2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение03.12.2018, 23:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Sicker в сообщении #1358619 писал(а):
Просто вы сами неоднократно писали, что вам больше нравится работать с антисимметричными тензорами, чем с формами

Прекратите врать.

Мне привычней тензоры, чем формы, получается эффективней, но нравится - именно с формами. (Просто я понимаю, что не всё через формы выражается. Тензор Римана, например.)

arseniiv в сообщении #1358621 писал(а):
Давайте подумаем, чего мы ещё misha.physics не рассказали.

Я жду его ответа на накиданные "упражнения". Тут надо не скакать вперёд, а проработать простые вещи, но уж хорошо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение04.12.2018, 00:27 
Аватара пользователя


17/03/17
563
Львів
Munin,
Munin в сообщении #1358021 писал(а):
Для (26.5) есть такое обозначение - квадратные скобки вокруг нескольких индексов означают антисимметризацию по всем перестановкам этих индексов:
$$(\partial_{[i}F_{kl]}\equiv)\quad\dfrac{\partial}{\partial x^{[i}}F_{kl]}=0.$$

Я правильно понимаю, что обозначение $\partial_{[i}F_{kl]}$ означает $\partial_{[i}F_{kl]}=\frac{1}{6}(\partial_iF_{kl}+\partial_kF_{li}+\partial_lF_{ik}-\partial_lF_{ki}-\partial_kF_{il}-\partial_iF_{lk})$? Тогда если $\dfrac{\partial}{\partial x^{[i}}F_{kl]}=0$, то получим $\frac{2}{6}(\partial_iF_{kl}+\partial_kF_{li}+\partial_lF_{ik})=0$ и после умножения на тройку получим (26.5), как и должно быть.
Munin в сообщении #1358021 писал(а):
И тут оказывается, что
$$A_{[ikl]}=-\tfrac{1}{6}\varepsilon^{pikl}A_{ikl}.$$

Так как здесь равенство, то чтобы оно выполнялось оно должно равняться нулю, да? И если $A_{[ikl]}=\frac{1}{6}(A_{ikl}+A_{kli}+A_{lik}-A_{lki}-A_{kil}-A_{ilk})$, то это равно $\frac{1}{6}\varepsilon^{pikl}A_{ikl}$, если зафиксировать индекс $p$. Но это формально как-бы. Ведь слева у нас три свободные индексы $ikl$ а справа - один p. Мы в праве поставить здесь равенство? И если так, то зачем знак минус? Разве не будет
$$A_{[ikl]}=\frac{1}{6}\varepsilon^{pikl}A_{ikl}.$$
для любого $p$?
misha.physics в сообщении #1358356 писал(а):
Если мы в формуле связи тензора электромагнитного поля с потенциалом напишем множитель $\frac{1}{2}$, то это не должно вроде отразится на уравнениях Максвелла. Как получается, что физический результат не будет зависить от соглашений антисимметризации? Происходит что-то вроде сокращения левой и правой части уравнения на общий множитель, образно говоря? И на каком этапе?

Похоже я уже понял. У нас есть уравнения Максвелла как обобщения экспериментальных фактов, у нас есть скажем
$$\operatorname{div}{\vec{E}}=4\pi\rho,$$
мы договорились, что мы понимаем под $\vec{E}$, $\rho$ и операцией дивергенции. Теперь когда мы хочем получить эти уравнения в 4-формализме, то если мы в ходе примем какое-то соглашение относительно симметризации тензора $F_{ik}$ или ещё какое-то соглашение, то мы потом должны будем принять ещё какие-то соглашения чтобы у нас получились те уравнения Максвелла, которые должны получится, ведь они имеют вполне конкретный физический смысл. И если мы, например, договорились писать двойку при антисимметризации, то это двойка скажем вылезит в формулах связи между $E_x$ и $F_{01}$. Нам нужно будет принять соглашение чтобы выполнялось уравнение Максвелла. Я правильно понимаю?
Munin в сообщении #1358428 писал(а):
Ну, там не всё так тривиально.
$n=1$ - одномерная прямая:
$a\stackrel{*}{\to}b^i.$

Если $n=1$, то есть дуальность $A\to\varepsilon^pA$, но размерность пространства единица, значит $p$ принимает всего одно значение, пусть $p=1$ и $\varepsilon^1=1$, тогда получаем тривиально дуальность $A\to A$. Я это имел ввиду, или я неправильно понял?
Если $n=2$, то есть дуальность $A_i\to\varepsilon^{pi}A_i$, получаем тривиально $A_1=-A_2$.
Munin в сообщении #1358428 писал(а):
Замечали ли вы, например, что производная от скалярной функции одной переменной - на самом деле вектор?

Вы наверное о том, что градиент скалярного поля это вектор (точнее ковектор), да, понимаю.
Munin в сообщении #1358486 писал(а):
А вот и нет! Это уравнение не независимо от двух мной выписанных. Вы можете сами из этих двух получить все остальные:
$$A_{ikl}=-A_{ilk}=A_{kli}=-A_{kil}=A_{lik}=-A_{lki}.$$

Интересно. Те два ваши уравнения говорят, что можно переставить 1 и 2 индексы и 2 и 3. Но при переходе от второго члена к третьему мы используем то, что можно переставить 1 и 3 индексы. Фактически, когда мы пишем $-A_{ilk}=A_{kli}$ и потом по цепочке говорим что $A_{ikl}=-A_{lki}$, то получается что мы для того чтобы доказать, что можно переставить местами 1 и 3 индексы в ходе этого доказательство это используем как факт. Или я неправильно понял?
Munin в сообщении #1358428 писал(а):
Да, это хорошо, что очевидно, как окончательный факт. Но вот как он возникает из соотношений антисимметрии (и что ещё возникает попутно) - хорошо бы разобраться.

Немного не понял вопроса. Возникает этот факт из того, что если у нас индексы будут одинаковы, то пользуясь свойствами антисимметрии мы сможем перейти от одной структуры индексов к другой с помощью перестановок. А если индексы будут различны, то мы не сможем здесь воспользоваться соотношениями атнисимметрии и в общем случае, 4 компоненты будут независимы. А в каком смысле что возникает попутно? Или вы имеете ввиду то, что зная эти 4 независимые компоненты, которые мы можем узнать из дуальности антисимметричного тензора третьего ранга 4-вектору, зная 4 компоненты последнего? Это я понимаю.

nya,
nya в сообщении #1358514 писал(а):
Имея $k$-вектор $\omega \in \bigwedge^k V$ и форму объема $\operatorname{det}$ на $V$, можно канонически построоить $n-k$-форму $\operatorname{det}(\omega \wedge ?) \in (\bigwedge^{n-k} V)^*$. Имея вдобавок к этому метрику $g$ на $V$, которая индуцирует изоморфизмы $\sharp : V^* \to V$ и $\sharp : (\wedge^k V)^* = \wedge^k V^* \to \wedge^k V$, мы можем построить соответствие $\star : \omega \mapsto \sharp \operatorname{det}(\omega \wedge ?)$ имеющее тип $\star : \bigwedge^k V \to \bigwedge^{n-k} V$. Как видно из определения, универсальное свойство этого соответствия в том, что $\operatorname{det} (\omega \wedge \star \omega) = 1$, это всё в сто раз проще и понятнее чем вычисления в каких-то антисимметризованных индексах.

Похоже, я тут половину слов и обозначений не знаю :(

Sicker,
Sicker в сообщении #1358576 писал(а):
Просто кому-то нравятся дифференциальные формы, а кому-то

А кому-то дифференциальные формы это новый непонятный пока мир :)

nya,
nya в сообщении #1358595 писал(а):
Формы гораздо более геометричны чем тензоры, в том смысле что их можно иллюстрировать как "ориентированные площадки"

Вот я до этого места и читал МТУ по ОТО. Понял, что застрял в этом месте. И ещё мне кажется, что зарубежные книги по математике как-то специфически объясняют математику в отличии от книг русскоязычных, обозначения какие-то неродные или что.

Munin,
Munin в сообщении #1358629 писал(а):
Я жду его ответа на накиданные "упражнения".

Я постараюсь ближайшем временем их проработать. Сначала хочу начать с перехода от (32,13) к (31.3). И как думаете, можно ли после этого мне взяться к решению своего первого вопроса темы о теореме Гаусса?

-- 03 дек 2018, 23:31 --

Кстати, спасибо вам за эти упражнения!

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение04.12.2018, 01:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
misha.physics в сообщении #1358640 писал(а):
Так как здесь равенство

Да, в этом примере я слишком вольно разошёлся. Разумеется, там не равенство. В равенстве "свободные" индексы справа и слева должны точно совпадать.

Знак минус - откуда-то из подсознания выполз. Можно и без него, может быть.

Прошу прощения, что пишу вам неаккуратнее, чем вы потом читаете.

misha.physics в сообщении #1358640 писал(а):
Похоже я уже понял. У нас есть уравнения Максвелла как обобщения экспериментальных фактов

Да, тут вы правильно всё поняли.

misha.physics в сообщении #1358640 писал(а):
Если $n=1$, то есть дуальность $A\to\varepsilon^pA$, но размерность пространства единица, значит $p$ принимает всего одно значение, пусть $p=1$ и $\varepsilon^1=1$, тогда получаем тривиально дуальность $A\to A$. Я это имел ввиду, или я неправильно понял?

Да, но всё-таки при всей тривиальности иногда полезно (insightful) смотреть на эту тривиальность как на частный случай общих соотношений. Например, теорема Ньютона-Лейбница оказывается частным случаем обобщённой теоремы Стокса (также дающей теоремы Грина, Гаусса и Стокса "обычную").

misha.physics в сообщении #1358640 писал(а):
Если $n=2$, то есть дуальность $A_i\to\varepsilon^{pi}A_i$, получаем тривиально $A_1=-A_2$.

Тут вы поторопились. $A^*_1=-A_2,\quad A^*_2=A_1,$ так будет точнее.

misha.physics в сообщении #1358640 писал(а):
Или я неправильно понял?

Нет, неправильно. Я записал равенства не по порядку перестановок индексов. А вот найти этот порядок - ваша задача! :-)

misha.physics в сообщении #1358640 писал(а):
Возникает этот факт из того, что если у нас индексы будут одинаковы, то пользуясь свойствами антисимметрии мы сможем перейти от одной структуры индексов к другой с помощью перестановок.

Угу. Вопрос в том, как конкретно это сделать из предложенной мной системы соотношений.

misha.physics в сообщении #1358640 писал(а):
Сначала хочу начать с перехода от (32,13) к (31.3).

Думаю, это я поторопился. Давайте вот что обсудим. Допустим, у нас есть 3-мерная формула с интегралом, и 4-мерная формула с интегралом. Чтобы их сопоставить, нам надо разобраться, по чему мы должны интегрировать.

Каким 4-мерным фигурам соответствуют такие 3-мерные области интегрирования?
- линия
- замкнутая линия
- поверхность
- замкнутая поверхность
- объём

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение04.12.2018, 01:44 
Заслуженный участник


14/10/14
812
misha.physics в сообщении #1357988 писал(а):
Интересно, существуют ли какие-то учебники по физики для математиков (хотя я не могу найти веские причины, по которым математикам нужна физика, математика в моем понимании является наукой самодостаточной вроде замкнутой системы). Где математика как-бы выносится на передний план, а из физики берутся только экспериментальные данные, которые входят в качестве "аксиом". Т. е. в таком случае, физика для математиков была бы математикой, в которой есть аксиомы, связанные с экспериментами.
Существуют. По квантовой механике ещё есть Hall. Quantum theory for mathematicians, хороший, читается легче Тахтаджяна ну и вообще несколько про другое. Про квантовые поля есть много книг именно как вы хотите, принимают физически разумные аксиомы и пытаются что-то математически разумное построить, но получается не очень хорошо. Если интересует ОТО, попробуйте посмотреть недлинный текст Penrose. Techniques of differential topology in relativity про причинность и сингулярности. Хокинг, Эллис. Крупномасшабная структура пространства-времени и Уолд. Общая теория относительности (Wald. General relativity) хотя и предназначены для физиков, но написаны на современном математическом языке, в отличие от ЛЛ-2, Вайнберга и (при всех достоинствах) Мизнера-Торна-Уилера. Сарданашвили читал начало 1-го тома, по-моему, оно неудачное, можно сильно проще написать, как мне кажется. Вообще про математику для физиков и физику для математиков последнее время пишут много хороших книг, в основном по-английски. Где-то в окрестности 60-х -- 70-х годов был некоторый пик непонимания между математиками и физиками, вплоть до того, что некоторые вещи математики и физики открывали в разное время независимо друг от друга (уравнения Янга -- Миллса, к примеру). Последнее время эта ситуация, кажется, постепенно исправляется благодаря усилиям многих людей, которые поняли, что это нехорошо.

misha.physics в сообщении #1357988 писал(а):
я не могу найти веские причины, по которым математикам нужна физика, математика в моем понимании является наукой самодостаточной вроде замкнутой системы
Ваше понимание совершенно неверно. Из физики в математику идут идеи. Огромная и интересная часть математики 20-го (и не только) века произошла из физики.

-- 04.12.2018, 02:59 --

Munin в сообщении #1358629 писал(а):
Мне привычней тензоры, чем формы, получается эффективней, но нравится - именно с формами. (Просто я понимаю, что не всё через формы выражается. Тензор Римана, например.)
Разницы тензорами и дифференциальными формами вообще ведь нет (в том смысле что одно -- подмножество другого), а обсуждаются здесь просто разные обозначения одного и того же. Кстати, тензор Римана -- вполне себе 2-форма со значениями в алгебре Ли $so(1,3)$. И страшное выражение через символы Кристоффеля (смотрите ЛЛ-2, параграф "Тензор кривизны", там, где он впервые появлятся, у меня это формула 91.4) при таком подходе записывается в виде $R=d\Gamma + \Gamma \wedge \Gamma$.

-- 04.12.2018, 03:13 --

misha.physics в сообщении #1358640 писал(а):
Похоже, я тут половину слов и обозначений не знаю :(
Я бы сказал так. Имея дифференциальную $k$-форму $\omega$ (= антисимметрический по всем индексам тензор $\omega_{i_1...i_k}$), можно поднять у ней все индексы с помощью метрики и получить кососимметрический $k$-вектор $\omega^\sharp$ (= контравариантный антисимметрический по всем индексам тензор $g^{i_1j_1}...g^{i_kj_k}\omega_{j_1...j_k}$), а потом подставить его в $n$-форму объёма в качестве первых $k$ аргументов (свернуть этот вектор с формой объёма $\sqrt{|g|}\varepsilon_{i_1...i_n}$ по первым $k$ индексам). Получится некоторая $(n-k)$-форма $\star \omega$ (останутся $n-k$ несвернутых нижних индексов, по которым тензор антисимметричен). Это и будет то, что вы называете "дуальный тензор", а nya будет называть звёздочкой Ходжа от формы $\omega$ -- с точностью до знака, за которым надо было внимательно следить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение04.12.2018, 02:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
А сам $\Gamma,$ получается, 1-форма? А где почитать ОТО в таком изложении? Хокинг-Эллис далеко ещё не то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение04.12.2018, 02:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27204
О, присоединяюсь. Про тензор Римана было внезапно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение04.12.2018, 02:33 
Заслуженный участник


14/10/14
812
Munin в сообщении #1358671 писал(а):
А сам $\Gamma,$ получается, 1-форма?
Только локально.
Munin в сообщении #1358671 писал(а):
А где почитать ОТО в таком изложении?
Вполне возможно, что и нигде, зачем оно там. В физической литературе нечто очень близкое называется "тетрады", но пишут про них обычно так, что ничего не поймёшь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение04.12.2018, 04:49 
Заслуженный участник


18/01/15
2149
misha.physics
Вы пишете, что хотите что-то читать научное, только не можете собраться. Это, наверное, потому, что у Вас нет в поле зрения хорошей книжки, которая была бы посильной и (тем самым) увлекла бы Вас. Хочу Вам предложить две книжки про тензоры. Они сложнее, чем то, что Вы до сих пор читали, однако, если Вам Будак-Фомин нормально пошел, есть надежда, что и несколько более высокий уровень Вы тоже освоите.

Жил такой большой математик и педагог, Н.В.Ефимов. Он написал несколько известных хороших книжек. Последней была небольшая книжка Введение в теорию внешних форм. Там очень подробно написано про внешнюю алгебру, дифференциальные формы и их интегрирование. Изложение очень аккуратное и последовательное, что называется, "дружественное к читателю". Всё весьма разжёвано. Надо оговориться, что я не могу дать голову на отсечение, что в этой книжке всё хорошо (он её писал будучи уже, что называется, в годах, но априори в общем доверяю репутации (в моих глазах) Ефимова как педагога).

Есть еще одна книжка. T. Yokonuma, Tensor spaces and exterior algebra. Там с самого начала объясняется, очень подробно, "абстрактная" точка зрения на тензоры, что такое тензорное произведение и т.д. Но эта книга весьма
абстрактно-математична. К тому же она на иностранном языке. Впрочем, последнего не надо пугаться, ибо translated from Japan by T.Yokonuma. Проще говоря, он сам же её и перевел на английский, в силу чего и язык там весьма простой.

Но главное, и математичность, и английский язык у Йоконумы компенсируются крайней разжёванностью. По сравнению с Кострикин-Маниным там всё длиннее раза в три, а в начале так и вообще раз в пять. С моей точки зрения, из
существующих книжек по тензорам эта вообще лучшая. Я ссылку на нее когда-то увидел в одной статье, скачал, и она мне чрезвычайно понравилась, так что я ее уже не раз рекомендовал разным людям.

Такие вещи, как подъем/спуск индексов, а также звезда Ходжа, ни в Ефимове, ни в Йоконуме не объясняются, но если содержание этих книжек понять, то и с указанными вещами проблем не будет (они на самом деле просты).

-- 04.12.2018, 03:57 --

(подъем, спуск, и Ходж)

Напишу уж прямо тут. Пусть у нас есть пространство $V$, и на нем невырожденная билинейная форма $g$, для простоты симметрическая. Тогда мы можем, используя эту форму, отождествить $V$ с сопряженным пространством $V^\ast$ (вектор $v\in V$ соответствует линейной функции $l=l_v$, определяемой правилом $l_v(x)=g(v,x)$). Это стандартный факт из учебников (например, Кострикин, т.2, гл.3, пар.1, теорема 9).

Задача. Пусть $V$ --- двумерное пространство с базисом $(e_1,e_2)$, $V^\ast$ --- двойственное пространство, $(e^1, e^2)$ --- двойственный базис к $(e_1,e_2)$, и на $V$ есть форма $g$ с матрицей $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ (т.е. $g(e_1,e_1)=1$, и т.д.). Дан вектор $v=3e_1+5e_2$. Найдите соответствующий ему ковектор $l_v$ в базисе $(e^1,e^2)$.
(Сейчас решать не обязательно; написано, просто чтоб следующий абзац каким-то абстрактным не казался.)


Теперь, скажем, рассмотрим тензорное произведение $V\otimes V\otimes V$. Поскольку $V$ отождествляется с $V^\ast$, то мы можем рассмотреть тензорное произведение тождественного отображения $V\otimes V\longrightarrow V\otimes V$ и канонического изоморфизма $V\longrightarrow V^\ast$. Получается изоморфизм $V\otimes V\otimes V \longrightarrow V\otimes V\otimes V^\ast$. Это и есть то ли подъем, то ли спуск индексов. Если записать в координатах, то получатся известные формулы типа $t^{ij}_{k}=t^{ijl}g_{kl}$.
(Не ожидайте, что Вы прямо сейчас поймете, что написано в этом абзаце. Это я Вам пишу на будущее, чтоб был мотив Йоконуму читать. Я могу обещать, что если Вы большую часть Йоконумы и Ефимова прочитаете, то написанное тут поймете).

Про Ходжа. Из формы $g$ на $V$ получается форма $\widetilde g$ на $V\otimes \ldots\otimes V$, ($l$ сомножителей), по правилу $\widetilde g(v_1\otimes\ldots\otimes v_l, u_1\otimes\ldots\otimes u_l)=g(v_1,u_1)\ldots g(v_l,u_l)$. Далее, оказывается, что подпространство полностью антисимметричных тензоров, которое мы обозначим $\bigwedge^l V$, невырождено относительно формы. С другой стороны, есть билинейное отображение $\bigwedge^l V\times \bigwedge^{n-l} V\longrightarrow \bigwedge^n V$ (не что иное, как внешнее произведение форм). В силу того, что $\bigwedge^n V$ одномерно, получается билинейное отображение из $\bigwedge^l V\times \bigwedge^{n-l} V$ в ${\mathbb R}$.
Притом оно невырождено, и размерности у $\bigwedge^l V$ и $\bigwedge^{n-l} V$ одинаковы. Таким образом, двойственное пространство к $\bigwedge^l V$ канонически изоморфно $\bigwedge^{n-l} V$. Но оно изоморфно и самому $\bigwedge^l V$, в силу невырожденности ограничения формы $\widetilde g$. Поэтому получается некий канонический изоморфизм между $\bigwedge^{n-l} V$ и $\bigwedge^l V$. Это и есть звезда Ходжа.
(то же самое: поймете с помощью указанных книжек. Не бог весть какая сложная вещь.)


-- 04.12.2018, 04:02 --

Еще одно достоинство обоих книжек --- что там изложение идет сосредоточенно, без всяких уходов в сторону. А, например, "Современная геметрия" очень напоминает сборную солянку, там всё время изложение ветвится то туда, то сюда.

"Теория тензоров" как учебная область состоит, вообще говоря, из нескольких частей. Тут и тензорные произведения, и классическая алгебраическая теория тензоров (когда тензор рассматривается как табличка из $n^{p+q}$ чисел), и
тензоры в криволинейных координатах, тензорные поля на многообразиях, интегрирование и теорема Стокса, и т.д. Поэтому предлагаемые книжки не отменяют других, "Современной геометрии" прежде всего, а служат для облегчения восприятия
их, как предварительное или параллельное чтение.

Другие книжки по тензорам с алгебраической точки зрения: Кострикин 2, Кострикин-Манин, Постников "Линейная алгебра".

Надо также иметь в виду, что в изложении в разных книжках могут быть разными "первичные понятия". В одних первичным понятием является тензор, а потом уже определяются пространства тензоров, тензорные произведения и т.д. В других же первично тензорное произведение пространств. Не удивляйтесь, что в разных книжках по разному. Я лично приверженец второго подхода.

Еще одна вещь. Книга Йоконумы (и вообще учение о тензорных произведениях) требует некоторого "алгебраического" мышления. И одновременно она же его и воспитывает. В частности, читая ее, вы можете познакомиться, неявно, с некоторыми "категорными" понятиями, типа: коммутативная диаграмма, универсальное свойство или объект, каноническое
или естественное отображение, канонический изоморфизм, естественное преобразование (возможно...). Чем это полезно ? Скажем, подъем-опускание индексов, и звезда Ходжа --- это как раз примеры естественных отображений. И имея в виду само это довольно "философское" понятие, легче воспринять данные конструкции. Короче, есть такие понятия, которые полезно иметь в виду.

Еще. Некоторые вопросы в Йоконуме можно пропустить, Вам они вряд ли нужны. А именно: тензорные произведения модулей над кольцами; расширение скаляров (полей) (часть (b) в пар.8 гл.1); большую часть гл.3.

(вроде всё ...)

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение04.12.2018, 05:32 


17/04/18
143
Тензор Римана это по определению некоторая 2-форма со значениями в эндоморфизмах, её можно пулбэкнуть до формы в ассоциированном расслоении фреймов, тобишь в $\Omega^2(Fr TМ) \otimes \mathfrak{gl_n}$ выражение $\Omega = d\Phi + \Phi \wedge \Phi$ это выражение этой 2-формы в терминах формы связности. Все конструкции выше глобальны.

Sicker в сообщении #1358619 писал(а):
Просто вы сами неоднократно писали, что вам больше нравится работать с антисимметричными тензорами, чем с формами, и упрекали одного человека, который начал с форм. Вот мы с nya и пытаемся сказать, что можно и по другому :-)


это да

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение04.12.2018, 06:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Slav-27 в сообщении #1358673 писал(а):
Вполне возможно, что и нигде, зачем оно там.

Ну без ОТО.

И если уж совсем напрашиваться, то в какой книге прочитать то, что сказал nya, и ещё - про $\nabla^{2}=\mathrm{d}\delta+\delta\mathrm{d}=(\mathrm{d}+\delta)^2.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение04.12.2018, 06:26 


17/04/18
143
Это можно рассматривать как одно из стандартных определений связности или же в контексте науки об интегрировании G-структур и препятствий к этому. Ну много где написано, Ivey Landsberg "Диф.геометрия в терминах фреймов" или как-то так или там Koboyashi-Nomizu тоже должно быть, есть ещё текст который называется "Linear G-structures by examples" без авторства, в гугле найдёте, очень хороший. Про лапласа-бельтрами я бы на вашем вместе ввел бы в гугле "Hodge decomposition theorem pdf" и выбрал бы по вкусу текст, так как основного материала там страниц на 15, если очень размазывать, то на 30.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение04.12.2018, 20:47 
Аватара пользователя


17/03/17
563
Львів
Munin,
Munin в сообщении #1358656 писал(а):
Знак минус - откуда-то из подсознания выполз.

Возможно из того, что
$$\varepsilon^{iklm}\varepsilon_{iklm}=-24$$
Munin в сообщении #1358656 писал(а):
Тут вы поторопились. $A^*_1=-A_2,\quad A^*_2=A_1,$ так будет точнее.

Я догадывался, что здесь у меня проблемы. Думал так: при $n=2$ есть дуальность $A_i\to\varepsilon^{pi}A_i$. Если $\varepsilon^{pi}A_i=x^i$, то имеем два уравнения:
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 \varepsilon^{01}A_1=x^0 \\
 \varepsilon^{10}A_0=x^1 \\
\end{array}
\right.$$
А дальше как понимать антисимметричность $A_i$? Здесь же индексы не переставить. Вот я и подумал, что антисимметричность будет означать (но сейчас мне это не нравится) $A_0=-A_1$, тогда $x_0=x_1$.
Munin в сообщении #1358656 писал(а):
$A^*_1=-A_2,\quad A^*_2=A_1,$ так будет точнее.

А как вы это получили? Под $A_1^*$ вы подразумеваете $A_1^*=g_{12}A^{*2}=g_{12}\varepsilon^{21}A_1$? Но что-то я не понимаю, как вы получили те 2 равенства.

Slav-27,
Slav-27 в сообщении #1358661 писал(а):
По квантовой механике ещё есть Hall. Quantum theory for mathematicians

Спасибо. Полистал пару первых страниц, вроде начинают с легкого для меня.
Slav-27 в сообщении #1358661 писал(а):
есть много книг именно как вы хотите, принимают физически разумные аксиомы и пытаются что-то математически разумное построить

Даже не то, чтобы я хотел читать математические книги по физике, мне просто было интересно, существуют ли такие, хотя мне и нравится математическая последовательность, но пока я смотрю в сторону физических книг по физике :)
Slav-27 в сообщении #1358661 писал(а):
Я бы сказал так. Имея дифференциальную $k$-форму $\omega$ (= антисимметрический по всем индексам тензор $\omega_{i_1...i_k}$), можно поднять у ней все индексы с помощью метрики и получить кососимметрический $k$-вектор $\omega^\sharp$ (= контравариантный антисимметрический по всем индексам тензор $g^{i_1j_1}...g^{i_kj_k}\omega_{j_1...j_k}$), а потом подставить его в $n$-форму объёма в качестве первых $k$ аргументов (свернуть этот вектор с формой объёма $\sqrt{|g|}\varepsilon_{i_1...i_n}$ по первым $k$ индексам). Получится некоторая $(n-k)$-форма $\star \omega$ (останутся $n-k$ несвернутых нижних индексов, по которым тензор антисимметричен). Это и будет то, что вы называете "дуальный тензор", а nya будет называть звёздочкой Ходжа от формы $\omega$ -- с точностью до знака, за которым надо было внимательно следить.

Это, конечно, воспринимать легче. Уже появилось ещё больше заинтересованности к этой теме.

vpb,
vpb в сообщении #1358677 писал(а):
Вы пишете, что хотите что-то читать научное, только не можете собраться. Это, наверное, потому, что у Вас нет в поле зрения хорошей книжки, которая была бы посильной и (тем самым) увлекла бы Вас.

Мне часто кажется, что книги хорошие-то есть, и понять я их могу если приложу больше усилий (или хотя бы открою их и начну читать), просто в данный период (уже продолжительный) не получается выйти на тот темп, на который я хочу. Другого варианта разобраться в математике или физике кроме чтения книг я для себя не вижу (это основа, дополнительно можно видеолекции ещё смотреть и т. д.). Нужно только лень перебороть.
vpb в сообщении #1358677 писал(а):
Найдите соответствующий ему ковектор $l_v$ в базисе $(e^1,e^2)$.

Мне не понятно обозначение
vpb в сообщении #1358677 писал(а):
$l_v(x)=g(v,x)$)
хотя бы потому, что я не понимаю что такое $x$, но я попробовал сделать так (использую свои воспоминания по этой теме, которые вполне возможно неправильны):
$$v^2=g(v,v)=(v^1e_1+v^2e_2)^2=g_{11}v^1v^1+g_{12}v^1v^2+g_{21}v^2v^1+g_{22}v^2v^2)=$$
$$=l(v)=(v^1e_1+v^2e_2)(l_1e^1+l_2e^2)=v^1l_1+v^2l_2=9+30+30+75=144=3l_1+5l_2.$$
Нам нужно найти $l_1$ и $l_2$. Если бы ми ещё могли сказать (так можно сказать?), что $v^2=l^2$ (не путать квадрат вектора и ковектора с 2-й компонентой), то мы би нашли их. Или это все мой бред. Вот поэтому мне и нужно читать книги чтобы у меня не возникало таких дурацких вопросов.
vpb в сообщении #1358677 писал(а):
Это я Вам пишу на будущее, чтоб был мотив Йоконуму читать.

Мотив появляется. Это же так красиво. Кстати, вы встречали в сети книгу Йоконумы?
О формах кроме расплывчатой идеи, что это удобно, когда у нас базис неортогональный, поэтому естественно возникают объекты двойственной природы чтобы мы могли с их помощью просто записывать инварианты (например $x_iy^i$), а потом обобщаем это от векторов к тензорам, пока нет. Вот книги, где объясняются такие вещи и расписывают больше в компонентах, мне было бы легче читать.
vpb в сообщении #1358677 писал(а):
В других же первично тензорное произведение пространств.

Я вижу многим (математикам видимо в первую очередь) удобно мыслить в терминах линейных пространств, мне же пока это не кажется удобным понятием, видимо, я ещё не осознал его смысл.
vpb в сообщении #1358677 писал(а):
требует некоторого "алгебраического" мышления

А в чем смысл алгебраического мышления? У меня есть только догадки о мышлении такими категориями как группами, кольцами и что-то такое. Но в чем смысл алгебраических структур я не знаю.

-- 04 дек 2018, 19:56 --

Munin,
misha.physics в сообщении #1358837 писал(а):
Но что-то я не понимаю, как вы получили те 2 равенства.

Ааа, или там просто где звёздочки должны были быть верхние индексы вместо нижних, да?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение04.12.2018, 21:14 
Заслуженный участник


01/06/15
1055
С.-Петербург
Munin в сообщении #1358680 писал(а):
И если уж совсем напрашиваться, то в какой книге прочитать то, что сказал nya
Во многих книгах по дифф.геометрии. Краткое изложение, например, есть во вводных главах 1 т. А.Бессе "Многообразия Эйнштейна". Без ОТО, но в применении к калибровочным теориям: Кадич, Эделен "Калибровочная теория дислокаций и дисклинаций". Дома могу глянуть, в каких учебниках излагается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение04.12.2018, 21:21 


17/04/18
143
+ Многообразия Эйнштейна сама по себе очень хорошая книжка, читать её очень полезно, но с ОТО она не связана почти никак

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Остроградского-Гаусса (и интегралы) в тенз. анализе
Сообщение04.12.2018, 22:56 
Заслуженный участник


14/10/14
812
Munin в сообщении #1358671 писал(а):
А где почитать
Есть такая книжка Tu. Differential geometry. Connections, curvature, and characteristic classes. По-моему, это педагогический шедевр. Там одно и то же повторяется по многу раз в разных местах разными словами. А если будет непонятно, то есть ещё An introduction to manifolds того же автора.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 113 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group