, и упрекали одного человека, который начал с форм. Вот мы с nya и пытаемся сказать, что можно и по другому

[arseniiv]

(Sicker)

Sicker в сообщении #1358619 писал(а):

мы с nya

Кхм…

Давайте подумаем, чего мы ещё misha.physics не рассказали. Тензорные плотности?

(Оффтоп)

Я пошутил.